作為Meta分析的一個分支，劑量-反應Meta分析在探討潛在病因暴露水平對應疾病發生風險方面起著重要作用。傳統的劑量-反應Meta分析模型僅解決了自變量與因變量之間潛在的線性關系，隨著方法學及函數模型的發展，各種非線性回歸方法被應用于劑量反應Meta分析中，如經典的限制性立方樣條回歸、二次B樣條回歸等均被研發。然而，上述方法因函數自變量（x）的元數及次數已經固定，對于不同類型的數據分布情況及趨勢走向，并不一定均適用，同時可能出現過度擬合的風險。靈活分段多項式法則很好地解決了這個問題，其通過建立靈活的分段多項式函數，各個進行似然比檢驗，選出最佳的自變量元數及次數對劑量-反應趨勢進行擬合，得出更符合個體化數據的結果，使其更接近于真實值。本文就運用靈活分段多項式模型進行劑量-反應Meta分析方法學進行相關簡介。
引用本文： 徐暢, 鄺心穎, 張超, 牛玉明. 劑量-反應Meta分析之靈活冪函數多項式在模型中的應用. 中國循證醫學雜志, 2016, 16(2): 219-222. doi: 10.7507/1672-2531.20160034 復制
劑量反應Meta分析中，趨勢逼近模型的選擇往往對結果會產生一定差異，進而可能影響結果的可信度和證據分級 [1]。目前，劑量反應Meta分析中使用較為頻繁的模型為限制性立方樣條函數模型 [2]，該模型因逼近效果佳、源代碼開放、操作簡單等特點而被廣泛應用于病因相關的循證實踐 [3-5]，為臨床醫生及廣大患者提供了有效的疾病預防指導。然而，這種模型也存在一定缺陷，其一，該函數難于理解，內在的方法學較為復雜（如樣條插值），因而大多數使用者很大程度上是基于模仿，而并未真正理解該模型，這很可能導致模型及方法學使用錯誤而得出不可靠結論 [6]；其二，該模型使用三次函數進行趨勢逼近，次數已經固定，然而不同的數據分布可能有不同的最佳擬合次數和函數，如二次函數、冪函數或指數函數等，這可能導致模型過于僵化，對于能使用二次函數逼近的數據而言，違背了簡約定律 [7]并潛在存在過度擬合的風險 [2]。本文介紹一種靈活分段多項式模型，可以很好地避免上述兩個問題，理解簡單且使用靈活，適于推廣。
1 資料與方法
1.1 數據格式
劑量-反應Meta分析主要應用于探討自變量與應變量之間的因果關系，如某潛在病因暴露水平的變化（自變量）與對應疾病發病風險（應變量）的關系 [6]。為方便說明，我們仍然引入一個典型劑量-反應數據的表格（表 1） [1]。表 1中，不妨以最低暴露水平為參照水平，對應的效應量為參照相對風險（即Reference，對應的RR=1），隨著暴露水平（Dose）的增加或者降低，該疾病的發病風險（RR ）也發生相應變化。
表1
劑量-反應Meta分析數據類型
1.2 趨勢逼近方法
對于類似于表 1中的數據類型，探討暴露水平與效應量之間潛在趨勢時，目前有兩種方法進行Meta分析，其一為將其當作分層數據處理，即對納入研究暴露水平分層，然后將每一分層的RR進行合并；其二為將暴露水平當作連續性數據處理，建立回歸函數 [1]。分層模型因方法學上的缺陷已不作為推薦方法。
使用回歸函數擬合潛在趨勢比較理想，即以暴露水平為X軸，以效應量的對數為Y軸，建立回歸函數。我們以靈活分段多項式函數進行該表格數據的趨勢逼近，思路將從以下幾步來進行：建立函數模型，選擇最佳的函數次數和項，估計函數參數，最后合并次數及參數得出最終加權合并的自變量與應變量關系的函數。
2 函數模型
2.1 函數表達式
該函數由Royston等 [8]提出并應用于劑量-反應Meta分析。本文仍以β表示參數，x表示暴露水平，以p表示次數，函數模型如下：
| $\log (RR|x)=\sum _{m=1}^{M}{{\beta }_{m}}{{x}^{{{p}_{m}}}}+\varepsilon $ |
