隨著單病例隨機對照試驗（N-of-1 試驗）受到越來越多的關注，其樣本量估算是困擾科研人員的重要問題。本文主要介紹了 N-of-1 試驗的模型和假設，在模型基礎上，提出固定模型和隨機模型的樣本量估計方法，并給出對應的應用條件、公式及實例。以期國內研究人員實施 N-of-1 試驗方案時，能夠使用正確的樣本量估計方法，從而提高我國 N-of-1 試驗的研究質量。
引用本文： 陳新林. 單病例隨機對照（N-of-1）試驗的樣本量估計方法. 中國循證醫學雜志, 2019, 19(7): 871-874. doi: 10.7507/1672-2531.201901075 復制
單病例隨機對照試驗（single case randomized controlled trial）簡稱 N-of-1 試驗，是一種基于單個患者進行隨機、多周期二階段交叉設計的研究方案，用于比較兩種干預方法（或藥物）的治療效果[1-10]。N-of-1 試驗通過反復在同一個患者身上進行多次的交叉對照研究，比較不同治療方法的效果，最終用于指導個體患者的治療[1-3]。目前，國內開展的 N-of-1 試驗大部分來自中醫藥領域，主要包括中藥或者針灸治療癌癥、糖尿病、高血壓、腎病、支氣管擴張癥等慢性病[7]。這些 N-of-1 試驗均取得了一定的效果，然而目前國內開展的 N-of-1 試驗都沒有報道樣本量估算方法。國外的研究者一般在交叉設計的基礎上，計算 N-of-1 試驗的樣本量[11-15]。而國內研究者對 N-of-1 試驗樣本量的估算上仍存在困擾，很多研究者并不知道正確的樣本量估算方法。本文將闡明 N-of-1 試驗的模型和假設（樣本量估計原理），并在此基礎上，給出相應的樣本量估算方法、應用條件及實例。
1 N-of-1 試驗的模型和假設
假設 n 個患者將在 k 次周期中隨機分配給 A 干預和 B 干預，即在 k 個周期內，患者將隨機接受 A 或 B 干預中的一個。假設所研究疾病的病情是穩定的，可通過清洗期等方法消除殘留效應。另外，測量指標為連續型變量；對于每個患者每個周期的數據，A 干預和 B 干預的效果可以互減，得到兩種干預的差值（d）。因此，Senn 等[13, 16]在 Chen[17] 的研究基礎上，提出下面的模型：
 |
其中 i 表示患者，j 表示周期（j ≥ 2）；d 表示干預 A 減去干預 B 得到的差值（治療效應差）。τi 是第 i 個患者治療效應差的平均值，服從正態分布，其均數為 T，方差為 
2。
2 反映不同患者之間治療效應的變異程度；該數值越大，說明不同患者之間的治療效果相差越大。
是隨機效應，不同患者不同周期的隨機效應互相獨立，也服從正態分布，其均數為 0，方差為 2σ2。2σ2 表示患者自身治療效果的變異程度，該數值越大，說明同一個患者不同周期的治療效果相差越大。根據公式（1），第 i 個患者治療效應差的平均值
，其對應的方差為
。所有患者治療效應差的方差為
。T 的估計值 
。基于上述模型，有固定模型和隨機模型可用于估計 N-of-1 試驗的樣本量。
2 固定模型的樣本量估計
固定模型的前提是所有患者之間治療效應完全一樣，不存在患者間的治療差異，即 ψ=0。ψ2 可以從方差分量中去除；因此，得到第 i 個患者治療效應差的方差為
，所有患者的方差為
。這種情況，N-of-1 試驗的樣本量類似交叉設計，只是需要考慮 N-of-1 試驗的周期數（k=2 就等同于 2×2 交叉設計，這時可使用 2×2 交叉設計的樣本量公式）。Senn[11] 提出非中心 t 分布和非中心參數理論，其檢驗功效的近似計算公式為：
 |
式中，α 表示Ⅰ類錯誤，β 表示Ⅱ類錯誤，1-β 表示功效，n 表示樣本量，k 表示周期數，Δ 為兩種處理效應的均數差，σ 為公式 1 的標準差，度量同一個患者不同周期的治療效果的變異度。公式 2 的自由度為 k(n- 1)，而實際的自由度是 nk-1，這時會低估樣本量，因此需要在上述樣本量的基礎上，依次增加一例患者，不斷迭代，直至達到功效為止。
