樹突狀細胞（DCs）是目前已知的功能最為強大的專職抗原提呈細胞（APCs），在啟動和放大固有免疫以及適應性免疫應答中起到重要的作用。在其發揮免疫功能的過程中，DCs 的遷移能力以及 DCs 活化初始 T 細胞的能力與其發揮免疫功能的效率有著密切關系。然而，由于免疫系統的復雜性，對于皮膚炎癥引起 DCs 免疫應答的過程中細胞數量的動態變化依然知之甚少。因此，本研究利用數學模型對該過程進行數值模擬以及動態預測。通過設置函數和參數初始條件并構建常微分方程，模擬炎癥引起免疫應答的初始階段。結果顯示，該方程能夠較好地模擬 DCs 的遷移以及誘導初始 T 細胞特異性增殖的免疫應答過程，符合實際情況下免疫應答的持續時間、DCs 和 T 細胞的增殖率和遷移率等生理學特性，并且能夠對不同時間點 DCs 與 T 細胞的數量進行預測，可為研究 DCs 的免疫學功能提供理論參考，進一步為臨床治療免疫相關疾病提供實踐指導。
引用本文： 胡文慧, 黃文竹, 胡祖權, 曾柱. 皮膚炎癥啟動過程中樹突狀細胞的遷移及其誘導初始 T 細胞特異性增殖的數值模擬. 生物醫學工程學雜志, 2017, 34(5): 797-802. doi: 10.7507/1001-5515.201702050 復制
引言
樹突狀細胞（dendritic cells，DCs）是一種特化的抗原提呈細胞（antigen presenting cells，APCs），具有強大的抗原攝取和處理能力，能夠向初始 T 細胞呈遞抗原，從而誘導免疫應答或耐受。DCs 可分為未成熟 DCs（immature DCs，imDCs）和成熟 DCs（mature DCs，mDCs）兩個分化階段。在機體內，imDCs 位于外周組織，其主要功能是通過受體介導的內吞和胞飲等方式攝取抗原[1-3]。獲得抗原后，imDCs 逐漸分化為 mDCs，并逐漸上調白細胞分化抗原（cluster of differentiation，CD）80 和 CD86、主要組織相容性復合體（major histocompatibility complex，MHC）、趨化因子受體 7（C-C chemokine receptor type 7，CCR7）等分子的表達，并沿著淋巴管內皮細胞分泌的趨化因子配體（C-C motif chemokine ligand，CCL）19 和 CCL21 濃度梯度，遷移至二級淋巴組織。在淋巴結內，mDCs 與初始 T 細胞發生動態的物理性接觸，通過細胞膜表面的 MHCⅠ或 MHCⅡ類分子向其呈遞所獲抗原，刺激初始 T 細胞特異性增殖，從而啟動適應性免疫應答或耐受。
機體的皮膚組織不僅作為機體與外界環境之間的一道機械屏障，而且是機體抵御外界潛在抗原的第一道免疫防線[4]。在皮膚組織中，上皮細胞、免疫細胞與基質之間存在密切的信號傳遞，以確保有效抵御外界抗原的侵襲并維持機體免疫系統的穩定[5]。當皮膚感染或損傷出現時，imDCs 在皮膚炎癥部位迅速攝取并處理抗原，同時向淋巴結遷移，并逐漸分化為 mDCs。淋巴結內的初始 T 細胞通過識別由 DCs 提呈的抗原而活化，并在淋巴結內發生特異性增殖，繼而效應 T 細胞遷移出淋巴結來到皮膚清除抗原或維持炎癥。通常情況下，抗原一旦清除完畢，炎癥就會消退。但在健康皮膚中，即非炎癥狀態下，依然有較少的 DCs 從皮膚遷移到淋巴結，目的是為了幫助免疫系統維持對自體抗原的免疫耐受[3, 6]。
在免疫應答的初始階段，DCs 的遷移能力及其刺激初始 T 細胞特異性增殖的能力對其有效的發揮免疫功能起到重要作用。然而，由于免疫系統的復雜性，對炎癥啟動階段 DCs 及 T 細胞數量的動態變化目前鮮有相關研究。為了更精確地研究炎癥啟動階段 DCs 與效應 T 細胞數量隨時間的變化，本研究將 DCs 的遷移以及隨后刺激初始 T 細胞特異性增殖的過程簡化為數學模型，通過構建常微分方程模型來模擬炎癥誘導的特異性免疫應答啟動的初始階段。皮膚部位炎癥引起免疫應答的初始階段可以分為三個階段：第一階段，皮膚炎癥部位由于抗原的刺激，DCs 從外周組織遷移至皮膚炎癥部位；第二階段，負載抗原的 DCs 遷移至淋巴結；第三階段，淋巴結內初始 T 細胞的活化和特異性增殖。本文通過設置參數與函數關系式，將不同階段 DCs 以及 T 細胞的數量變化簡化為關于時間的方程，用來模擬炎癥狀態下，DCs 引起 T 細胞免疫應答的初始階段。
1 方法
1.1 模型構建的前提與假設
（1）設定抗原濃度在皮膚組織中線性增加，直到其達到最大值；
（2）在抗原進入皮膚部位之初，皮膚炎癥部位的 DCs 是微量的，隨著抗原濃度逐漸增加，皮膚組織中一些非免疫細胞釋放出炎性因子，DCs 受到炎性因子的招募進而遷移至炎癥部位[7]；在炎癥部位，DCs 攝取并處理抗原，隨后，負載抗原的 DCs 從炎癥部位定向遷移至淋巴結[8]；
（3）DCs 不會在皮膚上增殖[3]；