變量M（1，2，3…）表示函數的項，若M=1，表示該函數為單項式函數，若M>1則表示為多項式函數。通過M值的變化，靈活多項式函數因此并非單一的表達式，而是一個由單項式與多項式函數組成的家族。通常以FP1（Flexible Polynomial，M=1）來表示單項式，FP2（Flexible Polynomial，M=2）來表示二項式，以此類推。
Log(RR|x)表示以x為自變量下RR的對數值，這種函數表達在數學中較為常見，其實也可以簡寫成Log(RR)。若M和p均等于1，該函數則為簡單線性函數。通常在實際情況中，M的取值為2時（二項式）已經可滿足各種趨勢的逼近。
2.2 函數的意義
在上述基礎上，我們可以寫出較為直觀的單項式和二項式表達式，二項式是在單項式的基礎上添加了一個形式類似的項，表達式分別如下：
| $FP1:Log(RR|x)={{\beta }_{1}}{{x}^{{{p}_{1}}}}+\varepsilon $ |
| $FP2:Log(RR|x)={{\beta }_{1}}{{x}^{{{p}_{1}}}}+{{\beta }_{2}}{{x}^{{{p}_{2}}}}+\varepsilon $ |
FP1通常用于線性關系或呈單調性分布（單調增或單調減）的趨勢的擬合，而FP2則用于更復雜趨勢的擬合，如U型、J型曲線。p的取值是從預先設定的集合P={-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,3}里選取。在FP1中，p1有8種可能的組合，FP2中，p1和p2則有36種可能的組合。需要注意的是，該函數有種特殊情況，需要遵循Box-Tidwell轉換原則 [8]。對FP1，若pi≠0時xpi表示xpi，若pi=0時則xpi變為lnx；對于FP2，若p1=p2=p，函數模型需轉換為
| $Log(RR)={{\beta }_{1}}{{x}^{p}}+{{\beta }_{2}}({{x}^{p}}lnx)$ |
定義xpi為H(x)，對于FP1，若p1取值分別為{0,1,2}時，H(x)的函數表達式分別為lnx、x、x2；對于FP2，p的取值為（0，1）、（1，1）、（1，2）時H(x)則分別為lnx+x、x+xlnx、x+x2。該函數對于次數的選擇較為靈活，因此稱為靈活分段多項式。
2.3 最佳擬合模型
通過上述函數模型的建立，我們需要進一步選擇最佳的模型，即確定p值和參數β的值。在本系列文一 [1]對于劑量-反應關系Meta分析的方法學簡介中，我們已經展示如何通過廣義最小二乘法求解參數β，此處繼續介紹另一種方法，即最大似然估計。關于p的求解，也需要用到似然比檢驗。最佳的模型具有最大似然性，也即具有最小的偏差（Deviance，D）。上述8種（FP1）或36種（FP2）任意組合中，設置一個參考函數（null model，比如Log(RR)=β1x），計算每種組合的偏差與該參考函數偏差的差值，得出每種組合的相對偏差增量（Gain，G），最終取相對偏差增量最大及相對偏差最小的那種組合為最佳模型 [9]。
偏差D的定義為-2×Loglikelihood，Loglikelihood表示模型對數似然函數最大值，即函數的最大似然估計。G的表達式為：
| $G=G(m,p)=D(\tilde{m},\tilde{p})-D(m,p)$ |
式中即為參考函數或零模型。D和G均符合卡方分布，因此也可通過x2檢驗計算相應的P值來判斷增量G的顯著性。當然公式（4）是針對同一M的情況，也即幾個待檢測模型具有相同的項。有些情況下，為了更好地擬合模型，需要檢測M=3及以上的必要性，即構建三項式的必要性，也可通過公式（4）的變換來確定，公式如下：
| $G=G(m,p)=D(\tilde{m},\tilde{p})-D(m+1,p)$ |
