心臟瓣膜力學特性的研究可為心臟瓣膜修復手術的研究和人工瓣膜材料的研制提供重要理論基礎。本文對心臟瓣膜力學特性研究方法的現狀進行介紹,闡述了心臟瓣膜一維拉伸實驗、二維拉伸實驗的方法和特殊要求,討論了幾種心臟瓣膜本構模型的建立方法,最后展望了心臟瓣膜力學研究的發展方向。
引用本文： 李玉生, 曾培, 任國榮. 心臟瓣膜力學特性研究方法的現狀與趨勢. 生物醫學工程學雜志, 2014, 31(5): 1160-1163. doi: 10.7507/1001-5515.20140219 復制
引言
心臟瓣膜的主要成分是膠原纖維、彈性纖維和蛋白多糖基質，它們的分布和排列決定了心臟瓣膜的力學性能。正常的心臟瓣膜一生中要啟閉幾十億次，這樣耐用的材料值得深入研究。He[1]在對二尖瓣緣對緣修復技術的研究中提到，首先要基于二尖瓣材料各向異性建立二尖瓣非線性組織力學模型，再利用離體實驗驗證數值模擬模型，長遠目標是建立數字化二尖瓣-左心室力學模型，最終達到優化手術的目的。心臟瓣膜力學特性研究最常用的方法就是拉伸實驗，也有研究者在研究心臟瓣膜力學特性的同時注意到膠原纖維導向的變化，例如Billiar 等[2]在1997年對牛心包和豬主動脈瓣的研究中通過小廣角散射儀獲得纖維導向的變化，在建立本構模型時把纖維導向的變化對整體應力的作用考慮進去。這樣可以更加詳細地了解應力隨應變變化的內部機制，對心臟瓣膜疾病手術治療以及人工瓣膜的設計起到很好的指導作用，并且為后續利用有限元軟件進行分析[3]提供理論基礎。
1 心臟瓣膜力學特性實驗方法
由于人心臟瓣膜組織的稀缺性，無法對人心臟瓣膜進行大量實驗。豬的瓣膜尺寸以及膠原蛋白的含量與人相似，常作為實驗研究的替代品。對瓣膜組織力學特性的研究方法中最基本、最常用的是拉伸實驗，也有研究利用超聲診斷儀等醫學檢查類儀器獲得心肌或瓣膜的圖像，對其應變和應變率進行觀察、分析[4]，這種方法較新穎，但應用于心臟瓣膜力學分析還不成熟。
1.1 一維拉伸實驗
一維拉伸是最簡單的一種研究心臟瓣膜應力與應變關系的力學實驗方法。取樣時離鍵索或瓣膜根部一段距離，沿周向和徑向取長條狀試樣，長寬比例一般大于2∶1。有研究者在制備實驗樣本時，將瓣膜分別沿圓周方向和徑向剪為長條形狀，且兩端夾持區留有足夠寬度以防止夾持區域撕裂[5-6]。獲取樣本后要保存在含有抗生素的生理鹽水中防止試件的變性和損壞，實驗過程中也要用生理鹽水濕潤以保持新鮮。通過定制的心臟瓣膜一維拉伸實驗機，按照事先確定的速度和步距，利用計算機和檢測軟件分別測量不同拉伸長度時的Lagrange應力σ與Cauchy應變ε值并獲得σ-ε曲線。其中：
| $\begin{align} & \sigma =F/A \\ & \varepsilon =(L-{{L}_{0}})/{{L}_{0}} \\ \end{align}$ |
式中F為沿軸向的拉力，A為垂直于拉伸方向的樣本初始截面積，L為試件拉伸后的長度，L0為試件的初始長度。心臟瓣膜屬于黏彈性軟組織，在做實驗前應該對樣本進行預調，例如刁穎敏[7]在研究中首先對試件進行幾次預加載、卸載過程，當加載和卸載應變曲線基本重合后，再對樣本進行拉伸實驗，可以得到比較穩定的數據和曲線。
陳煒生等[8]對10名正常人的二尖瓣試件以5 mm/min的速度進行了一維拉伸實驗，利用計算機獲得應力和位移的變化，分別得到周向和徑向應力應變曲線，觀察到周向的抗拉強度和彈性模量均比徑向的抗拉強度和彈性模量高2~3倍，并將應力應變曲線分為三個階段：首先是低模量區，主要是彈性纖維承力；其后是彈性模量變化區，膠原纖維開始承力但還沒有完全拉直；最后是極限模量區，膠原纖維卷曲拉直，此時拉伸模量較高且趨向于恒定值，主要由膠原纖維承力。Prot等[9]對42歲死亡患者的心臟二尖瓣瓣膜進行了單軸拉伸實驗，在記錄數據前對試件進行了5次預處理，實驗過程中試件浸泡于37 ℃的生理鹽水中，并利用攝像頭監視位移的變化，利用力學傳感器獲得應力，數據直接輸入電腦后通過軟件進行處理。實驗是對前瓣和后瓣的周向和徑向分別進行單向拉伸，發現應力應變呈明顯的非線性關系，并且前瓣比后瓣更加具有剛性。