（4）大約僅 1% 負載著抗原的 DCs 離開皮膚炎癥部位后能定向遷移至淋巴結[9]，暗示在遷移過程中，DCs 有相當大的損耗；
（5）假設能達到淋巴結的 DCs 都能活化 T 細胞；
（6）假設當每毫克淋巴結中的 DCs 的數量達到某個臨界值時，淋巴結內的 T 細胞才會開始特異性增殖[10]。
本研究構建了常微分方程來模擬每毫克淋巴結中的 DCs 的數量（DL）和每毫克皮膚中 DCs 的數量（DS）隨時間（t）的變化。除此之外，由于淋巴結內負載抗原的 DCs 的數量變化引起每毫克淋巴結中 T 細胞的數量（Q）的變化也利用方程進行數值模擬。上述參量的初始值及單位在表 1 中給出。
當抗原進入皮膚后，DCs 受到炎性因子的招募而定向遷移至炎癥部位。由于抗原種類的差別以及抗原累積速率或復制能力存在差異，為了簡化模型，本研究設定抗原濃度呈線性增加至限定值。由于免疫系統的復雜性，本研究只關注了單個淋巴結內 DCs 以及 T 細胞數量的變化，通過構建每毫克組織中 DCs 和 T 細胞的數量隨時間變化的數學模型，以期對體內 DCs 引起 T 細胞免疫應答的相關生理學行為做出預測。
1.2 數學模型
DCs 的遷移始于皮膚部位抗原的刺激。本研究假設在這個過程中，從抗原進入皮膚部位之初，抗原濃度 A 隨時間線性增加到臨界值 AL。此臨界值到達的時間用 tL 來表示。其中，AL 和 tL 為常量，其數值大小及取值依據在下文 1.4 小節中給出。本研究假設 A 以速率 1 線性增加，直至到達 AL。在到達 AL 之前，微量的 DCs 持續地從血液中向皮膚部位遷移。一旦 A 值達到 AL，imDCs 就大量地從血液向皮膚炎癥部位遷移。
DCs 從皮膚遷移至淋巴結的遷移率用參數 K 來表示。由于該初步模型目前只關注單個淋巴結內 DCs 數量的變化，因此，DCs 離開皮膚炎癥部位的速率和到達淋巴結的速率都用 K 來表示。αDB 表示 DCs 從血液中向皮膚部位遷移的遷移率。因此，每毫克皮膚組織中的 DCs 的數量變化可以用下述微分方程來描述：
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假設到達淋巴結的 DCs 僅來自于皮膚，DCs 到達淋巴結的速率為 K。由于遷移至淋巴結的 DCs 不再重新遷移至外周組織[11]，因此，DL 的減少僅僅是由于 DCs 在淋巴結內的凋亡。研究表明，DCs 在淋巴結內的存活時間約為 3 d[12]，因此，在該模型中，凋亡率設定為常量，用參數 δ 表示。因此，每毫克淋巴結上的 DCs 的數量變化可以用如下微分方程來描述：
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假設淋巴結中 T 細胞的增殖符合邏輯斯諦（logistic）增長模型。由于淋巴結內 T 細胞的增殖是由遷移至淋巴結的 DCs 的活化引起，因此，淋巴結內 T 細胞的數量上限又與到達淋巴結內的 DCs 的數量相關。本研究假設到達淋巴結內的 DCs 都能夠活化 T 細胞，并且有關研究表明，每個 DCs 可以在淋巴結內刺激 10 個 T 細胞的活化、特異性增殖[13]，因此，在該模型中，Q 的上限是淋巴結中 DCs 的數量上限的 10 倍。該模型用 DLM 表示每毫克淋巴結中 DCs 的數量上限，DLM 為常量，其數值大小在下文 1.4 小節中給出。參數 m 表示每個到達淋巴結的 DCs 能夠活化 T 細胞的個數，m 為常量，取值為 10。在淋巴結內，T 細胞的增殖系數 α 是關于時間 t 和 DL 的函數，其公式如式（3）以及下文的式（5）所示。因此，每毫克淋巴結內 T 細胞的數量變化可以用如下微分方程來描述：
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1.3 模型參數表達式及意義
在本文模型中，DCs 離開皮膚的速率和到達淋巴結的速率都為 K。如前所述，由于本研究假設在 A 到達 AL 之前，即 t <t L 時，只有極少量的負載抗原的 DCs 遷移至淋巴結，此時 K 值為一個接近 0 的常數，該常數用 K0 表示，其數值大小在下文 1.4 小節中給出。因此，當 0 < t < t L 時，K = K0。當 t > t L 時，DCs 開始大量地遷移至淋巴結。由相關文獻得出，在同一時間段內，若每毫克皮膚組織中 DCs 的數量增加 2 倍，則該部位 DCs 的遷移率增加 3 倍[14]。因此，當 t > t L 時，參數 K 的表達式如式（4）所示。其中 K1 是活化的 DCs 從皮膚流向淋巴結的平均速率，K1 為常數，其數值大小及取值依據在下文 1.4 小節中給出。Dt 表示在 tL 時刻，到達每毫克皮膚炎癥部位的 DCs 的數量。Dt 的變化和 αDB 相關，因此，Dt = tL·αDB。上述所有等式成立的條件是淋巴結中要有充足的空間允許新的 DCs 進入，即 DL < D LM。一旦 DL 達到 DLM，即 t > t L 且 DL ≥ DLM 時，為了維持淋巴結內 DCs 的數量穩定，需要限定 K 的上限，此時 K 的最大值與 DCs 在淋巴結內的凋亡率 δ 呈正相關的關系，與 DS 呈負相關的關系。因此，參數 K 的表達式如下：
