本文以線性響應理論為基礎，在有限元軟件 COMSOL 中建立了基于大鼠肝癌的磁感應熱療（MFH）模型。通過對四氧化三鐵（Fe3O4）、鈷化鐵（FeCo）、面心立方晶格鉑化鐵（fccFePt）和 L10 相鉑化鐵（L10FePt）共 4 種磁介質參數的分析，研究了弛豫機制下，磁介質半徑的變化對損耗功率和溫度場的影響。同時，提出了針對不同磁介質參數的優化方法，并對 4 種磁介質的適用場合給出建議。本文通過盡可能地提高磁介質的損耗功率，可以降低治療時所需的磁介質劑量，從而減小對腫瘤組織周圍正常組織的不良影響。本文結果可為應用于磁感應熱療的磁介質制備提供參考。
引用本文： 屈英佼, 逯邁, 劉曦, 林燕平. 磁感應熱療中磁介質參數與加熱溫度關系的模擬仿真. 生物醫學工程學雜志, 2019, 36(2): 206-212. doi: 10.7507/1001-5515.201806014 復制
引言
癌癥是目前全球死亡率最高的疾病之一，嚴重危害人類的生命健康。磁感應熱療（magnetic fluid hyperthermia，MFH）是一種治療癌癥的有效方法，并且可以與其他治療方式聯合進行，如化療、靶向載藥、光動力療等[1]。磁感應熱療的基本原理是利用植入腫瘤組織內的磁介質在交變磁場下感應發熱的特點，將腫瘤靶區加熱到一定熱劑量，從而達到腫瘤治療的目的[2]。根據腫瘤靶區所需的治療溫度分類，磁感應熱療可分為溫熱療法（42～46℃），高溫療法（46～70℃）和熱消融（70℃ 以上）3 類，溫熱療法可用于增強腫瘤組織對放化療的敏感性并引起細胞的凋亡；高溫療法能夠使腫瘤組織發生壞死并增強機體對腫瘤的免疫力；熱消融能夠使腫瘤組織發生廣泛的凝固、碳化[3]。磁介質的損耗功率是影響磁感應熱療加熱溫度的主要因素，也是磁介質制備時需要考慮的主要問題之一，因此有必要對影響磁介質在生物組織中損耗功率的參數進行分析研究。
目前磁感應熱療的研究主要集中在磁介質制備和動物實驗方面，對磁介質參數如何影響損耗功率的研究相對較少。Kurgan 等[4]討論了磁介質半徑 R、表面修飾層厚度 δ 以及平衡磁化率 
、體積分數 ? 對損耗功率 P 的影響。浙江大學的胡冠中[5]針對磁場發生線圈形狀和磁介質體積分數進行了多參數優化。John 等[6]建立了基于大鼠乳腺癌的數值模型，得到了一定條件下實現熱療的最低劑量范圍。北京理工大學的邱慶偉[7]和韓國延世大學的 Lee 等[8]從磁介質制備的角度探討了影響磁介質加熱溫度的因素。
以上方法均側重于研究磁介質的某一個參數與損耗功率之間的宏觀規律，未能將參數對損耗功率的影響和弛豫過程產熱聯系起來。基于此，本文采用有限元軟件 COMSOL 5.1（COMSOL Inc.，瑞典）進行磁感應熱療的仿真，為保證研究結果的普適性，選擇四氧化三鐵（Fe3O4）、鈷化鐵（FeCo）、面心立方晶格鉑化鐵（fccFePt）和 L10 相鉑化鐵（L10FePt）共 4 種參數差異較大的磁介質進行研究，通過數值模擬的方法對其參數之間的關系進行了分析，提出磁介質參數是在主導弛豫的控制下，通過影響有效弛豫時間 teff 來影響損耗功率的，并且對于確定的交變磁場頻率，存在一個最優有效弛豫時間 tperfect。通過優化主導弛豫所對應的參數，使有效弛豫時間等于理論分析得到的最優有效弛豫時間，達到有效提高磁介質的損耗功率，從而減小治療時的使用劑量的目的，進一步減小對正常組織的不良影響，最終減小磁感應熱療在腫瘤治療中的副作用，為應用于磁感應熱療的磁介質制備提供參考。