心臟瓣膜一維拉伸實驗具有較大的局限和不足，因為瓣膜在正常工作狀態下并不是受到單向的拉伸力，而是受到血液對其側面的壓力，從而造成瓣膜的擴張變形。單向拉伸無法對心臟瓣膜周向與徑向的耦合作用進行研究，且容易使瓣膜在較大變形時產生應力集中現象造成較大誤差。為了解決這些問題，使實驗條件與真實狀態更加接近，需進行雙軸或多軸拉伸實驗。
1.2 二維拉伸實驗
二維拉伸實驗多采用計算機自動采集的測力系統，系統包括傳感器、前置模擬放大部分和A/D轉換三大部分，核心器件是CPU，采用差動電壓模擬放大模塊和多通道模數轉換模板，需要兩個軸向運動相互配合，并同時檢測兩個方向的應力與應變。天然心臟瓣膜屬于黏彈性且非線性的軟組織，面積較小，具有正交各向異性的特性且周向和徑向有較強的耦合作用[10]，能承受的外力相對較小，對其進行實驗需采用測量精度高、適用于生物軟組織的數據采集系統。
雙軸拉伸實驗中在獲取試件時一般在瓣葉中心區域取一塊矩形樣本，在試件中心區域標記一個矩形區域作為應變測量區，這樣可以減弱夾持區域的系留效應[2]。試件也需保存在生理鹽水中，實驗中由于四個邊角處存在剪力，在較大變形時如果不進行處理，邊角處容易撕裂，會對實驗結果造成較大誤差。羅華安等[11]為了解決這個問題，在準備實驗標本時將試件剪為十字型，應變測量區在十字形中心位置，進行拉伸時夾持點能夠隨著試件的變形自由移動，按照預定好的拉伸方式進行拉伸并利用攝像頭隨時記錄試件的形變量，從傳感器獲得應力值。
May-Newman在豬二尖瓣的研究中，獲取離鍵索和瓣環根部2~3 mm的試樣，樣本保存在含抗生素的生理鹽水中，直到實驗開始。他們在試件中央標記一塊占試件總面積5%~15%的方形區域作為測量區，實驗中用生理鹽水保持試件的濕潤，按不同軸向拉伸比例進行加載，獲得應力-應變數據和曲線，發現二尖瓣的周向和徑向有較強的耦合作用，通過圖像觀察到膠原纖維大致沿周向排列。Billiar等[10]在對主動脈瓣的力學研究中利用分辨率0.6 mN的力學傳感器、分辨率0.5%的攝像頭對變形進行監視，頻率15 Hz的標記追蹤軟件記錄，應力采用軸向力除以試件的邊長且不考慮瓣膜厚度的方式，按不同軸向的應力比進行加載。結果表明，在加載應力較低時周向應變為負，隨應力加大應變逐漸為正，但徑向應變一直為正，研究者考慮應與膠原纖維的排列有關。崔彬等[12]通過研究表明環向是膠原纖維主要的排列方向，也是其卷曲方向，當被完全拉直時應力主要由膠原纖維承載，在雙軸拉伸情況下膠原纖維的導向也發生著變化。
2 本構模型
瓣膜的拉伸實驗只是獲得心臟瓣膜的應力-應變數據和曲線，利用大量實驗數據建立其本構模型為以后的研究提供理論基礎才是最終目的。單軸拉伸實驗獲得的數據常用多項式、指數方程或冪函數等擬合，有研究者利用冪函數方程σ=αεβ對心臟瓣膜一維拉伸數據進行擬合，利用最小二乘法獲得參數σ、β的值，擬合效果較好[13-14]。
早期的雙軸拉伸研究中很多采取唯像理論分析材料的本構。例如研究者提出利用應力增量和應變增量來表示[15]，如式(2)所示，