公式（2）用于數值資料的差異性檢驗，對于藥物研發的非劣效性檢驗（non-inferiority）、優效性檢驗（superiority）和等效性檢驗（equivalence），則需要調整假設檢驗，并考慮這些檢驗的邊界值（margin）。
實例 1：開展 3 周期 N-of-1 試驗，比較藥物 A 和藥物 B 的治療效果。假設不同患者之間的治療效果不存在差別。如果患者自身治療效果的標準差為 5（σ），兩組的治療效果差別為 3（Δ）；在Ⅰ類錯誤 0.05 和功效為 80% 的前提下，需要多少例患者？
根據條件可知Ⅰ類錯誤= 0. 05，檢驗功效為 80%。根據上述條件，可以算出所有患者治療效應差的方差為 16.67（2*5*5/3），對應的標準差為 4.08（σ），代入公式（2），得到 n=15，此時的功效為 78.6%，沒有達到 80%。因此增加 1 例患者，得到 16 例，代入公式（2），得到對應的功效 81.3%，大于 80%，最終需要 16 例患者，一共包括 48 個周期（3*16）。
實例 2：開展 4 周期 N-of-1 試驗，其它條件均和實例 1 一樣，需要多少例患者？
代入公式（2），得到 n=10，此時的功效為 73.8%，在上述樣本量的基礎上，依次增加一例患者，不斷迭代，最終得到樣本量為 12（功效為 81.6%），一共包括 48 個周期（4*12）。
3 隨機模型的樣本量估計
隨機模型的前提是不同患者之間治療效應不完全一樣，存在患者間的治療差異，即 
≠0。因此計算樣本量的時候，需要同時考慮公式 1 中的 σ 和 
。按照 Zucker 等[18, 19]的前提，這時所有患者治療效應差的方差為
，對應的標準差為
。在計算出所有患者治療效應差的方差的條件下，采用 O'Brien 和 Muller（1993）給出的單樣本 t 檢驗的樣本量估計公式。該公式基于非中心 t 分布和非中心參數理論，其檢驗功效的計算公式為[20]：
 |
公式（3）中，α 表示Ⅰ類錯誤，β 表示Ⅱ類錯誤，1-β 表示功效，n 表示樣本量，Δ 為兩種處理效應的均數差；σ1 為所有患者治療效應差的標準差，這里的 σ1 跟公式 2 中的 σ 不一樣，其計算公式為
，對應的自由度為 (n- 1)。
實例 3：開展 3 周期 N-of-1 試驗，比較藥物 A 和藥物 B 的治療效果。假設不同患者之間的治療效果存在差別，其標準差為 3（
）。如果患者自身治療效果的標準差為 5（σ），兩組的治療效果差別為 3（Δ）；在Ⅰ類錯誤 0.05 和功效為 80% 的前提下，需要多少例患者？
根據條件可知Ⅰ類錯誤= 0. 05，檢驗功效為 80%。根據上述條件，計算出所有患者治療效果的方差為 25.67
，標準差（σ1）為 5.07。代入公式（3），得到 n=25，需要 25 例患者（對應的功效為 81.1%），一共包括 75 個周期（3*25）。
從上面的實例可以得到：隨機效應模型受到不同患者之間治療效應值方差（
2）的影響。相同參數情況下，固定模型得到的樣本量小于隨機模型。隨著 
2 的增加，隨機模型對應的樣本量隨著增大。比如實例 3 中的 
如果翻倍（從 3 變成 6），其它條件不變，得到 n=48，樣本量也基本翻倍。
在相同的樣本量估計參數設置下，如果開展 2 周期 N-of-1 試驗（相當于 2×2 交叉設計），需要多少例患者？將數值代入公式（3），得到 n=32，對應的功效為 80.5%，一共需要 64 個周期（2*32）。在相同的樣本量估計參數設置下，開展 4 周期 N-of-1 試驗，則得到 n=21，對應的功效為 80.5%，一共需要 84 個周期（4*21）。
4 討論