實踐中，Royston建議以D(1,1) 為零模型，即一個簡單線性回歸模型。對于最大似然函數值，則需要用到高等數學中的微積分求解 [10, 11]。我們知道函數的極值一般出現在一階導數為零處。因此對公式（2）和/或（3）進行構建似然函數后，對函數對數，進行偏微分，令其等于0，求解出函數的參數β，進而求出函數在此時的值，即最大似然值。以FP2的期望函數β1 xp1+β2 xp2且p取（0.5，0.5）為例，構建似然函數如下：
| $E(y)=P={{\beta }_{1}}{{x}^{\frac{1}{2}}}+{{\beta }_{2}}{{x}^{\frac{1}{2}}}\times Lnx$ |
E(y)表示y的期望函數，y為二分類型指標，即疾病的發生或未發生，取虛擬變量0和1分別表示疾病的發生與否。該公式意義為，自變量為x（連續型變量）時y=1的概率（P）。而我們知道相對危險度（RR）的意義為自變量（暴露水平）變化a個單位時，相對于原來的水平的風險，表達式為：
| $\begin{align} & f(P)=RR={{P}_{a}}/{{P}_{0}} \\ & =\frac{\exp [{{\beta }_{1}}{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}+{{\beta }_{2}}{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}\times Ln(x+a)]}{\exp ({{\beta }_{1}}{{x}^{\frac{1}{2}}}+{{\beta }_{2}}{{x}^{\frac{1}{2}}}\times Lnx)} \\ \end{align}$ |
對函數進行自然對數轉換，得到如下公式：
| $\begin{align} & Ln[f(P)]=lnRR \\ & =\{{{\beta }_{1}}[{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{\frac{1}{2}}}]+{{\beta }_{2}}[{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}\times Ln(x+a) \\ & -{{x}^{\frac{1}{2}}}\times Lnx]\} \\ \end{align}$ |
對β1、β2分別單獨求導數，并令其等于0，即可求出公式（8）的最大似然估計參數。而公式（8）其實就是上述Loglikelihood值，因此通過公式（8）亦可求出偏差D。實際上，待估參數β的值也已通過這一過程計算出。當然，計算過程較為復雜，建議大家在理解的基礎上使用軟件進行最大似然估計值的求解。
2.4 合并方法
上述模型建立后，我們對納入所有研究的結果進行合并，然而不同的研究按照上述方法會有不同的最佳模型，這給Meta分析帶來一定困難。因此，Sauerbrei等 [12]提供了兩種不同的方案進行合并。
第一種方案：將所有數據合并在一起，也即將所有數據合成一個大樣本數據，然后使用上述方法選擇最佳模型。當然，這種方法對數據的完整性要求較高，需要獲得納入研究的所有的原始數據。這也是實現IPD劑量-反應Meta分析的方法之一。
第二種方案：對每個研究通過上述方法選擇最佳模型，也即每個研究單獨有個最佳模型，并且可能與其他研究不同。這將導致模型不一致，尤其是在FP2中，p值可能存在差異，這將導致穩定性極差。而合并的辦法為，對每個指定的暴露水平（Dose），計算每個研究下該暴露水平對應的效應量RR，然后根據固定或隨機效應模型，將這些RR進行合并。
