磁感應法通過測量肝臟組織磁化率來實現無創檢測肝臟鐵過載。為解決渦流效應對磁化率測量干擾的問題,針對線圈系統提出一種基于靜態場磁化原理的改進方法:即采用直流激勵方式消除渦流效應影響,通過旋轉接收線圈獲得感應電壓。計算了圓柱形介質由于磁化效應產生的磁場,推導了接收線圈最大感應電壓相對變化量表達式。對改進的線圈系統建模仿真,得到了介質磁化率與接收線圈最大磁通量、最大感應電壓和最大感應電壓相對變化量的關系,并將仿真結果與理論計算結果進行對比。結果表明,仿真結果與理論計算結果能夠較好吻合,該方法可以有效消除渦流效應影響。
引用本文： 張子義, 劉培國, 張亮, 丁亮, 林曉烘. 一種基于靜態場磁化原理的肝臟鐵過載檢測方法. 生物醫學工程學雜志, 2014, 31(1): 29-34. doi: 10.7507/1001-5515.20140006 復制
引言
肝臟鐵過載是一種常見疾病，主要由于先天原因(如遺傳性血色病)或后天原因(如周期性輸血)造成大量的鐵在肝臟中不斷沉積。過量的鐵積累在肝臟中會產生毒素，損傷肝細胞，并最終導致肝纖維化、肝硬化，甚至引發肝癌[1]。早期精確測量肝臟鐵濃度(liver iron concentration，LIC)對于肝臟鐵過載患者的診斷和治療至關重要。傳統檢測方法需要通過肝穿刺獲取肝臟組織樣本，對樣本進行化學分析以確定LIC。雖然肝穿刺活組織檢查被公認為是檢測肝臟鐵過載最準確的方法，但是手術的風險和痛苦使其難以成為臨床上的常規檢測手段[2]。1967年Bauman等[3-4]發現，肝臟組織磁化率與其鐵濃度呈線性關系，利用鐵的磁性質可以檢測肝臟鐵過載。Bauman等的研究成果對肝臟鐵過載的無創檢測具有重要指導意義，然而目前經臨床證實的無創檢測技術如超導量子干涉儀磁化率測量、磁共振成像等受設備復雜、昂貴、數量有限等因素制約也未能得到廣泛應用[2]。
從2001年開始，Casa?as等[5-7]將磁感應(magnetic induction)法應用到肝臟鐵過載檢測中，設計出一個安全無創、結構簡單、成本低廉的檢測系統。磁感應法通過低頻交變電流產生的磁場與肝臟組織內儲存鐵的相互作用來測量肝臟組織磁化率，根據肝臟組織磁化率判斷肝臟是否發生鐵過載。Casa?as等[7]在理論上證明了他們所設計的系統可以檢測肝臟鐵過載，但是該系統的人體測試結果卻顯示肝臟組織的渦流效應對肝臟組織磁化率測量有明顯干擾，這使得檢測系統并不能有效地將肝臟鐵過載患者與正常人區分開來。
本文針對Casa?as等設計的肝臟鐵過載磁感應檢測系統中的線圈系統部分(以下簡稱Casa?as系統)，提出一種基于靜態場磁化原理的改進方法來消除渦流效應對磁化率測量的干擾。通過理論推導分析了方法的可行性，對改進的線圈系統建模仿真，得到了介質磁化率與接收信號的變化關系，并將仿真結果與理論計算結果進行對比。
1 理論與方法
1.1 肝臟鐵濃度與磁化率
通常人體LIC大約為200 μgFe/gliver(微克鐵每克肝臟組織)，并在50~500 μgFe/gliver的范圍內均屬正常，而大于1 000 μgFe/gliver可以被認為是肝臟鐵過載[8]。人體內水和絕大多數組織(如脂肪、皮膚、肌肉等)均為抗磁性物質[9]。但是當肝臟鐵過載發生時，肝臟內過量的鐵將會以兩種物質形式存在：鐵蛋白(ferritin)和含鐵血黃素(hemosiderin)[3]，這兩種物質在外加磁場作用下會表現出較強的順磁性響應，因此肝臟內鐵的過量積累將會減弱其自身的抗磁性[6, 9]。Bauman等通過對正常人體肝臟組織以及鐵蛋白和含鐵血黃素的參數做了合理近似后得出結論：正常肝臟組織中每增加1 g儲存鐵其磁化率將增大1×10-6。由此計算出肝臟組織磁化率的變化范圍大致為-9×10-6(正常)~+5.2×10-6(鐵過載)[3, 6]。
1.2 渦流效應干擾分析