| $\left| \matrix{ {\varepsilon _x} \hfill \cr {\varepsilon _y} \hfill \cr {\gamma _{xy}} \hfill \cr} \right| = \left| \matrix{ {c_{11}}{c_{12}}{c_{13}} \hfill \cr {c_{21}}{c_{22}}{c_{23}} \hfill \cr {c_{31}}{c_{32}}{c_{33}} \hfill \cr} \right|\left| \matrix{ {\sigma _x} \hfill \cr {\sigma _y} \hfill \cr {\tau _{xy}} \hfill \cr} \right|,$ |
其中εx、εy分別為兩軸向的應變，γxy為剪應變，σx、σy分別為兩軸向應力，τxy為剪應力。對正交各向異性材料，由胡克定律可知c13=c31=c23=c32=0，矩陣中的材料常數僅剩下5個。也有研究者利用兩軸向的彈性模量和兩軸向的交互作用來描述機織材料的本構關系，即
| $\left[ {{\sigma _w}{\sigma _f}} \right] = \left[ \matrix{ {E_{ww}}{E_{wf}} \hfill \cr {E_{fw}}{E_{ff}} \hfill \cr} \right]\left[ \matrix{ {\varepsilon _w} \hfill \cr {\varepsilon _f} \hfill \cr} \right],$ |
其中w、f分別為材料的經向和緯向，Eww、Eff分別為兩軸向的拉伸模量，Ewf、Efw分別為兩軸向同時受到拉力時的交互作用模量，求解過程中對應力與應變關系進行多步線性化處理[16]。這種表示方法和上式相比有較大的簡化，沒有考慮剪應力和剪應變。
很多對超彈性材料的仿真研究中，本構模型是用應變能函數來描述的[17-18] ，如羅華安等[19]對雙軸拉伸研究中超彈性材料的本構模型就是由應變能函數導出的。常用的應變能函數有如下三種形式:
Mooney-Rivlin應變能函數：
| $W={{C}_{10}}({{I}_{1}}-3)+{{C}_{01}}({{I}_{2}}-3),$ |
Yeoh應變能函數：
| $W={{C}_{10}}({{I}_{1}}-3)+{{C}_{20}}{{({{I}_{2}}-3)}^{2}}+{{C}_{30}}{{({{I}_{3}}-3)}^{3}},$ |
Ogden應變能函數：
| $W=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{{{\mu }_{i}}}{{{\alpha }_{i}}}}({{\lambda }_{1}}{{\alpha }_{i}}+{{\lambda }_{2}}{{\alpha }_{i}}+{{\lambda }_{3}}{{\alpha }_{i}}-3)~,$ |
式中W為彈性應變能，I為變形張量的不變量，λ為伸長率，Cij、μi、αi為材料的參數，N是多項式階數。
劉君等[17]在對生物軟組織各向異性超彈性材料模型的研究中將應變能表示為伸長率λi的函數，通過對應變能函數進行二次求導得到柯西應力的表達式。Natali等[20]在對牙周膜本構模型進行研究時，利用ogden模型對實驗數據進行擬合，結果較為理想。
因為膠原纖維是瓣膜變形中的主要承力組織，所以在建立瓣膜本構方程時考慮纖維導向的變化是有必要的[21]，研究者進行有限元分析時可將心臟瓣膜結構看成是由基質和膠原纖維增強的復合結構。 Billiar 等[2, 10, 22]在對瓣膜進行力學特性的研究中假設纖維角的分布符合高斯分布，在進行雙軸拉伸實驗的同時用特殊儀器測量纖維角的變化，獲得纖維導向分布函數，并得到在(-π/2,π/2)上的積分形式[23]的表達式，即