本文基于 N-of-1 試驗設計的原理和統計學分布理論，給出 N-of-1 試驗的樣本量估計方法。目前主要有兩種方法估計 N-of-1 試驗的樣本量：固定模型和隨機模型。兩種模型的前提條件不一樣，固定模型要求所有患者之間的治療效應一樣，不存在患者間的治療差異，該條件一般在實際中很難滿足。不同患者對治療的靈敏度不一樣，經常對特定的治療存在個體差異，因此隨機模型的樣本量估計更符合實際情況，而使用固定模型估計樣本量時一定要慎重。
總的來看，在相同的樣本量估計參數設置下，隨機效應所需的樣本量大于固定效應。隨機效應的樣本量受到不同患者之間治療效應值方差（ψ2）的影響。隨著不同患者之間治療效應值方差的增加，其樣本量也隨之增大。比如實例 3 中的 ψ 翻倍（從 3 變成 6）而其它條件不變，對應的樣本量從 25 例變成 48 例，樣本量也基本翻倍。
在相同的樣本量估計參數設置下，隨著周期數的增加，固定效應的樣本量成比例減小。本研究發現 3 周期的 N-of-1 試驗，需要 16 例患者；4 周期的 N-of-1 試驗，需要 12 例患者；兩種情況下的周期總數都等于 48。Senn[13] 證明對于固定效應，隨著周期數的增加，所有納入對象的周期總數基本保持不變。該結果提示如果符合固定效應，研究者可以選擇開展 3 周期或 4 周期（甚至更高周期）的 N-of-1 試驗；當然也可以在同一個 N-of-1 試驗，對不同患者采取不同周期的 N-of-1 試驗。本研究進一步發現：隨著周期數的增加，隨機模型的周期總數不斷的增加[13]。因此，對于隨機模型，建議開展較低周期的 N-of-1 試驗，更容易節約樣本量。
很多常用的樣本量估計軟件，比如 PASS 軟件，nQuery 軟件等只有交叉設計樣本量估計的模塊。由于 N-of-1 試驗比較特殊，這些軟件并沒有 N-of-1 試驗的模塊。因此研究者需要根據需求利用上述公式計算樣本量，這在一定程度上限制了它的廣泛應用。希望國內研究人員實施 N-of-1 試驗方案時，能夠使用正確的樣本量估計方法，從而提高我國 N-of-1 試驗的研究質量。
單病例隨機對照試驗（single case randomized controlled trial）簡稱 N-of-1 試驗，是一種基于單個患者進行隨機、多周期二階段交叉設計的研究方案，用于比較兩種干預方法（或藥物）的治療效果[1-10]。N-of-1 試驗通過反復在同一個患者身上進行多次的交叉對照研究，比較不同治療方法的效果，最終用于指導個體患者的治療[1-3]。目前，國內開展的 N-of-1 試驗大部分來自中醫藥領域，主要包括中藥或者針灸治療癌癥、糖尿病、高血壓、腎病、支氣管擴張癥等慢性病[7]。這些 N-of-1 試驗均取得了一定的效果，然而目前國內開展的 N-of-1 試驗都沒有報道樣本量估算方法。國外的研究者一般在交叉設計的基礎上，計算 N-of-1 試驗的樣本量[11-15]。而國內研究者對 N-of-1 試驗樣本量的估算上仍存在困擾，很多研究者并不知道正確的樣本量估算方法。本文將闡明 N-of-1 試驗的模型和假設（樣本量估計原理），并在此基礎上，給出相應的樣本量估算方法、應用條件及實例。
1 N-of-1 試驗的模型和假設
假設 n 個患者將在 k 次周期中隨機分配給 A 干預和 B 干預，即在 k 個周期內，患者將隨機接受 A 或 B 干預中的一個。假設所研究疾病的病情是穩定的，可通過清洗期等方法消除殘留效應。另外，測量指標為連續型變量；對于每個患者每個周期的數據，A 干預和 B 干預的效果可以互減，得到兩種干預的差值（d）。因此，Senn 等[13, 16]在 Chen[17] 的研究基礎上，提出下面的模型：