Casa?as系統簡化模型如圖 1(a)所示[5-7]。圓形激勵線圈上通有頻率為f的低頻(10~100 kHz)正弦交變電流I，接收線圈與激勵線圈同軸放置且相距2a。一半徑為R，厚度為t()的薄圓盤形介質與兩線圈同軸并位于其中間，介質的電導率、相對介電常數、相對磁導率分別為σ、εr、μr。當激勵線圈和接收線圈半徑遠小于它們之間的距離時，兩線圈均可以看成是磁偶極子。設激勵線圈產生的主磁場z向分量為B0，它會在介質上感應出渦流并磁化介質，介質由于渦流和磁化效應將產生一個z向次級磁場擾動ΔB，根據Casa?as等的推導有[5-7]
| $\begin{align} & \frac{\Delta B}{{{B}_{0}}}=\frac{\Delta V}{{{V}_{0}}}=\frac{{{a}^{3}}t}{2}\left[ \chi \frac{{{R}^{2}}\left( 8{{a}^{2}}-{{R}^{2}} \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+{{R}^{2}} \right)}^{4}}} \right.- \\ & j\left( \sigma +j2\pi f{{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}} \right)2\pi f{{\mu }_{0}}\left. \frac{{{R}^{4}}}{{{a}^{2}}{{\left( {{a}^{2}}+{{R}^{2}} \right)}^{2}}} \right], \\ \end{align}$ |
其中χ=μr-1為介質磁化率，V0與ΔV分別是B0和ΔB在接收線圈上感應出的電壓。
圖1
線圈系統模型
(a) Casañas系統簡化模型；(b) 改進的線圈系統模型
Figure1. Coil system model(a) Simplified model of Casañas system; (b)Improved coil system model
對于自由空間中的均勻介質，式(1) 可以寫為一般化的形式
| $\frac{\Delta B}{{{B}_{0}}}=\frac{\Delta V}{{{V}_{0}}}={{k}_{1}}\chi +2\pi {{k}_{2}}{{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}{{f}^{2}}-j{{k}_{2}}\sigma f,$ |
其中k1、k2與收發線圈和介質的幾何形狀、相對位置等參量相關。因此，通過測量ΔV/V0的實部Re(ΔV/V0)即可得到與介質磁化率χ有關的信息。
式(2) 中ΔV/V0的實部包含了兩項，分別與介質磁化率χ和介質相對介電常數εr相關。與εr相關項是由介質渦流效應引入的，因此它不可避免地會對χ的測量帶來干擾。對于NaCl等鹽溶液，其εr約為80[7]，χ對Re(ΔV/V0)的貢獻遠遠大于εr對Re(ΔV/V0)的貢獻，即渦流效應對Re(ΔV/V0)影響很小，可以忽略。但是對于生物組織，其εr會隨著頻率的降低而大幅度增大。肝臟組織的εr在頻率為10~100 kHz時的變化范圍大致是1×104~5×104[10]，此時εr對Re(ΔV/V0)的貢獻已經與χ對Re(ΔV/V0)的貢獻具有可比性，渦流效應將不能被忽略，從Re(ΔV/V0)中計算出χ變得十分困難。在實際人體實驗中，Casa?as等用該系統(激勵電流頻率為28 kHz，接收線圈采用平面梯度尺)對肝臟鐵過載患者進行檢測，實驗結果顯示肝臟組織的相對介電常數對Re(ΔV/V0)的貢獻起主要作用，渦流效應對肝臟組織磁化率的測量存在明顯干擾[7]。
1.3 基于靜態場磁化原理的改進方法