| $\begin{align} & {{S}_{11}}=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}{R(\theta ){{S}_{11}}^{f}(\varepsilon )co{{s}^{2}}\theta d\theta } \\ & {{S}_{12}}=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}{R(\theta ){{S}_{11}}^{f}(\varepsilon )cos\theta sin\theta d\theta } \\ & {{S}_{22}}=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}{R(\theta ){{S}_{11}}^{f}(\varepsilon )si{{n}^{2}}\theta d\theta } \\ & {{S}_{11}}^{f}=A[exp(B\varepsilon )-1] \\ \end{align}$ |
其中S11、S22、S12分別為周向應力、徑向應力和剪應力，θ為纖維與周向軸之間的夾角，R(θ)為纖維導向分布函數，S11f(ε)為纖維應力應變規律，A、B為材料參數。這樣，把瓣膜的應力應變關系和瓣膜內部纖維導向的變化結合起來，并考慮到膠原纖維的體積分數等因素，使本構方程的描述更加準確。
3 展望
目前對心臟瓣膜力學特性的研究主要集中在靜態力學方面，與實際工作狀態有較大的區別，不能真正反映心臟瓣膜實際工作中應變和應力之間的規律，所以今后的研究應該使受力情況更加接近體內真實狀態，建立更加真實的心臟瓣膜數字化本構模型[24]。未來的發展方向主要有以下兩個方面：① 改進實驗設備，使數據采集系統動態采集更接近心臟實際工作狀態下的心臟瓣膜應力應變數據，獲得其本構方程并結合有限元軟件ansys、abaqus等進行有限元分析[25]。② 利用醫學儀器獲得心臟圖像，使用專業軟件對圖像進行三維重建，例如利用CT圖像對心臟瓣膜進行重建[26]，構造心臟及其瓣膜的數字化模型，導入到有限元分析軟件，再使用前面獲得的本構模型與有限元軟件融合對心臟瓣膜進行分析，例如血流動力學分析[27]，最終對心臟手術的方案效果進行評價。
引言
心臟瓣膜的主要成分是膠原纖維、彈性纖維和蛋白多糖基質，它們的分布和排列決定了心臟瓣膜的力學性能。正常的心臟瓣膜一生中要啟閉幾十億次，這樣耐用的材料值得深入研究。He[1]在對二尖瓣緣對緣修復技術的研究中提到，首先要基于二尖瓣材料各向異性建立二尖瓣非線性組織力學模型，再利用離體實驗驗證數值模擬模型，長遠目標是建立數字化二尖瓣-左心室力學模型，最終達到優化手術的目的。心臟瓣膜力學特性研究最常用的方法就是拉伸實驗，也有研究者在研究心臟瓣膜力學特性的同時注意到膠原纖維導向的變化，例如Billiar 等[2]在1997年對牛心包和豬主動脈瓣的研究中通過小廣角散射儀獲得纖維導向的變化，在建立本構模型時把纖維導向的變化對整體應力的作用考慮進去。這樣可以更加詳細地了解應力隨應變變化的內部機制，對心臟瓣膜疾病手術治療以及人工瓣膜的設計起到很好的指導作用，并且為后續利用有限元軟件進行分析[3]提供理論基礎。
1 心臟瓣膜力學特性實驗方法
由于人心臟瓣膜組織的稀缺性，無法對人心臟瓣膜進行大量實驗。豬的瓣膜尺寸以及膠原蛋白的含量與人相似，常作為實驗研究的替代品。對瓣膜組織力學特性的研究方法中最基本、最常用的是拉伸實驗，也有研究利用超聲診斷儀等醫學檢查類儀器獲得心肌或瓣膜的圖像，對其應變和應變率進行觀察、分析[4]，這種方法較新穎，但應用于心臟瓣膜力學分析還不成熟。
1.1 一維拉伸實驗