1 理論與方法
磁介質在交變磁場下，由于弛豫作用而存在損耗，繼而吸收磁場能量產熱[9]。弛豫損耗包括兩類：一類是磁矩與晶軸關聯轉動的布朗弛豫，另一類是磁矩在晶體內旋轉的奈爾弛豫。
布朗弛豫時間 tb 如式（1）所示：
 |
其中，η 為載液的黏滯系數；kb 為玻爾茲曼常數；T 為絕對溫度；
，為流體動力學下的單個磁介質體積；
，為單個磁介質的磁體積。
奈爾弛豫時間 tn 如式（2）所示：
 |
其中，
；κ 為粒子的各向異性常數；t0 為弛豫時間常數。
有效弛豫時間如式（3）所示：
 |
可以看出，在一定范圍內，總是弛豫時間小的弛豫占主導。
平衡磁化率如式（4）所示：
 |
其中，χi 為初始磁化率；
為郎之萬參數；μ0 為真空磁導率；H0 為交變磁場的磁場強度；Md 為單疇磁化強度。
初始磁化率如式（5）所示：
 |
其中，
；Vf 為磁介質的總體積；Vt 為腫瘤組織體積。
損耗功率如式（6）所示：
 |
其中，f 為交變磁場的磁場頻率，ω = 2πf 為角頻率。Tang 等[10]提出，考慮到細胞間質液和磁介質載液黏滯系數的差異，因此在損耗功率前乘以一個校正系數 α = 0.55。
生物組織傳熱方面，本文采用能夠體現血液灌注率和生物代謝熱影響的生物傳熱方程，如式（7）所示：
 |
其中，ρ 為密度；c 為比熱容；k 為熱傳導系數；ρb 為血液的密度；Cb 為血液的比熱容；Wb 為血液灌注率；Tb 為血液溫度；Qm 為生物代謝熱；αP 為外部熱源，即實際損耗功率。
2 模型與材料
由于交變磁場的均勻性是溫度場均勻性的一個前提條件，因此磁場發生裝置采用長直螺線管加補償線圈的方式[11]。本文所用交變磁場的磁場強度為 8 820 A/m，磁場頻率為 100 kHz，滿足交變磁場的磁場強度和磁場頻率之積小于安全容限值 5 × 109 A/（m·s）的條件[12]。
本文建立了基于大鼠的肝癌模型，包括幾何模型和電磁模型兩部分，幾何模型建立方法如下：將大鼠肝臟近似看作為球形，根據文獻中大鼠肝臟的平均體積（11.20 ± 1.51）cm3，計算可得大鼠肝臟的半徑為 13.88 mm[13]。為了增加模型的準確性，建模時考慮了大鼠肝臟的實際大小，設置生物組織區域半徑為 13.88 mm，其中腫瘤組織區域半徑為 8 mm。
電磁模型與磁介質的選擇有關，本文對 Fe3O4、FeCo、fccFePt 和 L10FePt 共 4 種參數差異較大的磁介質進行了仿真分析，磁介質的相關參數如表 1 所示[14]。
表1
磁介質參數
Table1.
Parameters of magnetic medium
下面以磁感應熱療中最常用的磁介質 Fe3O4 為例說明電磁模型的建立方法：在幾何模型中添加參數以區分不同材料；由于腫瘤組織中有注入的磁介質，因此賦予腫瘤組織區域綜合參數[15]。生物組織參數如表 2 所示, 其中電導率用 σ 表示[16-17]。
表2
磁介質選用 Fe3O4 時的生物組織參數
Table2.