由于介質渦流效應是由交變電流源在空間產生的時變電磁場引起的，如果激勵信號采用直流，則空間電磁場為靜態場，理論上介質將不會感應出渦流。對此我們設計了如圖 1(b)所示的線圈系統：激勵線圈采用理想密繞螺線管(厚度忽略不計)，匝數為n，其上通有直流I；接收線圈為一正方向線圈，以角頻率ω繞其對稱軸(x方向)旋轉。這樣直流激勵源在空間產生的靜態電磁場由于接收線圈的旋轉依然能在接收線圈上感應出電壓。
接收線圈的初始狀態與激勵線圈平行。假設肝臟組織為一各向同性、均勻、線性的圓柱形介質，其磁化率為χ；介質與激勵線圈和接收線圈同軸，并位于它們的正中間；介質半徑為r，高h，其上下表面與接收線圈和激勵線圈的距離均為d。激勵線圈半徑為R，長l；接收線圈邊長為a。由于線圈系統只對z向磁場分量敏感，因此可以把接收線圈看成放置于z=2d+l+h平面上面積為S=a2cosωt(t為時間)的正方形線圈，其所包圍的平面區域為接收面P。考慮到介質和接收線圈的尺寸與z=2d+l+h相比足夠小，可以近似認為介質的存在不影響接收線圈處的磁場分布，并且接收面P上各點磁場均等于點(0,0,2d+l+h)處的磁場[6, 11]。
根據畢奧-沙伐定律可得螺線管外空間任一點磁場z向分量Bz(x,y,z)為[12]
| ${{B}_{z}}\left( x,y,z \right)=\frac{{{\mu }_{0}}nIR}{4\pi l}\int\limits_{0}^{2\pi }{d\theta }\int\limits_{0}^{l}{\frac{R-x\cos \theta -y\sin \theta }{{{M}^{3/2}}}dt,}$ |
其中M=(x-Rcosθ)2+(y-Rsinθ)2+(z-t)2。所以未加介質時接收面處的磁場為
| $\begin{align} & {{B}_{0}}={{B}_{z}}\left( 0,0,2d+l+h \right)=\frac{{{\mu }_{0}}nI}{2l} \\ & \left( \frac{2d+l+h}{\sqrt{{{\left( 2d+l+h \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}}-\frac{2d+h}{\sqrt{{{\left( 2d+h \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right), \\ \end{align}$ |
對應的感應電壓最大值為V0m=ωa2B0。
加入介質后，取介質內厚度為dz的薄圓盤，圓盤底部與原點O相距z，如圖 2所示。在薄圓盤內取一小體元ρ~ρ+dρ，φ~φ+dφ，z~z+dz，則該小體元的體積為dV=ρdφdρdz，并且小體元內的磁場均等于Bz(ρcosφ,ρsinφ,z)。由于小體元可以等效為磁偶極子[13]，在外加磁場感應下小體元等效磁偶極矩為
| $dm=\frac{\chi }{{{\mu }_{0}}\left( 1+\chi \right)}{{B}_{z}}\left( \rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z \right)dV,$ |
方向為z向。該小體元在接收面處產生的磁場z向分量為:
| $d\Delta B=\frac{{{\mu }_{0}}dm\left\lceil 2{{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}-{{\rho }^{2}} \right\rceil }{4\pi {{\left\lceil {{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}+{{\rho }^{2}} \right\rceil }^{5/2}}}$ |
圖2
計算介質由于磁化作用產生的磁場
Figure2.