一維拉伸是最簡單的一種研究心臟瓣膜應力與應變關系的力學實驗方法。取樣時離鍵索或瓣膜根部一段距離，沿周向和徑向取長條狀試樣，長寬比例一般大于2∶1。有研究者在制備實驗樣本時，將瓣膜分別沿圓周方向和徑向剪為長條形狀，且兩端夾持區留有足夠寬度以防止夾持區域撕裂[5-6]。獲取樣本后要保存在含有抗生素的生理鹽水中防止試件的變性和損壞，實驗過程中也要用生理鹽水濕潤以保持新鮮。通過定制的心臟瓣膜一維拉伸實驗機，按照事先確定的速度和步距，利用計算機和檢測軟件分別測量不同拉伸長度時的Lagrange應力σ與Cauchy應變ε值并獲得σ-ε曲線。其中：
| $\begin{align} & \sigma =F/A \\ & \varepsilon =(L-{{L}_{0}})/{{L}_{0}} \\ \end{align}$ |
式中F為沿軸向的拉力，A為垂直于拉伸方向的樣本初始截面積，L為試件拉伸后的長度，L0為試件的初始長度。心臟瓣膜屬于黏彈性軟組織，在做實驗前應該對樣本進行預調，例如刁穎敏[7]在研究中首先對試件進行幾次預加載、卸載過程，當加載和卸載應變曲線基本重合后，再對樣本進行拉伸實驗，可以得到比較穩定的數據和曲線。
陳煒生等[8]對10名正常人的二尖瓣試件以5 mm/min的速度進行了一維拉伸實驗，利用計算機獲得應力和位移的變化，分別得到周向和徑向應力應變曲線，觀察到周向的抗拉強度和彈性模量均比徑向的抗拉強度和彈性模量高2~3倍，并將應力應變曲線分為三個階段：首先是低模量區，主要是彈性纖維承力；其后是彈性模量變化區，膠原纖維開始承力但還沒有完全拉直；最后是極限模量區，膠原纖維卷曲拉直，此時拉伸模量較高且趨向于恒定值，主要由膠原纖維承力。Prot等[9]對42歲死亡患者的心臟二尖瓣瓣膜進行了單軸拉伸實驗，在記錄數據前對試件進行了5次預處理，實驗過程中試件浸泡于37 ℃的生理鹽水中，并利用攝像頭監視位移的變化，利用力學傳感器獲得應力，數據直接輸入電腦后通過軟件進行處理。實驗是對前瓣和后瓣的周向和徑向分別進行單向拉伸，發現應力應變呈明顯的非線性關系，并且前瓣比后瓣更加具有剛性。
心臟瓣膜一維拉伸實驗具有較大的局限和不足，因為瓣膜在正常工作狀態下并不是受到單向的拉伸力，而是受到血液對其側面的壓力，從而造成瓣膜的擴張變形。單向拉伸無法對心臟瓣膜周向與徑向的耦合作用進行研究，且容易使瓣膜在較大變形時產生應力集中現象造成較大誤差。為了解決這些問題，使實驗條件與真實狀態更加接近，需進行雙軸或多軸拉伸實驗。
1.2 二維拉伸實驗
二維拉伸實驗多采用計算機自動采集的測力系統，系統包括傳感器、前置模擬放大部分和A/D轉換三大部分，核心器件是CPU，采用差動電壓模擬放大模塊和多通道模數轉換模板，需要兩個軸向運動相互配合，并同時檢測兩個方向的應力與應變。天然心臟瓣膜屬于黏彈性且非線性的軟組織，面積較小，具有正交各向異性的特性且周向和徑向有較強的耦合作用[10]，能承受的外力相對較小，對其進行實驗需采用測量精度高、適用于生物軟組織的數據采集系統。
雙軸拉伸實驗中在獲取試件時一般在瓣葉中心區域取一塊矩形樣本，在試件中心區域標記一個矩形區域作為應變測量區，這樣可以減弱夾持區域的系留效應[2]。試件也需保存在生理鹽水中，實驗中由于四個邊角處存在剪力，在較大變形時如果不進行處理，邊角處容易撕裂，會對實驗結果造成較大誤差。羅華安等[11]為了解決這個問題，在準備實驗標本時將試件剪為十字型，應變測量區在十字形中心位置，進行拉伸時夾持點能夠隨著試件的變形自由移動，按照預定好的拉伸方式進行拉伸并利用攝像頭隨時記錄試件的形變量，從傳感器獲得應力值。