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T 細胞的增殖系數 α 是關于時間 t 和 DL 的函數，在淋巴結內，當 DL 增長至 DLL 之后 T 細胞才會增殖。DLL 表示每毫克淋巴結中 DCs 的數量的臨界值，DLL 為常量，其數值大小及取值依據在下文 1.4 小節中給出。DLL 到達的時間用 tLL 表示，tLL 為變量，其數值隨 αDB 的值和 K 值的改變而改變。DL 增長至 DLL 之后，T 細胞的增殖符合邏輯斯諦增長模型，直到 α 達到最大值 αmax，αmax 為常量，表示 T 細胞在淋巴結內的最大增殖率。有研究表明，淋巴結內的 T 細胞在 72 h 之內即可完成特異性增殖[15]，因此，本研究中令 T 細胞以邏輯斯諦增殖方式增殖的時間為 72 h，在下述公式中，用 tα 表示 T 細胞以邏輯斯諦增殖方式增殖所需要的時間。因此，T 細胞的增殖系數 α 的表達式如下：
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1.4 模型涉及參數或變量的設定
（1）DS（0） = 0，在皮膚組織非炎癥狀態下，遷移至皮膚部位的 DCs 的數量很少，可忽略不計[7]，因此，在初始時刻，即當時間 t 為 0 時，DS 的初值設置為 0；
（2）DL（0） = 0，在皮膚組織非炎癥狀態下，從皮膚部位遷移至淋巴結內的 DCs 數量很少，可忽略不計[8]，因此，在初始時刻，即時間 t 為 0 時，DL 的初值設置為 0；
（3）Q（0） = 1，在非炎癥狀態下，淋巴結中活化的 T 細胞的數量很少[8]，但由于本模型設定 T 細胞增殖符合邏輯斯諦增長模型，因此，需要一個不為 0 的初始值，因此，在時間 t 為 0 時，將初始時刻的 Q 取值為 1；
（4）m = 10，表示 DS 達到 DLL 之后，淋巴結內每個 DCs 可活化 10 個 T 細胞[13]，因此每毫克淋巴結中的 DCs 能夠活化 T 細胞的數量是 m·DLM；
（5）tL = 4，有研究顯示，在受抗原刺激后，DCs 在炎癥部位處理抗原需要 2～4 h[14]，所以，為了確保 DCs 攝取抗原時間的充足，本研究取 tL 為 4 h；
（6）AL = 4，本研究假設 A 的增加速率為 1 直至到達 AL。A 的增加速率是預估值，該速率會隨著器官的不同而改變。目前，本研究暫時不考慮 A 的累積速率對 DCs 遷移的影響，只考慮了 A 累積到限定值所需要的時間。今后，在該數學模型的基礎上，本研究會繼續對炎癥初期階段涉及到的相關因素進行完善。因此，在本模型中，AL 的預估值為 4，當 A 達到 AL 時，恰好可以刺激 DCs 從血液遷移至皮膚攝取抗原，而后再遷移到淋巴結。一旦 DS 達到 DLL，T 細胞的活化過程就會被啟動；
（7）DLL = 100，有研究顯示，每個淋巴結中大約有 1 000 個 DCs 可以充分的引起 T 細胞免疫應答（淋巴結大約重量 10 mg）[9]，因此，在該模型中，當 DLL 取值為 100 時，恰好能夠引起 T 細胞發生特異性增殖；
（8）DLM = 2×104，每毫克淋巴結中 DCs 的數量上限約 2×104 個[14]；
（9）非炎癥狀態下，2 ≤ αDB ≤ 125，炎癥狀態下，100 ≤ αDB ≤ 6 250。該數值參考 Lin Erickson 等[16]的相關研究；
（10）δ = 1/72，由于 DCs 在淋巴結內的存活時間大約為 72 h，因此淋巴結中 DCs 的凋亡率 δ 取值為 1/72[12]；
（12）αmax = 0.1，該數值參考 Lin Erickson 等[16]的相關研究，使得 T 細胞的增殖速率維持在生物學上合理的范圍內；
（13）K0 = 2.08×10–7，K1 = 2.08×10–5，有研究顯示，當 mDCs 經皮下注射 48 h 之后，大約 1% 的 mDCs 遷移至淋巴結[9]，平均每小時的遷移速率約為 2.08 × 10 –5。由于 DCs 存在兩個分化階段，當 imDCs 與抗原相互作用后，imDCs 逐漸分化為 mDCs。在本研究中，將 mDCs 皮下注射后遷移至淋巴結的遷移率近似地認為是皮膚炎癥部位 DCs 的遷移率。因此，令 K1 = 2.08×10–5。我們預估炎癥初始時期，即抗原濃度尚未達到 AL 時，DCs 由皮膚遷移到淋巴結的速率更低，因此令 K0 = 2.08×10–7。
文中涉及部分變量和參量的單位、定義以及初值如表 1 所示。
表1
變量和參數的初值
Table1.