Calculation for magnetic field of object due to magnetization effect
對整個介質進行體積分可以得到接收面處由介質產生的磁化磁場
| $\Delta B=\iiint{d\Delta B}=c\frac{\chi }{1+\chi }\approx c\chi ,$ |
式中c為一常數，綜合以上各式可得
| $\begin{align} & c=\frac{{{\mu }_{0}}nIR}{16{{\pi }^{2}}l}\int\limits_{d+l}^{d+l+h}{dz}\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{r}{\frac{\rho \left\lceil 2{{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}-{{\rho }^{2}} \right\rceil }{{{\left\lceil {{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}+{{\rho }^{2}} \right\rceil }^{5/2}}}} \\ & \left[ \int\limits_{0}^{2\pi }{d\theta }\left( \int\limits_{0}^{l}{\frac{R-\rho \cos \varphi \cos \theta -\rho \sin \varphi \sin \theta }{{{N}^{3/2}}}} \right) \right]d\rho , \\ \end{align}$ |
其中N=(ρcosφ-Rcosθ)2+(ρsinφ-Rsinφ)2+(z-t)2。式(7) 中約等號成立是由于生物組織磁化率的數量級為10-6，其值遠遠小于1[6]。所以加入介質后接收線圈上的感應電壓為
| $V=-\frac{d\Phi }{dt}=\omega {{a}^{2}}\left( {{B}_{0}}+\Delta B \right)\sin \omega t,$ |
對應的最大值為Vm=ωa2(B0+ΔB)。因此接收線圈最大感應電壓相對變化量為：
| $\frac{{{V}_{m}}-{{V}_{0m}}}{{{V}_{0m}}}=\frac{\Delta {{V}_{m}}}{{{V}_{0m}}}=\frac{\Delta B}{{{B}_{0}}}$ |
由以上推導可知接收線圈感應電壓最大值Vm(接收面磁通量最大值Φm)與介質磁化率χ基本成線性關系變化，直線斜率為kV=ωa2c(kΦ=a2c)。接收線圈最大感應電壓相對變化量與Casa?as系統中的待測量Re(ΔV/V0)有相同物理含義，可以反映系統敏感度，其與介質磁化率也基本成線性關系變化。
2 結果
為了對上述理論分析和公式推導進行驗證，用Ansoft Maxwell 14.0軟件對改進的線圈系統建模仿真，并將仿真結果與由所推導公式計算出的結果進行對比。
激勵線圈的電流I=20(A)，線圈匝數n=10。圖 1(b)中模型的尺寸參數列于表 1。仿真建模設定螺線管的厚度為1 mm，材料為銅，其上電流方向為逆時針(沿-z方向看去)。
表1
模型的尺寸參數
Table1.
Dimension parameters of model
圖 3為用Maxwell軟件仿真得到的未加介質時接收面處磁場z向分量Bz分布圖，仿真和理論計算出的B0示于表 2。
圖3
未加介質時接收面處Bz分布
Figure3.
Bz distribution in receiving plane without object in model
表2
比較未加介質時的B0
Table2.
Comparison of B0 without object in model
圖 4為仿真得到的加入介質后接收線圈最大磁通量Φm與介質磁化率χ的變化關系，其中橫軸單位為1×10-6，縱軸單位為1×10-8Wb。χ從-10×10-6以步長2×10-6增大到10×10-6，包含了肝臟由正常到鐵過載對應的磁化率變化范圍。根據最小二乘法原理將仿真所得各點進行線性擬合，繪出的擬合直線也示于圖中。
圖4
最大磁通量與磁化率變化關系
Figure4.
Maximum magnetic flux versus magnetic susceptibility
用MATLAB軟件對所推導直線斜率kΦ的公式進行編程計算，在每個積分區間選取合理的采樣間隔，其中φ、θ、ρ、z、t的采樣間隔分別設為10-2、10-2、10-4、10-4、10-4，最終得到kΦ的近似值為5.9320×10-10。