Biological tissue parameters when Fe3O4 is chosen as the magnetic medium
3 求解與計算
將根據線性響應理論計算得出的實際損耗功率作為外部熱源帶入生物傳熱方程中，能夠實現磁感應熱療的仿真，該過程包含兩個物理場的求解：一個是交流/直流模塊中的磁場物理場，用來產生交變磁場；另一個是傳熱模塊中的生物傳熱物理場，用于分析磁介質在生物組織內的熱傳導問題。
3.1 邊界條件
交變磁場發生裝置的電磁場邊界條件如式（8）～（10）所示：
 |
 |
 |
其中，μr 為介質相對磁導率；B為磁感應強度；V為線圈饋入電壓；Je為線圈中電流密度；A為磁矢勢；N 為線圈匝數；S 為線圈的截面積；Icoil 為線圈中饋入電流大小；ecoil 為電流密度的方向向量[18]。生物組織區域的初始溫度為 37℃，生物組織的溫度場邊界條件如式（11）～（12）所示：
 |
 |
其中，T1 為腫瘤組織區域的溫度；T2 為正常組織區域的溫度；k1 為腫瘤組織區域的熱傳導系數；k2 為正常組織區域的熱傳導系數[19]。
3.2 求解驗證
為保證研究方法的正確性，本文通過復現北京理工大學 Wu 等[20]已發表的文獻來進行驗證。具體方法為：帶入文獻中使用的數據，在 COMSOL 中進行建模和求解，對比復現結果與原文結果的差異。文獻中生物組織內最高溫度為 43.6℃，復現結果為 43.7℃，誤差僅為 2‰，說明了研究方法的可靠性。
4 結果與分析
4.1 加熱材料的加熱能力對比
在 Lahonian 等[21]提出的磁介質臨床應用劑量（體積分數 = 2.046 × 10–3）下，選擇表 1 參數條件下產熱效果最優的磁介質半徑值進行仿真，得到各磁介質升溫情況如圖 1 所示。
圖1
4 種磁介質在臨床應用劑量下的升溫
Figure1.
Temperature increasing of 4 kinds of magnetic medium within clinical applied dose
鑒于 4 種磁介質在圖中溫度區間的分布，可以認為：磁介質 Fe3O4 適宜用于溫熱療法；磁介質 fccFePt 和 L10FePt 適宜用于高溫療法；而單疇磁化強度最高的磁介質 FeCo 則適宜用于熱消融。
以磁感應熱療中最常用的磁介質 Fe3O4 為例，當體積分數為 1.28 × 10–3時，得到生物組織溫度場分布如圖 2 所示。腫瘤組織中心溫度為 45.7℃，腫瘤組織邊緣溫度為 42℃，符合磁感應熱療中溫熱療法的需求。
圖2
生物組織內溫度場分布
Figure2.
Distribution of temperature field in biological tissue
4.2 磁介質半徑的變化對損耗功率的影響
為進一步研究磁介質參數對加熱溫度的影響，對磁介質損耗功率的計算公式進行分析。由式（6）可知，當 ωteff = 1 時，損耗功率取最大值，從而得到最優有效弛豫時間如式（13）所示：
 |
當頻率為 100 kHz 時, 最優有效弛豫時間的值為 1.59 × 10–6 s。如圖 3 所示，當有效弛豫時間等于最優有效弛豫時間時，存在損耗功率隨磁介質半徑的增大而增大，并最終趨于穩定的現象。
圖3
最優有效弛豫時間下磁介質半徑與損耗功率的關系
Figure3.
The relation between magnetic medium radius and the dissipation power within optimal effective relaxation time
4.3 磁介質參數的優化
弛豫類型與粒徑的關系如表 3 所示，其中兩種弛豫時間相等時的磁介質半徑用臨界半徑 Re 表示。當磁介質半徑小于臨界半徑時，奈爾弛豫占主導，此時可以通過調節各向異性常數使有效弛豫時間等于 1.59 × 10–6 s。當磁介質半徑大于臨界半徑時，布朗弛豫占主導，此時可以通過調節黏滯系數和表面修飾層厚度使有效弛豫時間等于 1.59 × 10–6 s。
表3
4 種磁介質的臨界半徑
Table3.
The critical radius of 4 kinds of magnetic medium
4.3.1 磁介質 Fe3O4 參數優化
對磁介質 Fe3O4 的參數優化結果如表 4～表 5 所示。當磁介質半徑為 10 nm 時，奈爾弛豫占主導，如圖 4 所示，修改黏滯系數的值無法使有效弛豫時間達到最優，有效弛豫時間隨黏滯系數的變化最終達到一個低于最優有效弛豫時間的穩定值。
表4
磁介質 Fe3O4 各向異性常數優化
Table4.