The initial value of variables and parameters
2 實驗結果
本研究基于 αDB 的不同取值以及范圍，模擬了 DS、DL、Q 隨時間變化的曲線以及 K 值隨時間變化的曲線。如圖 1 所示，αDB 取值越大，在同一時間點的 DS 的值越大。DS 的數值始終大于 DL，并且當 αDB 取值越大時，兩者差距越明顯。當 αDB 取值為 100 和 500 時，DL 的值持續增加，即在 250 h 時間域內，DL 的值始終比 DLM 小；而當 αDB 取值為 1 000 和 6 250 時，DL 能夠在 250 h 內到達 DLM，并且在隨后的時間域內保持恒定。αDB 取值越大，DL 到達 DLM 所需要的時間越短，當 αDB 取值為 1 000 時，DL 到達 DLM 所需要的時間為 101 h；當 αDB 取值為 6 250 時，DL 到達 DLM 所需要的時間為 52 h。除此之外，無論 αDB 取值大小，在 250 h 時間域內，Q 值都持續增大。但是，αDB 的取值影響 T 細胞啟動增殖的時間 tLL。具體數值如表 2 所示，當 αDB 取值為 6 250 時，tLL 為 22 h。當 αDB 取值 100 時，tLL 長達 68 h。如圖 2 所示，通過對 αDB 賦值（從 100 到 10 000 之間），計算得出 tLL，發現 αDB 與 tLL 呈冪函數相關性。
圖1
DS、DL 以及 Q 隨時間變化的曲線
Figure1.
The curves of the time-varying values of DS, the DL and the Q
表2
不同的 αDB 的值對應的 tLL
Table2.
The different value of αDB corresponding to the value of tLL
圖2
αDB 取值與 tLL 之間呈冪函數相關性
Figure2.
The value of αDB have a correlation relationship with the value of tLL in a power pattern
如圖 3 所示，αDB 的取值影響 K 值到達峰值所需要的時間。當 αDB < 1 000 時，即當 αDB 取值為 100 和 500 時，在 250 h 的時間域內，K 值隨時間持續增加。當 αDB ≥ 1 000 時，K 值呈現先增加后回落的趨勢。αDB 取值越大，K 到達峰值所需要的時間越短，K 到達的峰值越小。αDB = 6 250 時，K 值到達峰值所需要的時間最短，為 100 h 左右。
圖3
K 值隨時間變化的曲線
Figure3.
The curves of the time-varying values of K
3 討論
DCs 作為體內功能最強的專職抗原呈遞細胞，在免疫應答的啟動以及調控上起著至關重要的作用。當皮膚出現炎癥時，DCs 從外周血遷移至炎癥部位攝取并加工處理抗原，隨后遷移至二級淋巴結刺激初始 T 細胞發生特異性增殖。在這個過程中，DCs 經歷了漫長的遷移運動直至到達淋巴結。本研究通過構建常微分方程，預測了 DCs 在整個遷移過程中數量的動態變化，以及隨后在淋巴結內，每毫克淋巴結中 T 細胞的數量與時間的關系。當抗原進入皮膚組織引起炎癥后，DCs 由于受到炎性因子的招募，DS 快速增加，αDB 取值越大，DS 越大。隨后，DCs 在炎癥部位攝取并處理抗原，遷移至淋巴結。由于該模型假設淋巴結內的 DCs 都是由皮膚炎癥部位負載抗原的 DCs 遷移而來，因此 DS 的數值始終大于 DL。當 αDB 值為 6 250 時，T 細胞需要 22 h 才能被激活為效應 T 細胞，如果 αDB 值低于 500，則此時間至少需要 50 h。由于 T 細胞啟動增殖時間的延遲主要由于 DCs 與 T 細胞接觸并刺激 T 細胞的過程需要 24 h 左右[15]，因此該模型中，淋巴結內 T 細胞被 DCs 刺激活化后特異性增殖的時間延遲符合現實情況下 T 細胞的增殖特性。且 αDB 取值越大，即 DCs 從外周血定向遷移至炎癥部位的速率越大，T 細胞發生特異性增殖所需要的時間越短，免疫反應效率越高。除此之外，本研究發現，αDB 的值與 tLL 呈冪函數關系，意味著能夠通過 αDB 的值預測 T 細胞活化所需要的時間，對免疫應答的效率進行預測。與 Lin Erickson 等[16]構建的模型相比，本模型更符合炎癥啟動階段 DCs 以及 T 細胞數量變化的生理學行為，并且能夠對不同時間 DCs 與 T 細胞的數量進行預測，可為研究 DCs 的免疫學功能提供理論參考，進一步為臨床治療免疫相關疾病提供實踐指導。