關于合并的效應模型，Sauerbrei等 [12]建議使用隨機效應模型。原因可能是隨機效應模型在異質性較小的情況下，其結果與固定效應模型相近；而對于異質性較大的情況，則本身需要使用隨機效應模型進行合并。
3 軟件
目前實現靈活分段多項式擬合劑量-反應Meta分析常用SAS軟件，該軟件由Bagnardi等 [13]編程并向公眾開放權限，該程序包包含10個調用所需的程序包，并且由一個主要程序來調用10個程序包下的程序進行運算，其最終運行給出的結果為合并后的函數模型，也即使用了上述第一種方案。值得注意的是，因運算過程繁瑣，加之個人電腦配置差異，軟件運行耗時可能存在一定差異。與此同時，該方法學也被應用到Stata軟件MFP命令中，其提供了進行一次擬合劑量-反應關系研究的代碼，簡化其中繁瑣步驟，該程序命令可通過Stata軟件自帶help功能來獲取其相關運行方法。
4 總結
本文對如何使用靈活分段多項式函數進行劑量-反應Meta分析的方法學進行了詳細介紹，包括模型的構建、最佳模型的選擇、參數的估計、最大似然估計思想以及合并方案。通過掌握相關方法學，可幫助研究者從本質上了解該函數在劑量-反應Meta分析的應用。
在靈活分段多項式與限制性立方樣條函數在劑量-反應Meta分析中，兩者結果基本相似 [13]，但在模型及合并思路方面有很大差異。首先，前者是從36種組合中選擇最佳擬合模型，而后者已將其限制為3次樣條函數，并且對函數的兩端進行了線性限制。其次，靈活分段多項式法合并方案中，第二種方案是對每個研究制定暴露水平下效應量進行加權合并，直接得出合并后的效應量，這與傳統Meta分析類似；而限制性立方樣條函數則是對擬合函數的參數β進行合并，得出最終的函數模型，再將暴露劑量代入模型中計算出對應的效應量；當然，靈活分段多項式的第一種合并方案則與限制性立方樣條函數類似。
對于靈活分段多項式法，從統計角度來看，第一種合并方案更為合理，因為第二種方案可能存在統計效能低的問題，這種合并方法類似于分層模型合并，分層后不僅會導致樣本量的丟失，而且需要建立在各層對應的應變量獨立的假設條件下，但實際上這些應變量都不是獨立的。
相對于其他模型，靈活分段多項式函數的優點在于對趨勢擬合的靈活。不同研究因為設計、實施等各方面的差異，可能影響數據的分布趨勢，因此針對不同趨勢選用不同最佳模型是非常合理的方式。但如上所述，該方法仍存在一些缺陷。然而缺陷是每種方法不可避免的。因此，在循證實踐過程中，我們需要根據實際情況進行取舍，從而得出符合實際情況的結果，以更有效地指導臨床實踐。
劑量反應Meta分析中，趨勢逼近模型的選擇往往對結果會產生一定差異，進而可能影響結果的可信度和證據分級 [1]。目前，劑量反應Meta分析中使用較為頻繁的模型為限制性立方樣條函數模型 [2]，該模型因逼近效果佳、源代碼開放、操作簡單等特點而被廣泛應用于病因相關的循證實踐 [3-5]，為臨床醫生及廣大患者提供了有效的疾病預防指導。然而，這種模型也存在一定缺陷，其一，該函數難于理解，內在的方法學較為復雜（如樣條插值），因而大多數使用者很大程度上是基于模仿，而并未真正理解該模型，這很可能導致模型及方法學使用錯誤而得出不可靠結論 [6]；其二，該模型使用三次函數進行趨勢逼近，次數已經固定，然而不同的數據分布可能有不同的最佳擬合次數和函數，如二次函數、冪函數或指數函數等，這可能導致模型過于僵化，對于能使用二次函數逼近的數據而言，違背了簡約定律 [7]并潛在存在過度擬合的風險 [2]。本文介紹一種靈活分段多項式模型，可以很好地避免上述兩個問題，理解簡單且使用靈活，適于推廣。
1 資料與方法
1.1 數據格式