Anisotropy constant optimization for magnetic medium Fe3O4
圖4
磁介質 Fe3O4 黏滯系數對有效弛豫時間的影響
Figure4.
Effect of viscosity coefficient of magnetic medium Fe3O4 on effective relaxation time
表5
磁介質 Fe3O4 黏滯系數優化
Table5.
Viscosity coefficient optimization for magnetic medium Fe3O4
4.3.2 磁介質 FeCo 參數優化
對磁介質 FeCo 的參數優化結果如表 6～表 7 所示，根據表 1 中的參數得出磁介質 FeCo 的有效弛豫時間為 1.71 × 10–6 s，該值接近最優有效弛豫時間。磁介質 FeCo 半徑為 18.5 nm 時，兩種弛豫時間對有效弛豫時間的貢獻相對均衡，修改各向異性常數和黏滯系數均可使有效弛豫時間達到最優有效弛豫時間。
表6
磁介質 FeCo 各向異性常數優化
Table6.
Anisotropy constant optimization for magnetic medium FeCo
表7
磁介質 FeCo 黏滯系數優化
Table7.
Viscosity coefficient optimization for magnetic medium FeCo
4.3.3 磁介質 L10FePt 參數優化
磁介質 L10FePt 與磁介質 fccFePt 參數的主要區別是磁介質 L10FePt 的各向異性常數特別大，而各向異性常數僅對奈爾弛豫占主導的情況有影響，當半徑等于 7 nm 時，奈爾弛豫接近停止，此時只有布朗弛豫作用，兩種磁介質的損耗功率相同。因此僅對磁介質 L10FePt 進行參數優化，優化結果如表 8 所示。
表8
磁介質 L10FePt 黏滯系數優化
Table8.
Viscosity coefficient optimization for magnetic medium L10FePt
4.4 模擬分析與文獻佐證
為了驗證本文模擬分析結果的正確性，將文獻[8]的研究結論與本文優化結果進行對比。文獻[8]通過在磁介質鐵錳氧體（MnFe2O4）中摻雜 Co 元素形成具有雙層核殼結構的磁性復合微球（MnFe2O4@CoFe2O4），能夠在飽和磁化的狀態下調控各向異性常數，從而增大比吸收率以在磁感應熱療中產生更多的熱能。經過 Co 摻雜的粒徑為 15 nm 的磁介質 MnFe2O4@CoFe2O4，各向異性常數從 3 kJ/m3變為 15 kJ/m3時，比損耗功率從 411 W/g 提升至 3 034 W/g，參考文獻[8]中的主要參數如表 9 所示。
本文根據表 9 所示數據進行仿真分析，得到優化結果如圖 5 所示，其中最優各向異性常數 κperfect 為 18.5 kJ/m3。如表 10 所示，利用本文方法對磁介質參數的優化結果與文獻[8]結論基本一致。
圖5
最優各向異性常數理論分析
Figure5.