圖 5(a)為當接收線圈轉動角頻率ω為2π×102時由仿真數據繪出的接收線圈最大感應電壓與介質磁化率的變化關系，其中橫軸單位為1×10-6，縱軸單位為1×10-6V。圖 5(b)為接收線圈最大感應電壓相對變化量與介質磁化率的變化關系，其中橫軸單位為1×10-6，縱軸單位為1×10-7。
圖5
接收信號與介質磁化率變化關系
(a)最大感應電壓與磁化率變化關系；(b)最大感應電壓相對變化量與磁化率變化關系
Figure5. Receiving signal versus magnetic susceptibility of object(a) maximum induced voltage versus magnetic susceptibility; (b) relative change of maximum induced voltage versus magnetic susceptibility
3 討論與總結
在圖 3中接收面上場強最大值(面中心處)與最小值僅相差約1.5%，因此假設接收面處各點磁場值等于面中心處磁場值是合理的。表 2中仿真值與理論值有10%左右的偏差，說明了式(3) 是在理想情況下得到的。
從圖 4可以看出接收面最大磁通量與介質磁化率基本成線性關系變化，其相關系數約為1。擬合直線斜率為4.990 2×10-10，這與用MATLAB軟件對理論推導公式編程計算出的斜率kΦ=5.932 0×10-10十分接近，從而證實了理論推導的正確性和方法的可行性。由于在推導理論公式的過程中認為接收面處各點磁場均等于面中心處的磁場，這將會使理論計算值比實際值偏大。此外，前面提到的螺線管外空間磁場分布推導的理想化也會造成理論值與仿真值存在差異。
圖 5(a)和圖 5(b)中接收線圈最大感應電壓、最大感應電壓相對變化量與介質磁化率也成很好的線性關系，并且圖 5(b)中理論曲線與仿真結果基本吻合，最大感應電壓相對變化量的數量級為10-7。表 3對改進的線圈系統與Casa?as系統進行了比較[7]，可以看出雖然圖 1(b)所示線圈系統的敏感度要比Casa?as系統低，但是Casa?as系統中的接收線圈為平面梯度尺，而這會使系統敏感度比接收線圈為普通的圓形或矩形線圈時要顯著增大[14]。在Casa?as系統中若定義介質相對介電常數對Re(ΔV/V0)的貢獻大小與介質磁化率對Re(ΔV/V0)的貢獻大小之比為渦流效應干擾率，則由Casa?as等的仿真與實驗結果可知Casa?as系統的渦流效應干擾率應大于1，即Re(ΔV/V0)主要反映了介質相對介電常數的信息。而在改進的線圈系統中，最大感應電壓相對變化量則完全反映了介質磁化率的信息。
表3
改進的線圈系統與Casa?as系統比較
Table3.
Comparison between improved coil system and Casa?as system
綜上所述，本文提出的方法能夠有效消除介質渦流效應對磁化率測量的干擾，為肝臟鐵過載無創檢測提供了一種簡便可行思路。在以后工作中要從提高系統敏感度入手，對所設計的線圈系統作進一步改進，考慮影響接收信號的誤差因素，搭建實驗測試系統完成實物測量以充分驗證方法可行性。
引言
肝臟鐵過載是一種常見疾病，主要由于先天原因(如遺傳性血色病)或后天原因(如周期性輸血)造成大量的鐵在肝臟中不斷沉積。過量的鐵積累在肝臟中會產生毒素，損傷肝細胞，并最終導致肝纖維化、肝硬化，甚至引發肝癌[1]。早期精確測量肝臟鐵濃度(liver iron concentration，LIC)對于肝臟鐵過載患者的診斷和治療至關重要。傳統檢測方法需要通過肝穿刺獲取肝臟組織樣本，對樣本進行化學分析以確定LIC。雖然肝穿刺活組織檢查被公認為是檢測肝臟鐵過載最準確的方法，但是手術的風險和痛苦使其難以成為臨床上的常規檢測手段[2]。1967年Bauman等[3-4]發現，肝臟組織磁化率與其鐵濃度呈線性關系，利用鐵的磁性質可以檢測肝臟鐵過載。Bauman等的研究成果對肝臟鐵過載的無創檢測具有重要指導意義，然而目前經臨床證實的無創檢測技術如超導量子干涉儀磁化率測量、磁共振成像等受設備復雜、昂貴、數量有限等因素制約也未能得到廣泛應用[2]。
從2001年開始，Casa?as等[5-7]將磁感應(magnetic induction)法應用到肝臟鐵過載檢測中，設計出一個安全無創、結構簡單、成本低廉的檢測系統。磁感應法通過低頻交變電流產生的磁場與肝臟組織內儲存鐵的相互作用來測量肝臟組織磁化率，根據肝臟組織磁化率判斷肝臟是否發生鐵過載。Casa?as等[7]在理論上證明了他們所設計的系統可以檢測肝臟鐵過載，但是該系統的人體測試結果卻顯示肝臟組織的渦流效應對肝臟組織磁化率測量有明顯干擾，這使得檢測系統并不能有效地將肝臟鐵過載患者與正常人區分開來。