引言
樹突狀細胞（dendritic cells，DCs）是一種特化的抗原提呈細胞（antigen presenting cells，APCs），具有強大的抗原攝取和處理能力，能夠向初始 T 細胞呈遞抗原，從而誘導免疫應答或耐受。DCs 可分為未成熟 DCs（immature DCs，imDCs）和成熟 DCs（mature DCs，mDCs）兩個分化階段。在機體內，imDCs 位于外周組織，其主要功能是通過受體介導的內吞和胞飲等方式攝取抗原[1-3]。獲得抗原后，imDCs 逐漸分化為 mDCs，并逐漸上調白細胞分化抗原（cluster of differentiation，CD）80 和 CD86、主要組織相容性復合體（major histocompatibility complex，MHC）、趨化因子受體 7（C-C chemokine receptor type 7，CCR7）等分子的表達，并沿著淋巴管內皮細胞分泌的趨化因子配體（C-C motif chemokine ligand，CCL）19 和 CCL21 濃度梯度，遷移至二級淋巴組織。在淋巴結內，mDCs 與初始 T 細胞發生動態的物理性接觸，通過細胞膜表面的 MHCⅠ或 MHCⅡ類分子向其呈遞所獲抗原，刺激初始 T 細胞特異性增殖，從而啟動適應性免疫應答或耐受。
機體的皮膚組織不僅作為機體與外界環境之間的一道機械屏障，而且是機體抵御外界潛在抗原的第一道免疫防線[4]。在皮膚組織中，上皮細胞、免疫細胞與基質之間存在密切的信號傳遞，以確保有效抵御外界抗原的侵襲并維持機體免疫系統的穩定[5]。當皮膚感染或損傷出現時，imDCs 在皮膚炎癥部位迅速攝取并處理抗原，同時向淋巴結遷移，并逐漸分化為 mDCs。淋巴結內的初始 T 細胞通過識別由 DCs 提呈的抗原而活化，并在淋巴結內發生特異性增殖，繼而效應 T 細胞遷移出淋巴結來到皮膚清除抗原或維持炎癥。通常情況下，抗原一旦清除完畢，炎癥就會消退。但在健康皮膚中，即非炎癥狀態下，依然有較少的 DCs 從皮膚遷移到淋巴結，目的是為了幫助免疫系統維持對自體抗原的免疫耐受[3, 6]。
在免疫應答的初始階段，DCs 的遷移能力及其刺激初始 T 細胞特異性增殖的能力對其有效的發揮免疫功能起到重要作用。然而，由于免疫系統的復雜性，對炎癥啟動階段 DCs 及 T 細胞數量的動態變化目前鮮有相關研究。為了更精確地研究炎癥啟動階段 DCs 與效應 T 細胞數量隨時間的變化，本研究將 DCs 的遷移以及隨后刺激初始 T 細胞特異性增殖的過程簡化為數學模型，通過構建常微分方程模型來模擬炎癥誘導的特異性免疫應答啟動的初始階段。皮膚部位炎癥引起免疫應答的初始階段可以分為三個階段：第一階段，皮膚炎癥部位由于抗原的刺激，DCs 從外周組織遷移至皮膚炎癥部位；第二階段，負載抗原的 DCs 遷移至淋巴結；第三階段，淋巴結內初始 T 細胞的活化和特異性增殖。本文通過設置參數與函數關系式，將不同階段 DCs 以及 T 細胞的數量變化簡化為關于時間的方程，用來模擬炎癥狀態下，DCs 引起 T 細胞免疫應答的初始階段。
1 方法
1.1 模型構建的前提與假設
（1）設定抗原濃度在皮膚組織中線性增加，直到其達到最大值；
（2）在抗原進入皮膚部位之初，皮膚炎癥部位的 DCs 是微量的，隨著抗原濃度逐漸增加，皮膚組織中一些非免疫細胞釋放出炎性因子，DCs 受到炎性因子的招募進而遷移至炎癥部位[7]；在炎癥部位，DCs 攝取并處理抗原，隨后，負載抗原的 DCs 從炎癥部位定向遷移至淋巴結[8]；
（3）DCs 不會在皮膚上增殖[3]；
（4）大約僅 1% 負載著抗原的 DCs 離開皮膚炎癥部位后能定向遷移至淋巴結[9]，暗示在遷移過程中，DCs 有相當大的損耗；
（5）假設能達到淋巴結的 DCs 都能活化 T 細胞；
（6）假設當每毫克淋巴結中的 DCs 的數量達到某個臨界值時，淋巴結內的 T 細胞才會開始特異性增殖[10]。
本研究構建了常微分方程來模擬每毫克淋巴結中的 DCs 的數量（DL）和每毫克皮膚中 DCs 的數量（DS）隨時間（t）的變化。除此之外，由于淋巴結內負載抗原的 DCs 的數量變化引起每毫克淋巴結中 T 細胞的數量（Q）的變化也利用方程進行數值模擬。上述參量的初始值及單位在表 1 中給出。