Theoretical analysis of optimal anisotropy constant
5 總結
本文通過在 COMSOL 中建立基于大鼠肝癌的磁感應熱療模型，根據線性響應理論對 Fe3O4、FeCo、fccFePt 和 L10FePt 共 4 種磁介質進行分析，得到了磁介質參數的變化對損耗功率和溫度場的影響，提出了針對不同磁介質參數的優化方法，并給出了 4 種磁介質的建議適用場合。得出的結論有：
（1）存在一個與交變磁場的磁場頻率相關的最優有效弛豫時間，當頻率等于 100 kHz 時，對應的最優有效弛豫時間為 1.59 × 10–6 s。
（2）當有效弛豫時間約等于最優有效時間時，對于確定的磁介質種類，損耗功率隨磁介質半徑的增大而增大，并最終趨于穩定。其中磁介質 Fe3O4 的最大損耗功率穩定在 8.72 × 105 W/m3，磁介質 FeCo 的最大損耗功率穩定在 3.51 × 106 W/m3，磁介質 fccFePt 和 L10FePt 的最大損耗功率穩定在 2.23 × 106 W/m3。
（3）在半徑為 8 mm 的腫瘤組織區域，當磁介質濃度為 2.046 × 10–3時，半徑為 10 nm 的磁介質 Fe3O4 的升溫可達到 49.31℃，建議用于溫熱療法（42～46℃）；半徑為 7 nm 的磁介質 fccFePt 和 L10FePt 的升溫可達到 69.53℃，建議用于高溫療法（46～70℃）；單疇磁化強度最高的磁介質 FeCo，在半徑為 18.5 nm 時，升溫可達到 105.82℃，建議用于熱消融（70℃ 以上）。
引言
癌癥是目前全球死亡率最高的疾病之一，嚴重危害人類的生命健康。磁感應熱療（magnetic fluid hyperthermia，MFH）是一種治療癌癥的有效方法，并且可以與其他治療方式聯合進行，如化療、靶向載藥、光動力療等[1]。磁感應熱療的基本原理是利用植入腫瘤組織內的磁介質在交變磁場下感應發熱的特點，將腫瘤靶區加熱到一定熱劑量，從而達到腫瘤治療的目的[2]。根據腫瘤靶區所需的治療溫度分類，磁感應熱療可分為溫熱療法（42～46℃），高溫療法（46～70℃）和熱消融（70℃ 以上）3 類，溫熱療法可用于增強腫瘤組織對放化療的敏感性并引起細胞的凋亡；高溫療法能夠使腫瘤組織發生壞死并增強機體對腫瘤的免疫力；熱消融能夠使腫瘤組織發生廣泛的凝固、碳化[3]。磁介質的損耗功率是影響磁感應熱療加熱溫度的主要因素，也是磁介質制備時需要考慮的主要問題之一，因此有必要對影響磁介質在生物組織中損耗功率的參數進行分析研究。
目前磁感應熱療的研究主要集中在磁介質制備和動物實驗方面，對磁介質參數如何影響損耗功率的研究相對較少。Kurgan 等[4]討論了磁介質半徑 R、表面修飾層厚度 δ 以及平衡磁化率 、體積分數 ? 對損耗功率 P 的影響。浙江大學的胡冠中[5]針對磁場發生線圈形狀和磁介質體積分數進行了多參數優化。John 等[6]建立了基于大鼠乳腺癌的數值模型，得到了一定條件下實現熱療的最低劑量范圍。北京理工大學的邱慶偉[7]和韓國延世大學的 Lee 等[8]從磁介質制備的角度探討了影響磁介質加熱溫度的因素。
以上方法均側重于研究磁介質的某一個參數與損耗功率之間的宏觀規律，未能將參數對損耗功率的影響和弛豫過程產熱聯系起來。基于此，本文采用有限元軟件 COMSOL 5.1（COMSOL Inc.，瑞典）進行磁感應熱療的仿真，為保證研究結果的普適性，選擇四氧化三鐵（Fe3O4）、鈷化鐵（FeCo）、面心立方晶格鉑化鐵（fccFePt）和 L10 相鉑化鐵（L10FePt）共 4 種參數差異較大的磁介質進行研究，通過數值模擬的方法對其參數之間的關系進行了分析，提出磁介質參數是在主導弛豫的控制下，通過影響有效弛豫時間 teff 來影響損耗功率的，并且對于確定的交變磁場頻率，存在一個最優有效弛豫時間 tperfect。通過優化主導弛豫所對應的參數，使有效弛豫時間等于理論分析得到的最優有效弛豫時間，達到有效提高磁介質的損耗功率，從而減小治療時的使用劑量的目的，進一步減小對正常組織的不良影響，最終減小磁感應熱療在腫瘤治療中的副作用，為應用于磁感應熱療的磁介質制備提供參考。
1 理論與方法
磁介質在交變磁場下，由于弛豫作用而存在損耗，繼而吸收磁場能量產熱[9]。弛豫損耗包括兩類：一類是磁矩與晶軸關聯轉動的布朗弛豫，另一類是磁矩在晶體內旋轉的奈爾弛豫。
布朗弛豫時間 tb 如式（1）所示：
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其中，η 為載液的黏滯系數；kb 為玻爾茲曼常數；T 為絕對溫度；，為流體動力學下的單個磁介質體積；，為單個磁介質的磁體積。
奈爾弛豫時間 tn 如式（2）所示：
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其中，；κ 為粒子的各向異性常數；t0 為弛豫時間常數。
有效弛豫時間如式（3）所示：