劑量-反應Meta分析主要應用于探討自變量與應變量之間的因果關系，如某潛在病因暴露水平的變化（自變量）與對應疾病發病風險（應變量）的關系 [6]。為方便說明，我們仍然引入一個典型劑量-反應數據的表格（表 1） [1]。表 1中，不妨以最低暴露水平為參照水平，對應的效應量為參照相對風險（即Reference，對應的RR=1），隨著暴露水平（Dose）的增加或者降低，該疾病的發病風險（RR ）也發生相應變化。
表1
劑量-反應Meta分析數據類型
1.2 趨勢逼近方法
對于類似于表 1中的數據類型，探討暴露水平與效應量之間潛在趨勢時，目前有兩種方法進行Meta分析，其一為將其當作分層數據處理，即對納入研究暴露水平分層，然后將每一分層的RR進行合并；其二為將暴露水平當作連續性數據處理，建立回歸函數 [1]。分層模型因方法學上的缺陷已不作為推薦方法。
使用回歸函數擬合潛在趨勢比較理想，即以暴露水平為X軸，以效應量的對數為Y軸，建立回歸函數。我們以靈活分段多項式函數進行該表格數據的趨勢逼近，思路將從以下幾步來進行：建立函數模型，選擇最佳的函數次數和項，估計函數參數，最后合并次數及參數得出最終加權合并的自變量與應變量關系的函數。
2 函數模型
2.1 函數表達式
該函數由Royston等 [8]提出并應用于劑量-反應Meta分析。本文仍以β表示參數，x表示暴露水平，以p表示次數，函數模型如下：
| $\log (RR|x)=\sum _{m=1}^{M}{{\beta }_{m}}{{x}^{{{p}_{m}}}}+\varepsilon $ |
變量M（1，2，3…）表示函數的項，若M=1，表示該函數為單項式函數，若M>1則表示為多項式函數。通過M值的變化，靈活多項式函數因此并非單一的表達式，而是一個由單項式與多項式函數組成的家族。通常以FP1（Flexible Polynomial，M=1）來表示單項式，FP2（Flexible Polynomial，M=2）來表示二項式，以此類推。
Log(RR|x)表示以x為自變量下RR的對數值，這種函數表達在數學中較為常見，其實也可以簡寫成Log(RR)。若M和p均等于1，該函數則為簡單線性函數。通常在實際情況中，M的取值為2時（二項式）已經可滿足各種趨勢的逼近。
2.2 函數的意義
在上述基礎上，我們可以寫出較為直觀的單項式和二項式表達式，二項式是在單項式的基礎上添加了一個形式類似的項，表達式分別如下：
| $FP1:Log(RR|x)={{\beta }_{1}}{{x}^{{{p}_{1}}}}+\varepsilon $ |
| $FP2:Log(RR|x)={{\beta }_{1}}{{x}^{{{p}_{1}}}}+{{\beta }_{2}}{{x}^{{{p}_{2}}}}+\varepsilon $ |
FP1通常用于線性關系或呈單調性分布（單調增或單調減）的趨勢的擬合，而FP2則用于更復雜趨勢的擬合，如U型、J型曲線。p的取值是從預先設定的集合P={-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,3}里選取。在FP1中，p1有8種可能的組合，FP2中，p1和p2則有36種可能的組合。需要注意的是，該函數有種特殊情況，需要遵循Box-Tidwell轉換原則 [8]。對FP1，若pi≠0時xpi表示xpi，若pi=0時則xpi變為lnx；對于FP2，若p1=p2=p，函數模型需轉換為
| $Log(RR)={{\beta }_{1}}{{x}^{p}}+{{\beta }_{2}}({{x}^{p}}lnx)$ |
定義xpi為H(x)，對于FP1，若p1取值分別為{0,1,2}時，H(x)的函數表達式分別為lnx、x、x2；對于FP2，p的取值為（0，1）、（1，1）、（1，2）時H(x)則分別為lnx+x、x+xlnx、x+x2。該函數對于次數的選擇較為靈活，因此稱為靈活分段多項式。
2.3 最佳擬合模型