當抗原進入皮膚后，DCs 受到炎性因子的招募而定向遷移至炎癥部位。由于抗原種類的差別以及抗原累積速率或復制能力存在差異，為了簡化模型，本研究設定抗原濃度呈線性增加至限定值。由于免疫系統的復雜性，本研究只關注了單個淋巴結內 DCs 以及 T 細胞數量的變化，通過構建每毫克組織中 DCs 和 T 細胞的數量隨時間變化的數學模型，以期對體內 DCs 引起 T 細胞免疫應答的相關生理學行為做出預測。
1.2 數學模型
DCs 的遷移始于皮膚部位抗原的刺激。本研究假設在這個過程中，從抗原進入皮膚部位之初，抗原濃度 A 隨時間線性增加到臨界值 AL。此臨界值到達的時間用 tL 來表示。其中，AL 和 tL 為常量，其數值大小及取值依據在下文 1.4 小節中給出。本研究假設 A 以速率 1 線性增加，直至到達 AL。在到達 AL 之前，微量的 DCs 持續地從血液中向皮膚部位遷移。一旦 A 值達到 AL，imDCs 就大量地從血液向皮膚炎癥部位遷移。
DCs 從皮膚遷移至淋巴結的遷移率用參數 K 來表示。由于該初步模型目前只關注單個淋巴結內 DCs 數量的變化，因此，DCs 離開皮膚炎癥部位的速率和到達淋巴結的速率都用 K 來表示。αDB 表示 DCs 從血液中向皮膚部位遷移的遷移率。因此，每毫克皮膚組織中的 DCs 的數量變化可以用下述微分方程來描述：
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假設到達淋巴結的 DCs 僅來自于皮膚，DCs 到達淋巴結的速率為 K。由于遷移至淋巴結的 DCs 不再重新遷移至外周組織[11]，因此，DL 的減少僅僅是由于 DCs 在淋巴結內的凋亡。研究表明，DCs 在淋巴結內的存活時間約為 3 d[12]，因此，在該模型中，凋亡率設定為常量，用參數 δ 表示。因此，每毫克淋巴結上的 DCs 的數量變化可以用如下微分方程來描述：
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假設淋巴結中 T 細胞的增殖符合邏輯斯諦（logistic）增長模型。由于淋巴結內 T 細胞的增殖是由遷移至淋巴結的 DCs 的活化引起，因此，淋巴結內 T 細胞的數量上限又與到達淋巴結內的 DCs 的數量相關。本研究假設到達淋巴結內的 DCs 都能夠活化 T 細胞，并且有關研究表明，每個 DCs 可以在淋巴結內刺激 10 個 T 細胞的活化、特異性增殖[13]，因此，在該模型中，Q 的上限是淋巴結中 DCs 的數量上限的 10 倍。該模型用 DLM 表示每毫克淋巴結中 DCs 的數量上限，DLM 為常量，其數值大小在下文 1.4 小節中給出。參數 m 表示每個到達淋巴結的 DCs 能夠活化 T 細胞的個數，m 為常量，取值為 10。在淋巴結內，T 細胞的增殖系數 α 是關于時間 t 和 DL 的函數，其公式如式（3）以及下文的式（5）所示。因此，每毫克淋巴結內 T 細胞的數量變化可以用如下微分方程來描述：
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1.3 模型參數表達式及意義
在本文模型中，DCs 離開皮膚的速率和到達淋巴結的速率都為 K。如前所述，由于本研究假設在 A 到達 AL 之前，即 t <t L 時，只有極少量的負載抗原的 DCs 遷移至淋巴結，此時 K 值為一個接近 0 的常數，該常數用 K0 表示，其數值大小在下文 1.4 小節中給出。因此，當 0 < t < t L 時，K = K0。當 t > t L 時，DCs 開始大量地遷移至淋巴結。由相關文獻得出，在同一時間段內，若每毫克皮膚組織中 DCs 的數量增加 2 倍，則該部位 DCs 的遷移率增加 3 倍[14]。因此，當 t > t L 時，參數 K 的表達式如式（4）所示。其中 K1 是活化的 DCs 從皮膚流向淋巴結的平均速率，K1 為常數，其數值大小及取值依據在下文 1.4 小節中給出。Dt 表示在 tL 時刻，到達每毫克皮膚炎癥部位的 DCs 的數量。Dt 的變化和 αDB 相關，因此，Dt = tL·αDB。上述所有等式成立的條件是淋巴結中要有充足的空間允許新的 DCs 進入，即 DL < D LM。一旦 DL 達到 DLM，即 t > t L 且 DL ≥ DLM 時，為了維持淋巴結內 DCs 的數量穩定，需要限定 K 的上限，此時 K 的最大值與 DCs 在淋巴結內的凋亡率 δ 呈正相關的關系，與 DS 呈負相關的關系。因此，參數 K 的表達式如下：