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其中 i 表示患者，j 表示周期（j ≥ 2）；d 表示干預 A 減去干預 B 得到的差值（治療效應差）。τi 是第 i 個患者治療效應差的平均值，服從正態分布，其均數為 T，方差為 2。2 反映不同患者之間治療效應的變異程度；該數值越大，說明不同患者之間的治療效果相差越大。是隨機效應，不同患者不同周期的隨機效應互相獨立，也服從正態分布，其均數為 0，方差為 2σ2。2σ2 表示患者自身治療效果的變異程度，該數值越大，說明同一個患者不同周期的治療效果相差越大。根據公式（1），第 i 個患者治療效應差的平均值，其對應的方差為。所有患者治療效應差的方差為。T 的估計值 。基于上述模型，有固定模型和隨機模型可用于估計 N-of-1 試驗的樣本量。
2 固定模型的樣本量估計
固定模型的前提是所有患者之間治療效應完全一樣，不存在患者間的治療差異，即 ψ=0。ψ2 可以從方差分量中去除；因此，得到第 i 個患者治療效應差的方差為，所有患者的方差為。這種情況，N-of-1 試驗的樣本量類似交叉設計，只是需要考慮 N-of-1 試驗的周期數（k=2 就等同于 2×2 交叉設計，這時可使用 2×2 交叉設計的樣本量公式）。Senn[11] 提出非中心 t 分布和非中心參數理論，其檢驗功效的近似計算公式為：
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式中，α 表示Ⅰ類錯誤，β 表示Ⅱ類錯誤，1-β 表示功效，n 表示樣本量，k 表示周期數，Δ 為兩種處理效應的均數差，σ 為公式 1 的標準差，度量同一個患者不同周期的治療效果的變異度。公式 2 的自由度為 k(n- 1)，而實際的自由度是 nk-1，這時會低估樣本量，因此需要在上述樣本量的基礎上，依次增加一例患者，不斷迭代，直至達到功效為止。
公式（2）用于數值資料的差異性檢驗，對于藥物研發的非劣效性檢驗（non-inferiority）、優效性檢驗（superiority）和等效性檢驗（equivalence），則需要調整假設檢驗，并考慮這些檢驗的邊界值（margin）。
實例 1：開展 3 周期 N-of-1 試驗，比較藥物 A 和藥物 B 的治療效果。假設不同患者之間的治療效果不存在差別。如果患者自身治療效果的標準差為 5（σ），兩組的治療效果差別為 3（Δ）；在Ⅰ類錯誤 0.05 和功效為 80% 的前提下，需要多少例患者？
根據條件可知Ⅰ類錯誤= 0. 05，檢驗功效為 80%。根據上述條件，可以算出所有患者治療效應差的方差為 16.67（2*5*5/3），對應的標準差為 4.08（σ），代入公式（2），得到 n=15，此時的功效為 78.6%，沒有達到 80%。因此增加 1 例患者，得到 16 例，代入公式（2），得到對應的功效 81.3%，大于 80%，最終需要 16 例患者，一共包括 48 個周期（3*16）。
實例 2：開展 4 周期 N-of-1 試驗，其它條件均和實例 1 一樣，需要多少例患者？
代入公式（2），得到 n=10，此時的功效為 73.8%，在上述樣本量的基礎上，依次增加一例患者，不斷迭代，最終得到樣本量為 12（功效為 81.6%），一共包括 48 個周期（4*12）。
3 隨機模型的樣本量估計
隨機模型的前提是不同患者之間治療效應不完全一樣，存在患者間的治療差異，即 ≠0。因此計算樣本量的時候，需要同時考慮公式 1 中的 σ 和 。按照 Zucker 等[18, 19]的前提，這時所有患者治療效應差的方差為，對應的標準差為。在計算出所有患者治療效應差的方差的條件下，采用 O'Brien 和 Muller（1993）給出的單樣本 t 檢驗的樣本量估計公式。該公式基于非中心 t 分布和非中心參數理論，其檢驗功效的計算公式為[20]：