本文針對Casa?as等設計的肝臟鐵過載磁感應檢測系統中的線圈系統部分(以下簡稱Casa?as系統)，提出一種基于靜態場磁化原理的改進方法來消除渦流效應對磁化率測量的干擾。通過理論推導分析了方法的可行性，對改進的線圈系統建模仿真，得到了介質磁化率與接收信號的變化關系，并將仿真結果與理論計算結果進行對比。
1 理論與方法
1.1 肝臟鐵濃度與磁化率
通常人體LIC大約為200 μgFe/gliver(微克鐵每克肝臟組織)，并在50~500 μgFe/gliver的范圍內均屬正常，而大于1 000 μgFe/gliver可以被認為是肝臟鐵過載[8]。人體內水和絕大多數組織(如脂肪、皮膚、肌肉等)均為抗磁性物質[9]。但是當肝臟鐵過載發生時，肝臟內過量的鐵將會以兩種物質形式存在：鐵蛋白(ferritin)和含鐵血黃素(hemosiderin)[3]，這兩種物質在外加磁場作用下會表現出較強的順磁性響應，因此肝臟內鐵的過量積累將會減弱其自身的抗磁性[6, 9]。Bauman等通過對正常人體肝臟組織以及鐵蛋白和含鐵血黃素的參數做了合理近似后得出結論：正常肝臟組織中每增加1 g儲存鐵其磁化率將增大1×10-6。由此計算出肝臟組織磁化率的變化范圍大致為-9×10-6(正常)~+5.2×10-6(鐵過載)[3, 6]。
1.2 渦流效應干擾分析
Casa?as系統簡化模型如圖 1(a)所示[5-7]。圓形激勵線圈上通有頻率為f的低頻(10~100 kHz)正弦交變電流I，接收線圈與激勵線圈同軸放置且相距2a。一半徑為R，厚度為t()的薄圓盤形介質與兩線圈同軸并位于其中間，介質的電導率、相對介電常數、相對磁導率分別為σ、εr、μr。當激勵線圈和接收線圈半徑遠小于它們之間的距離時，兩線圈均可以看成是磁偶極子。設激勵線圈產生的主磁場z向分量為B0，它會在介質上感應出渦流并磁化介質，介質由于渦流和磁化效應將產生一個z向次級磁場擾動ΔB，根據Casa?as等的推導有[5-7]
| $\begin{align} & \frac{\Delta B}{{{B}_{0}}}=\frac{\Delta V}{{{V}_{0}}}=\frac{{{a}^{3}}t}{2}\left[ \chi \frac{{{R}^{2}}\left( 8{{a}^{2}}-{{R}^{2}} \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+{{R}^{2}} \right)}^{4}}} \right.- \\ & j\left( \sigma +j2\pi f{{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}} \right)2\pi f{{\mu }_{0}}\left. \frac{{{R}^{4}}}{{{a}^{2}}{{\left( {{a}^{2}}+{{R}^{2}} \right)}^{2}}} \right], \\ \end{align}$ |
其中χ=μr-1為介質磁化率，V0與ΔV分別是B0和ΔB在接收線圈上感應出的電壓。
圖1
線圈系統模型
(a) Casañas系統簡化模型；(b) 改進的線圈系統模型
Figure1. Coil system model(a) Simplified model of Casañas system; (b)Improved coil system model
對于自由空間中的均勻介質，式(1) 可以寫為一般化的形式
| $\frac{\Delta B}{{{B}_{0}}}=\frac{\Delta V}{{{V}_{0}}}={{k}_{1}}\chi +2\pi {{k}_{2}}{{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}{{f}^{2}}-j{{k}_{2}}\sigma f,$ |
其中k1、k2與收發線圈和介質的幾何形狀、相對位置等參量相關。因此，通過測量ΔV/V0的實部Re(ΔV/V0)即可得到與介質磁化率χ有關的信息。