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T 細胞的增殖系數 α 是關于時間 t 和 DL 的函數，在淋巴結內，當 DL 增長至 DLL 之后 T 細胞才會增殖。DLL 表示每毫克淋巴結中 DCs 的數量的臨界值，DLL 為常量，其數值大小及取值依據在下文 1.4 小節中給出。DLL 到達的時間用 tLL 表示，tLL 為變量，其數值隨 αDB 的值和 K 值的改變而改變。DL 增長至 DLL 之后，T 細胞的增殖符合邏輯斯諦增長模型，直到 α 達到最大值 αmax，αmax 為常量，表示 T 細胞在淋巴結內的最大增殖率。有研究表明，淋巴結內的 T 細胞在 72 h 之內即可完成特異性增殖[15]，因此，本研究中令 T 細胞以邏輯斯諦增殖方式增殖的時間為 72 h，在下述公式中，用 tα 表示 T 細胞以邏輯斯諦增殖方式增殖所需要的時間。因此，T 細胞的增殖系數 α 的表達式如下：
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1.4 模型涉及參數或變量的設定
（1）DS（0） = 0，在皮膚組織非炎癥狀態下，遷移至皮膚部位的 DCs 的數量很少，可忽略不計[7]，因此，在初始時刻，即當時間 t 為 0 時，DS 的初值設置為 0；
（2）DL（0） = 0，在皮膚組織非炎癥狀態下，從皮膚部位遷移至淋巴結內的 DCs 數量很少，可忽略不計[8]，因此，在初始時刻，即時間 t 為 0 時，DL 的初值設置為 0；
（3）Q（0） = 1，在非炎癥狀態下，淋巴結中活化的 T 細胞的數量很少[8]，但由于本模型設定 T 細胞增殖符合邏輯斯諦增長模型，因此，需要一個不為 0 的初始值，因此，在時間 t 為 0 時，將初始時刻的 Q 取值為 1；
（4）m = 10，表示 DS 達到 DLL 之后，淋巴結內每個 DCs 可活化 10 個 T 細胞[13]，因此每毫克淋巴結中的 DCs 能夠活化 T 細胞的數量是 m·DLM；
（5）tL = 4，有研究顯示，在受抗原刺激后，DCs 在炎癥部位處理抗原需要 2～4 h[14]，所以，為了確保 DCs 攝取抗原時間的充足，本研究取 tL 為 4 h；
（6）AL = 4，本研究假設 A 的增加速率為 1 直至到達 AL。A 的增加速率是預估值，該速率會隨著器官的不同而改變。目前，本研究暫時不考慮 A 的累積速率對 DCs 遷移的影響，只考慮了 A 累積到限定值所需要的時間。今后，在該數學模型的基礎上，本研究會繼續對炎癥初期階段涉及到的相關因素進行完善。因此，在本模型中，AL 的預估值為 4，當 A 達到 AL 時，恰好可以刺激 DCs 從血液遷移至皮膚攝取抗原，而后再遷移到淋巴結。一旦 DS 達到 DLL，T 細胞的活化過程就會被啟動；
（7）DLL = 100，有研究顯示，每個淋巴結中大約有 1 000 個 DCs 可以充分的引起 T 細胞免疫應答（淋巴結大約重量 10 mg）[9]，因此，在該模型中，當 DLL 取值為 100 時，恰好能夠引起 T 細胞發生特異性增殖；
（8）DLM = 2×104，每毫克淋巴結中 DCs 的數量上限約 2×104 個[14]；
（9）非炎癥狀態下，2 ≤ αDB ≤ 125，炎癥狀態下，100 ≤ αDB ≤ 6 250。該數值參考 Lin Erickson 等[16]的相關研究；
（10）δ = 1/72，由于 DCs 在淋巴結內的存活時間大約為 72 h，因此淋巴結中 DCs 的凋亡率 δ 取值為 1/72[12]；
（12）αmax = 0.1，該數值參考 Lin Erickson 等[16]的相關研究，使得 T 細胞的增殖速率維持在生物學上合理的范圍內；
（13）K0 = 2.08×10–7，K1 = 2.08×10–5，有研究顯示，當 mDCs 經皮下注射 48 h 之后，大約 1% 的 mDCs 遷移至淋巴結[9]，平均每小時的遷移速率約為 2.08 × 10 –5。由于 DCs 存在兩個分化階段，當 imDCs 與抗原相互作用后，imDCs 逐漸分化為 mDCs。在本研究中，將 mDCs 皮下注射后遷移至淋巴結的遷移率近似地認為是皮膚炎癥部位 DCs 的遷移率。因此，令 K1 = 2.08×10–5。我們預估炎癥初始時期，即抗原濃度尚未達到 AL 時，DCs 由皮膚遷移到淋巴結的速率更低，因此令 K0 = 2.08×10–7。
文中涉及部分變量和參量的單位、定義以及初值如表 1 所示。
表1
變量和參數的初值
Table1.