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公式（3）中，α 表示Ⅰ類錯誤，β 表示Ⅱ類錯誤，1-β 表示功效，n 表示樣本量，Δ 為兩種處理效應的均數差；σ1 為所有患者治療效應差的標準差，這里的 σ1 跟公式 2 中的 σ 不一樣，其計算公式為，對應的自由度為 (n- 1)。
實例 3：開展 3 周期 N-of-1 試驗，比較藥物 A 和藥物 B 的治療效果。假設不同患者之間的治療效果存在差別，其標準差為 3（）。如果患者自身治療效果的標準差為 5（σ），兩組的治療效果差別為 3（Δ）；在Ⅰ類錯誤 0.05 和功效為 80% 的前提下，需要多少例患者？
根據條件可知Ⅰ類錯誤= 0. 05，檢驗功效為 80%。根據上述條件，計算出所有患者治療效果的方差為 25.67，標準差（σ1）為 5.07。代入公式（3），得到 n=25，需要 25 例患者（對應的功效為 81.1%），一共包括 75 個周期（3*25）。
從上面的實例可以得到：隨機效應模型受到不同患者之間治療效應值方差（2）的影響。相同參數情況下，固定模型得到的樣本量小于隨機模型。隨著 2 的增加，隨機模型對應的樣本量隨著增大。比如實例 3 中的 如果翻倍（從 3 變成 6），其它條件不變，得到 n=48，樣本量也基本翻倍。
在相同的樣本量估計參數設置下，如果開展 2 周期 N-of-1 試驗（相當于 2×2 交叉設計），需要多少例患者？將數值代入公式（3），得到 n=32，對應的功效為 80.5%，一共需要 64 個周期（2*32）。在相同的樣本量估計參數設置下，開展 4 周期 N-of-1 試驗，則得到 n=21，對應的功效為 80.5%，一共需要 84 個周期（4*21）。
4 討論
本文基于 N-of-1 試驗設計的原理和統計學分布理論，給出 N-of-1 試驗的樣本量估計方法。目前主要有兩種方法估計 N-of-1 試驗的樣本量：固定模型和隨機模型。兩種模型的前提條件不一樣，固定模型要求所有患者之間的治療效應一樣，不存在患者間的治療差異，該條件一般在實際中很難滿足。不同患者對治療的靈敏度不一樣，經常對特定的治療存在個體差異，因此隨機模型的樣本量估計更符合實際情況，而使用固定模型估計樣本量時一定要慎重。
總的來看，在相同的樣本量估計參數設置下，隨機效應所需的樣本量大于固定效應。隨機效應的樣本量受到不同患者之間治療效應值方差（ψ2）的影響。隨著不同患者之間治療效應值方差的增加，其樣本量也隨之增大。比如實例 3 中的 ψ 翻倍（從 3 變成 6）而其它條件不變，對應的樣本量從 25 例變成 48 例，樣本量也基本翻倍。
在相同的樣本量估計參數設置下，隨著周期數的增加，固定效應的樣本量成比例減小。本研究發現 3 周期的 N-of-1 試驗，需要 16 例患者；4 周期的 N-of-1 試驗，需要 12 例患者；兩種情況下的周期總數都等于 48。Senn[13] 證明對于固定效應，隨著周期數的增加，所有納入對象的周期總數基本保持不變。該結果提示如果符合固定效應，研究者可以選擇開展 3 周期或 4 周期（甚至更高周期）的 N-of-1 試驗；當然也可以在同一個 N-of-1 試驗，對不同患者采取不同周期的 N-of-1 試驗。本研究進一步發現：隨著周期數的增加，隨機模型的周期總數不斷的增加[13]。因此，對于隨機模型，建議開展較低周期的 N-of-1 試驗，更容易節約樣本量。
很多常用的樣本量估計軟件，比如 PASS 軟件，nQuery 軟件等只有交叉設計樣本量估計的模塊。由于 N-of-1 試驗比較特殊，這些軟件并沒有 N-of-1 試驗的模塊。因此研究者需要根據需求利用上述公式計算樣本量，這在一定程度上限制了它的廣泛應用。希望國內研究人員實施 N-of-1 試驗方案時，能夠使用正確的樣本量估計方法，從而提高我國 N-of-1 試驗的研究質量。