通過上述函數模型的建立，我們需要進一步選擇最佳的模型，即確定p值和參數β的值。在本系列文一 [1]對于劑量-反應關系Meta分析的方法學簡介中，我們已經展示如何通過廣義最小二乘法求解參數β，此處繼續介紹另一種方法，即最大似然估計。關于p的求解，也需要用到似然比檢驗。最佳的模型具有最大似然性，也即具有最小的偏差（Deviance，D）。上述8種（FP1）或36種（FP2）任意組合中，設置一個參考函數（null model，比如Log(RR)=β1x），計算每種組合的偏差與該參考函數偏差的差值，得出每種組合的相對偏差增量（Gain，G），最終取相對偏差增量最大及相對偏差最小的那種組合為最佳模型 [9]。
偏差D的定義為-2×Loglikelihood，Loglikelihood表示模型對數似然函數最大值，即函數的最大似然估計。G的表達式為：
| $G=G(m,p)=D(\tilde{m},\tilde{p})-D(m,p)$ |
式中即為參考函數或零模型。D和G均符合卡方分布，因此也可通過x2檢驗計算相應的P值來判斷增量G的顯著性。當然公式（4）是針對同一M的情況，也即幾個待檢測模型具有相同的項。有些情況下，為了更好地擬合模型，需要檢測M=3及以上的必要性，即構建三項式的必要性，也可通過公式（4）的變換來確定，公式如下：
| $G=G(m,p)=D(\tilde{m},\tilde{p})-D(m+1,p)$ |
實踐中，Royston建議以D(1,1) 為零模型，即一個簡單線性回歸模型。對于最大似然函數值，則需要用到高等數學中的微積分求解 [10, 11]。我們知道函數的極值一般出現在一階導數為零處。因此對公式（2）和/或（3）進行構建似然函數后，對函數對數，進行偏微分，令其等于0，求解出函數的參數β，進而求出函數在此時的值，即最大似然值。以FP2的期望函數β1 xp1+β2 xp2且p取（0.5，0.5）為例，構建似然函數如下：
| $E(y)=P={{\beta }_{1}}{{x}^{\frac{1}{2}}}+{{\beta }_{2}}{{x}^{\frac{1}{2}}}\times Lnx$ |
E(y)表示y的期望函數，y為二分類型指標，即疾病的發生或未發生，取虛擬變量0和1分別表示疾病的發生與否。該公式意義為，自變量為x（連續型變量）時y=1的概率（P）。而我們知道相對危險度（RR）的意義為自變量（暴露水平）變化a個單位時，相對于原來的水平的風險，表達式為：
| $\begin{align} & f(P)=RR={{P}_{a}}/{{P}_{0}} \\ & =\frac{\exp [{{\beta }_{1}}{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}+{{\beta }_{2}}{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}\times Ln(x+a)]}{\exp ({{\beta }_{1}}{{x}^{\frac{1}{2}}}+{{\beta }_{2}}{{x}^{\frac{1}{2}}}\times Lnx)} \\ \end{align}$ |
對函數進行自然對數轉換，得到如下公式：
| $\begin{align} & Ln[f(P)]=lnRR \\ & =\{{{\beta }_{1}}[{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{\frac{1}{2}}}]+{{\beta }_{2}}[{{(x+a)}^{\frac{1}{2}}}\times Ln(x+a) \\ & -{{x}^{\frac{1}{2}}}\times Lnx]\} \\ \end{align}$ |