The initial value of variables and parameters
2 實驗結果
本研究基于 αDB 的不同取值以及范圍，模擬了 DS、DL、Q 隨時間變化的曲線以及 K 值隨時間變化的曲線。如圖 1 所示，αDB 取值越大，在同一時間點的 DS 的值越大。DS 的數值始終大于 DL，并且當 αDB 取值越大時，兩者差距越明顯。當 αDB 取值為 100 和 500 時，DL 的值持續增加，即在 250 h 時間域內，DL 的值始終比 DLM 小；而當 αDB 取值為 1 000 和 6 250 時，DL 能夠在 250 h 內到達 DLM，并且在隨后的時間域內保持恒定。αDB 取值越大，DL 到達 DLM 所需要的時間越短，當 αDB 取值為 1 000 時，DL 到達 DLM 所需要的時間為 101 h；當 αDB 取值為 6 250 時，DL 到達 DLM 所需要的時間為 52 h。除此之外，無論 αDB 取值大小，在 250 h 時間域內，Q 值都持續增大。但是，αDB 的取值影響 T 細胞啟動增殖的時間 tLL。具體數值如表 2 所示，當 αDB 取值為 6 250 時，tLL 為 22 h。當 αDB 取值 100 時，tLL 長達 68 h。如圖 2 所示，通過對 αDB 賦值（從 100 到 10 000 之間），計算得出 tLL，發現 αDB 與 tLL 呈冪函數相關性。
圖1
DS、DL 以及 Q 隨時間變化的曲線
Figure1.
The curves of the time-varying values of DS, the DL and the Q
表2
不同的 αDB 的值對應的 tLL
Table2.
The different value of αDB corresponding to the value of tLL
圖2
αDB 取值與 tLL 之間呈冪函數相關性
Figure2.
The value of αDB have a correlation relationship with the value of tLL in a power pattern
如圖 3 所示，αDB 的取值影響 K 值到達峰值所需要的時間。當 αDB < 1 000 時，即當 αDB 取值為 100 和 500 時，在 250 h 的時間域內，K 值隨時間持續增加。當 αDB ≥ 1 000 時，K 值呈現先增加后回落的趨勢。αDB 取值越大，K 到達峰值所需要的時間越短，K 到達的峰值越小。αDB = 6 250 時，K 值到達峰值所需要的時間最短，為 100 h 左右。
圖3
K 值隨時間變化的曲線
Figure3.
The curves of the time-varying values of K
3 討論
DCs 作為體內功能最強的專職抗原呈遞細胞，在免疫應答的啟動以及調控上起著至關重要的作用。當皮膚出現炎癥時，DCs 從外周血遷移至炎癥部位攝取并加工處理抗原，隨后遷移至二級淋巴結刺激初始 T 細胞發生特異性增殖。在這個過程中，DCs 經歷了漫長的遷移運動直至到達淋巴結。本研究通過構建常微分方程，預測了 DCs 在整個遷移過程中數量的動態變化，以及隨后在淋巴結內，每毫克淋巴結中 T 細胞的數量與時間的關系。當抗原進入皮膚組織引起炎癥后，DCs 由于受到炎性因子的招募，DS 快速增加，αDB 取值越大，DS 越大。隨后，DCs 在炎癥部位攝取并處理抗原，遷移至淋巴結。由于該模型假設淋巴結內的 DCs 都是由皮膚炎癥部位負載抗原的 DCs 遷移而來，因此 DS 的數值始終大于 DL。當 αDB 值為 6 250 時，T 細胞需要 22 h 才能被激活為效應 T 細胞，如果 αDB 值低于 500，則此時間至少需要 50 h。由于 T 細胞啟動增殖時間的延遲主要由于 DCs 與 T 細胞接觸并刺激 T 細胞的過程需要 24 h 左右[15]，因此該模型中，淋巴結內 T 細胞被 DCs 刺激活化后特異性增殖的時間延遲符合現實情況下 T 細胞的增殖特性。且 αDB 取值越大，即 DCs 從外周血定向遷移至炎癥部位的速率越大，T 細胞發生特異性增殖所需要的時間越短，免疫反應效率越高。除此之外，本研究發現，αDB 的值與 tLL 呈冪函數關系，意味著能夠通過 αDB 的值預測 T 細胞活化所需要的時間，對免疫應答的效率進行預測。與 Lin Erickson 等[16]構建的模型相比，本模型更符合炎癥啟動階段 DCs 以及 T 細胞數量變化的生理學行為，并且能夠對不同時間 DCs 與 T 細胞的數量進行預測，可為研究 DCs 的免疫學功能提供理論參考，進一步為臨床治療免疫相關疾病提供實踐指導。