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可以看出，在一定范圍內，總是弛豫時間小的弛豫占主導。
平衡磁化率如式（4）所示：
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其中，χi 為初始磁化率； 為郎之萬參數；μ0 為真空磁導率；H0 為交變磁場的磁場強度；Md 為單疇磁化強度。
初始磁化率如式（5）所示：
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其中，；Vf 為磁介質的總體積；Vt 為腫瘤組織體積。
損耗功率如式（6）所示：
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其中，f 為交變磁場的磁場頻率，ω = 2πf 為角頻率。Tang 等[10]提出，考慮到細胞間質液和磁介質載液黏滯系數的差異，因此在損耗功率前乘以一個校正系數 α = 0.55。
生物組織傳熱方面，本文采用能夠體現血液灌注率和生物代謝熱影響的生物傳熱方程，如式（7）所示：
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其中，ρ 為密度；c 為比熱容；k 為熱傳導系數；ρb 為血液的密度；Cb 為血液的比熱容；Wb 為血液灌注率；Tb 為血液溫度；Qm 為生物代謝熱；αP 為外部熱源，即實際損耗功率。
2 模型與材料
由于交變磁場的均勻性是溫度場均勻性的一個前提條件，因此磁場發生裝置采用長直螺線管加補償線圈的方式[11]。本文所用交變磁場的磁場強度為 8 820 A/m，磁場頻率為 100 kHz，滿足交變磁場的磁場強度和磁場頻率之積小于安全容限值 5 × 109 A/（m·s）的條件[12]。
本文建立了基于大鼠的肝癌模型，包括幾何模型和電磁模型兩部分，幾何模型建立方法如下：將大鼠肝臟近似看作為球形，根據文獻中大鼠肝臟的平均體積（11.20 ± 1.51）cm3，計算可得大鼠肝臟的半徑為 13.88 mm[13]。為了增加模型的準確性，建模時考慮了大鼠肝臟的實際大小，設置生物組織區域半徑為 13.88 mm，其中腫瘤組織區域半徑為 8 mm。
電磁模型與磁介質的選擇有關，本文對 Fe3O4、FeCo、fccFePt 和 L10FePt 共 4 種參數差異較大的磁介質進行了仿真分析，磁介質的相關參數如表 1 所示[14]。
表1
磁介質參數
Table1.
Parameters of magnetic medium
下面以磁感應熱療中最常用的磁介質 Fe3O4 為例說明電磁模型的建立方法：在幾何模型中添加參數以區分不同材料；由于腫瘤組織中有注入的磁介質，因此賦予腫瘤組織區域綜合參數[15]。生物組織參數如表 2 所示, 其中電導率用 σ 表示[16-17]。
表2
磁介質選用 Fe3O4 時的生物組織參數
Table2.
Biological tissue parameters when Fe3O4 is chosen as the magnetic medium
3 求解與計算
將根據線性響應理論計算得出的實際損耗功率作為外部熱源帶入生物傳熱方程中，能夠實現磁感應熱療的仿真，該過程包含兩個物理場的求解：一個是交流/直流模塊中的磁場物理場，用來產生交變磁場；另一個是傳熱模塊中的生物傳熱物理場，用于分析磁介質在生物組織內的熱傳導問題。
3.1 邊界條件
交變磁場發生裝置的電磁場邊界條件如式（8）～（10）所示：
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其中，μr 為介質相對磁導率；B為磁感應強度；V為線圈饋入電壓；Je為線圈中電流密度；A為磁矢勢；N 為線圈匝數；S 為線圈的截面積；Icoil 為線圈中饋入電流大小；ecoil 為電流密度的方向向量[18]。生物組織區域的初始溫度為 37℃，生物組織的溫度場邊界條件如式（11）～（12）所示：
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其中，T1 為腫瘤組織區域的溫度；T2 為正常組織區域的溫度；k1 為腫瘤組織區域的熱傳導系數；k2 為正常組織區域的熱傳導系數[19]。
3.2 求解驗證
為保證研究方法的正確性，本文通過復現北京理工大學 Wu 等[20]已發表的文獻來進行驗證。具體方法為：帶入文獻中使用的數據，在 COMSOL 中進行建模和求解，對比復現結果與原文結果的差異。文獻中生物組織內最高溫度為 43.6℃，復現結果為 43.7℃，誤差僅為 2‰，說明了研究方法的可靠性。
4 結果與分析
4.1 加熱材料的加熱能力對比
在 Lahonian 等[21]提出的磁介質臨床應用劑量（體積分數 = 2.046 × 10–3）下，選擇表 1 參數條件下產熱效果最優的磁介質半徑值進行仿真，得到各磁介質升溫情況如圖 1 所示。
圖1
4 種磁介質在臨床應用劑量下的升溫
Figure1.