May-Newman在豬二尖瓣的研究中，獲取離鍵索和瓣環根部2~3 mm的試樣，樣本保存在含抗生素的生理鹽水中，直到實驗開始。他們在試件中央標記一塊占試件總面積5%~15%的方形區域作為測量區，實驗中用生理鹽水保持試件的濕潤，按不同軸向拉伸比例進行加載，獲得應力-應變數據和曲線，發現二尖瓣的周向和徑向有較強的耦合作用，通過圖像觀察到膠原纖維大致沿周向排列。Billiar等[10]在對主動脈瓣的力學研究中利用分辨率0.6 mN的力學傳感器、分辨率0.5%的攝像頭對變形進行監視，頻率15 Hz的標記追蹤軟件記錄，應力采用軸向力除以試件的邊長且不考慮瓣膜厚度的方式，按不同軸向的應力比進行加載。結果表明，在加載應力較低時周向應變為負，隨應力加大應變逐漸為正，但徑向應變一直為正，研究者考慮應與膠原纖維的排列有關。崔彬等[12]通過研究表明環向是膠原纖維主要的排列方向，也是其卷曲方向，當被完全拉直時應力主要由膠原纖維承載，在雙軸拉伸情況下膠原纖維的導向也發生著變化。
2 本構模型
瓣膜的拉伸實驗只是獲得心臟瓣膜的應力-應變數據和曲線，利用大量實驗數據建立其本構模型為以后的研究提供理論基礎才是最終目的。單軸拉伸實驗獲得的數據常用多項式、指數方程或冪函數等擬合，有研究者利用冪函數方程σ=αεβ對心臟瓣膜一維拉伸數據進行擬合，利用最小二乘法獲得參數σ、β的值，擬合效果較好[13-14]。
早期的雙軸拉伸研究中很多采取唯像理論分析材料的本構。例如研究者提出利用應力增量和應變增量來表示[15]，如式(2)所示，
| $\left| \matrix{ {\varepsilon _x} \hfill \cr {\varepsilon _y} \hfill \cr {\gamma _{xy}} \hfill \cr} \right| = \left| \matrix{ {c_{11}}{c_{12}}{c_{13}} \hfill \cr {c_{21}}{c_{22}}{c_{23}} \hfill \cr {c_{31}}{c_{32}}{c_{33}} \hfill \cr} \right|\left| \matrix{ {\sigma _x} \hfill \cr {\sigma _y} \hfill \cr {\tau _{xy}} \hfill \cr} \right|,$ |
其中εx、εy分別為兩軸向的應變，γxy為剪應變，σx、σy分別為兩軸向應力，τxy為剪應力。對正交各向異性材料，由胡克定律可知c13=c31=c23=c32=0，矩陣中的材料常數僅剩下5個。也有研究者利用兩軸向的彈性模量和兩軸向的交互作用來描述機織材料的本構關系，即
| $\left[ {{\sigma _w}{\sigma _f}} \right] = \left[ \matrix{ {E_{ww}}{E_{wf}} \hfill \cr {E_{fw}}{E_{ff}} \hfill \cr} \right]\left[ \matrix{ {\varepsilon _w} \hfill \cr {\varepsilon _f} \hfill \cr} \right],$ |
其中w、f分別為材料的經向和緯向，Eww、Eff分別為兩軸向的拉伸模量，Ewf、Efw分別為兩軸向同時受到拉力時的交互作用模量，求解過程中對應力與應變關系進行多步線性化處理[16]。這種表示方法和上式相比有較大的簡化，沒有考慮剪應力和剪應變。
很多對超彈性材料的仿真研究中，本構模型是用應變能函數來描述的[17-18] ，如羅華安等[19]對雙軸拉伸研究中超彈性材料的本構模型就是由應變能函數導出的。常用的應變能函數有如下三種形式:
Mooney-Rivlin應變能函數：
| $W={{C}_{10}}({{I}_{1}}-3)+{{C}_{01}}({{I}_{2}}-3),$ |
Yeoh應變能函數：
| $W={{C}_{10}}({{I}_{1}}-3)+{{C}_{20}}{{({{I}_{2}}-3)}^{2}}+{{C}_{30}}{{({{I}_{3}}-3)}^{3}},$ |