對β1、β2分別單獨求導數，并令其等于0，即可求出公式（8）的最大似然估計參數。而公式（8）其實就是上述Loglikelihood值，因此通過公式（8）亦可求出偏差D。實際上，待估參數β的值也已通過這一過程計算出。當然，計算過程較為復雜，建議大家在理解的基礎上使用軟件進行最大似然估計值的求解。
2.4 合并方法
上述模型建立后，我們對納入所有研究的結果進行合并，然而不同的研究按照上述方法會有不同的最佳模型，這給Meta分析帶來一定困難。因此，Sauerbrei等 [12]提供了兩種不同的方案進行合并。
第一種方案：將所有數據合并在一起，也即將所有數據合成一個大樣本數據，然后使用上述方法選擇最佳模型。當然，這種方法對數據的完整性要求較高，需要獲得納入研究的所有的原始數據。這也是實現IPD劑量-反應Meta分析的方法之一。
第二種方案：對每個研究通過上述方法選擇最佳模型，也即每個研究單獨有個最佳模型，并且可能與其他研究不同。這將導致模型不一致，尤其是在FP2中，p值可能存在差異，這將導致穩定性極差。而合并的辦法為，對每個指定的暴露水平（Dose），計算每個研究下該暴露水平對應的效應量RR，然后根據固定或隨機效應模型，將這些RR進行合并。
關于合并的效應模型，Sauerbrei等 [12]建議使用隨機效應模型。原因可能是隨機效應模型在異質性較小的情況下，其結果與固定效應模型相近；而對于異質性較大的情況，則本身需要使用隨機效應模型進行合并。
3 軟件
目前實現靈活分段多項式擬合劑量-反應Meta分析常用SAS軟件，該軟件由Bagnardi等 [13]編程并向公眾開放權限，該程序包包含10個調用所需的程序包，并且由一個主要程序來調用10個程序包下的程序進行運算，其最終運行給出的結果為合并后的函數模型，也即使用了上述第一種方案。值得注意的是，因運算過程繁瑣，加之個人電腦配置差異，軟件運行耗時可能存在一定差異。與此同時，該方法學也被應用到Stata軟件MFP命令中，其提供了進行一次擬合劑量-反應關系研究的代碼，簡化其中繁瑣步驟，該程序命令可通過Stata軟件自帶help功能來獲取其相關運行方法。
4 總結
本文對如何使用靈活分段多項式函數進行劑量-反應Meta分析的方法學進行了詳細介紹，包括模型的構建、最佳模型的選擇、參數的估計、最大似然估計思想以及合并方案。通過掌握相關方法學，可幫助研究者從本質上了解該函數在劑量-反應Meta分析的應用。
在靈活分段多項式與限制性立方樣條函數在劑量-反應Meta分析中，兩者結果基本相似 [13]，但在模型及合并思路方面有很大差異。首先，前者是從36種組合中選擇最佳擬合模型，而后者已將其限制為3次樣條函數，并且對函數的兩端進行了線性限制。其次，靈活分段多項式法合并方案中，第二種方案是對每個研究制定暴露水平下效應量進行加權合并，直接得出合并后的效應量，這與傳統Meta分析類似；而限制性立方樣條函數則是對擬合函數的參數β進行合并，得出最終的函數模型，再將暴露劑量代入模型中計算出對應的效應量；當然，靈活分段多項式的第一種合并方案則與限制性立方樣條函數類似。
對于靈活分段多項式法，從統計角度來看，第一種合并方案更為合理，因為第二種方案可能存在統計效能低的問題，這種合并方法類似于分層模型合并，分層后不僅會導致樣本量的丟失，而且需要建立在各層對應的應變量獨立的假設條件下，但實際上這些應變量都不是獨立的。
相對于其他模型，靈活分段多項式函數的優點在于對趨勢擬合的靈活。不同研究因為設計、實施等各方面的差異，可能影響數據的分布趨勢，因此針對不同趨勢選用不同最佳模型是非常合理的方式。但如上所述，該方法仍存在一些缺陷。然而缺陷是每種方法不可避免的。因此，在循證實踐過程中，我們需要根據實際情況進行取舍，從而得出符合實際情況的結果，以更有效地指導臨床實踐。