Temperature increasing of 4 kinds of magnetic medium within clinical applied dose
鑒于 4 種磁介質在圖中溫度區間的分布，可以認為：磁介質 Fe3O4 適宜用于溫熱療法；磁介質 fccFePt 和 L10FePt 適宜用于高溫療法；而單疇磁化強度最高的磁介質 FeCo 則適宜用于熱消融。
以磁感應熱療中最常用的磁介質 Fe3O4 為例，當體積分數為 1.28 × 10–3時，得到生物組織溫度場分布如圖 2 所示。腫瘤組織中心溫度為 45.7℃，腫瘤組織邊緣溫度為 42℃，符合磁感應熱療中溫熱療法的需求。
圖2
生物組織內溫度場分布
Figure2.
Distribution of temperature field in biological tissue
4.2 磁介質半徑的變化對損耗功率的影響
為進一步研究磁介質參數對加熱溫度的影響，對磁介質損耗功率的計算公式進行分析。由式（6）可知，當 ωteff = 1 時，損耗功率取最大值，從而得到最優有效弛豫時間如式（13）所示：
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當頻率為 100 kHz 時, 最優有效弛豫時間的值為 1.59 × 10–6 s。如圖 3 所示，當有效弛豫時間等于最優有效弛豫時間時，存在損耗功率隨磁介質半徑的增大而增大，并最終趨于穩定的現象。
圖3
最優有效弛豫時間下磁介質半徑與損耗功率的關系
Figure3.
The relation between magnetic medium radius and the dissipation power within optimal effective relaxation time
4.3 磁介質參數的優化
弛豫類型與粒徑的關系如表 3 所示，其中兩種弛豫時間相等時的磁介質半徑用臨界半徑 Re 表示。當磁介質半徑小于臨界半徑時，奈爾弛豫占主導，此時可以通過調節各向異性常數使有效弛豫時間等于 1.59 × 10–6 s。當磁介質半徑大于臨界半徑時，布朗弛豫占主導，此時可以通過調節黏滯系數和表面修飾層厚度使有效弛豫時間等于 1.59 × 10–6 s。
表3
4 種磁介質的臨界半徑
Table3.
The critical radius of 4 kinds of magnetic medium
4.3.1 磁介質 Fe3O4 參數優化
對磁介質 Fe3O4 的參數優化結果如表 4～表 5 所示。當磁介質半徑為 10 nm 時，奈爾弛豫占主導，如圖 4 所示，修改黏滯系數的值無法使有效弛豫時間達到最優，有效弛豫時間隨黏滯系數的變化最終達到一個低于最優有效弛豫時間的穩定值。
表4
磁介質 Fe3O4 各向異性常數優化
Table4.
Anisotropy constant optimization for magnetic medium Fe3O4
圖4
磁介質 Fe3O4 黏滯系數對有效弛豫時間的影響
Figure4.
Effect of viscosity coefficient of magnetic medium Fe3O4 on effective relaxation time
表5
磁介質 Fe3O4 黏滯系數優化
Table5.