Ogden應變能函數：
| $W=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{{{\mu }_{i}}}{{{\alpha }_{i}}}}({{\lambda }_{1}}{{\alpha }_{i}}+{{\lambda }_{2}}{{\alpha }_{i}}+{{\lambda }_{3}}{{\alpha }_{i}}-3)~,$ |
式中W為彈性應變能，I為變形張量的不變量，λ為伸長率，Cij、μi、αi為材料的參數，N是多項式階數。
劉君等[17]在對生物軟組織各向異性超彈性材料模型的研究中將應變能表示為伸長率λi的函數，通過對應變能函數進行二次求導得到柯西應力的表達式。Natali等[20]在對牙周膜本構模型進行研究時，利用ogden模型對實驗數據進行擬合，結果較為理想。
因為膠原纖維是瓣膜變形中的主要承力組織，所以在建立瓣膜本構方程時考慮纖維導向的變化是有必要的[21]，研究者進行有限元分析時可將心臟瓣膜結構看成是由基質和膠原纖維增強的復合結構。 Billiar 等[2, 10, 22]在對瓣膜進行力學特性的研究中假設纖維角的分布符合高斯分布，在進行雙軸拉伸實驗的同時用特殊儀器測量纖維角的變化，獲得纖維導向分布函數，并得到在(-π/2,π/2)上的積分形式[23]的表達式，即
| $\begin{align} & {{S}_{11}}=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}{R(\theta ){{S}_{11}}^{f}(\varepsilon )co{{s}^{2}}\theta d\theta } \\ & {{S}_{12}}=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}{R(\theta ){{S}_{11}}^{f}(\varepsilon )cos\theta sin\theta d\theta } \\ & {{S}_{22}}=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}{R(\theta ){{S}_{11}}^{f}(\varepsilon )si{{n}^{2}}\theta d\theta } \\ & {{S}_{11}}^{f}=A[exp(B\varepsilon )-1] \\ \end{align}$ |
其中S11、S22、S12分別為周向應力、徑向應力和剪應力，θ為纖維與周向軸之間的夾角，R(θ)為纖維導向分布函數，S11f(ε)為纖維應力應變規律，A、B為材料參數。這樣，把瓣膜的應力應變關系和瓣膜內部纖維導向的變化結合起來，并考慮到膠原纖維的體積分數等因素，使本構方程的描述更加準確。
3 展望
目前對心臟瓣膜力學特性的研究主要集中在靜態力學方面，與實際工作狀態有較大的區別，不能真正反映心臟瓣膜實際工作中應變和應力之間的規律，所以今后的研究應該使受力情況更加接近體內真實狀態，建立更加真實的心臟瓣膜數字化本構模型[24]。未來的發展方向主要有以下兩個方面：① 改進實驗設備，使數據采集系統動態采集更接近心臟實際工作狀態下的心臟瓣膜應力應變數據，獲得其本構方程并結合有限元軟件ansys、abaqus等進行有限元分析[25]。② 利用醫學儀器獲得心臟圖像，使用專業軟件對圖像進行三維重建，例如利用CT圖像對心臟瓣膜進行重建[26]，構造心臟及其瓣膜的數字化模型，導入到有限元分析軟件，再使用前面獲得的本構模型與有限元軟件融合對心臟瓣膜進行分析，例如血流動力學分析[27]，最終對心臟手術的方案效果進行評價。