Viscosity coefficient optimization for magnetic medium Fe3O4
4.3.2 磁介質 FeCo 參數優化
對磁介質 FeCo 的參數優化結果如表 6～表 7 所示，根據表 1 中的參數得出磁介質 FeCo 的有效弛豫時間為 1.71 × 10–6 s，該值接近最優有效弛豫時間。磁介質 FeCo 半徑為 18.5 nm 時，兩種弛豫時間對有效弛豫時間的貢獻相對均衡，修改各向異性常數和黏滯系數均可使有效弛豫時間達到最優有效弛豫時間。
表6
磁介質 FeCo 各向異性常數優化
Table6.
Anisotropy constant optimization for magnetic medium FeCo
表7
磁介質 FeCo 黏滯系數優化
Table7.
Viscosity coefficient optimization for magnetic medium FeCo
4.3.3 磁介質 L10FePt 參數優化
磁介質 L10FePt 與磁介質 fccFePt 參數的主要區別是磁介質 L10FePt 的各向異性常數特別大，而各向異性常數僅對奈爾弛豫占主導的情況有影響，當半徑等于 7 nm 時，奈爾弛豫接近停止，此時只有布朗弛豫作用，兩種磁介質的損耗功率相同。因此僅對磁介質 L10FePt 進行參數優化，優化結果如表 8 所示。
表8
磁介質 L10FePt 黏滯系數優化
Table8.
Viscosity coefficient optimization for magnetic medium L10FePt
4.4 模擬分析與文獻佐證
為了驗證本文模擬分析結果的正確性，將文獻[8]的研究結論與本文優化結果進行對比。文獻[8]通過在磁介質鐵錳氧體（MnFe2O4）中摻雜 Co 元素形成具有雙層核殼結構的磁性復合微球（MnFe2O4@CoFe2O4），能夠在飽和磁化的狀態下調控各向異性常數，從而增大比吸收率以在磁感應熱療中產生更多的熱能。經過 Co 摻雜的粒徑為 15 nm 的磁介質 MnFe2O4@CoFe2O4，各向異性常數從 3 kJ/m3變為 15 kJ/m3時，比損耗功率從 411 W/g 提升至 3 034 W/g，參考文獻[8]中的主要參數如表 9 所示。
本文根據表 9 所示數據進行仿真分析，得到優化結果如圖 5 所示，其中最優各向異性常數 κperfect 為 18.5 kJ/m3。如表 10 所示，利用本文方法對磁介質參數的優化結果與文獻[8]結論基本一致。
圖5
最優各向異性常數理論分析
Figure5.
Theoretical analysis of optimal anisotropy constant
5 總結
本文通過在 COMSOL 中建立基于大鼠肝癌的磁感應熱療模型，根據線性響應理論對 Fe3O4、FeCo、fccFePt 和 L10FePt 共 4 種磁介質進行分析，得到了磁介質參數的變化對損耗功率和溫度場的影響，提出了針對不同磁介質參數的優化方法，并給出了 4 種磁介質的建議適用場合。得出的結論有：
（1）存在一個與交變磁場的磁場頻率相關的最優有效弛豫時間，當頻率等于 100 kHz 時，對應的最優有效弛豫時間為 1.59 × 10–6 s。
（2）當有效弛豫時間約等于最優有效時間時，對于確定的磁介質種類，損耗功率隨磁介質半徑的增大而增大，并最終趨于穩定。其中磁介質 Fe3O4 的最大損耗功率穩定在 8.72 × 105 W/m3，磁介質 FeCo 的最大損耗功率穩定在 3.51 × 106 W/m3，磁介質 fccFePt 和 L10FePt 的最大損耗功率穩定在 2.23 × 106 W/m3。
（3）在半徑為 8 mm 的腫瘤組織區域，當磁介質濃度為 2.046 × 10–3時，半徑為 10 nm 的磁介質 Fe3O4 的升溫可達到 49.31℃，建議用于溫熱療法（42～46℃）；半徑為 7 nm 的磁介質 fccFePt 和 L10FePt 的升溫可達到 69.53℃，建議用于高溫療法（46～70℃）；單疇磁化強度最高的磁介質 FeCo，在半徑為 18.5 nm 時，升溫可達到 105.82℃，建議用于熱消融（70℃ 以上）。