式(2) 中ΔV/V0的實部包含了兩項，分別與介質磁化率χ和介質相對介電常數εr相關。與εr相關項是由介質渦流效應引入的，因此它不可避免地會對χ的測量帶來干擾。對于NaCl等鹽溶液，其εr約為80[7]，χ對Re(ΔV/V0)的貢獻遠遠大于εr對Re(ΔV/V0)的貢獻，即渦流效應對Re(ΔV/V0)影響很小，可以忽略。但是對于生物組織，其εr會隨著頻率的降低而大幅度增大。肝臟組織的εr在頻率為10~100 kHz時的變化范圍大致是1×104~5×104[10]，此時εr對Re(ΔV/V0)的貢獻已經與χ對Re(ΔV/V0)的貢獻具有可比性，渦流效應將不能被忽略，從Re(ΔV/V0)中計算出χ變得十分困難。在實際人體實驗中，Casa?as等用該系統(激勵電流頻率為28 kHz，接收線圈采用平面梯度尺)對肝臟鐵過載患者進行檢測，實驗結果顯示肝臟組織的相對介電常數對Re(ΔV/V0)的貢獻起主要作用，渦流效應對肝臟組織磁化率的測量存在明顯干擾[7]。
1.3 基于靜態場磁化原理的改進方法
由于介質渦流效應是由交變電流源在空間產生的時變電磁場引起的，如果激勵信號采用直流，則空間電磁場為靜態場，理論上介質將不會感應出渦流。對此我們設計了如圖 1(b)所示的線圈系統：激勵線圈采用理想密繞螺線管(厚度忽略不計)，匝數為n，其上通有直流I；接收線圈為一正方向線圈，以角頻率ω繞其對稱軸(x方向)旋轉。這樣直流激勵源在空間產生的靜態電磁場由于接收線圈的旋轉依然能在接收線圈上感應出電壓。
接收線圈的初始狀態與激勵線圈平行。假設肝臟組織為一各向同性、均勻、線性的圓柱形介質，其磁化率為χ；介質與激勵線圈和接收線圈同軸，并位于它們的正中間；介質半徑為r，高h，其上下表面與接收線圈和激勵線圈的距離均為d。激勵線圈半徑為R，長l；接收線圈邊長為a。由于線圈系統只對z向磁場分量敏感，因此可以把接收線圈看成放置于z=2d+l+h平面上面積為S=a2cosωt(t為時間)的正方形線圈，其所包圍的平面區域為接收面P。考慮到介質和接收線圈的尺寸與z=2d+l+h相比足夠小，可以近似認為介質的存在不影響接收線圈處的磁場分布，并且接收面P上各點磁場均等于點(0,0,2d+l+h)處的磁場[6, 11]。
根據畢奧-沙伐定律可得螺線管外空間任一點磁場z向分量Bz(x,y,z)為[12]
| ${{B}_{z}}\left( x,y,z \right)=\frac{{{\mu }_{0}}nIR}{4\pi l}\int\limits_{0}^{2\pi }{d\theta }\int\limits_{0}^{l}{\frac{R-x\cos \theta -y\sin \theta }{{{M}^{3/2}}}dt,}$ |
其中M=(x-Rcosθ)2+(y-Rsinθ)2+(z-t)2。所以未加介質時接收面處的磁場為
| $\begin{align} & {{B}_{0}}={{B}_{z}}\left( 0,0,2d+l+h \right)=\frac{{{\mu }_{0}}nI}{2l} \\ & \left( \frac{2d+l+h}{\sqrt{{{\left( 2d+l+h \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}}-\frac{2d+h}{\sqrt{{{\left( 2d+h \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right), \\ \end{align}$ |
對應的感應電壓最大值為V0m=ωa2B0。
加入介質后，取介質內厚度為dz的薄圓盤，圓盤底部與原點O相距z，如圖 2所示。在薄圓盤內取一小體元ρ~ρ+dρ，φ~φ+dφ，z~z+dz，則該小體元的體積為dV=ρdφdρdz，并且小體元內的磁場均等于Bz(ρcosφ,ρsinφ,z)。由于小體元可以等效為磁偶極子[13]，在外加磁場感應下小體元等效磁偶極矩為
| $dm=\frac{\chi }{{{\mu }_{0}}\left( 1+\chi \right)}{{B}_{z}}\left( \rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z \right)dV,$ |
方向為z向。該小體元在接收面處產生的磁場z向分量為:
| $d\Delta B=\frac{{{\mu }_{0}}dm\left\lceil 2{{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}-{{\rho }^{2}} \right\rceil }{4\pi {{\left\lceil {{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}+{{\rho }^{2}} \right\rceil }^{5/2}}}$ |
圖2
計算介質由于磁化作用產生的磁場
Figure2.
Calculation for magnetic field of object due to magnetization effect
對整個介質進行體積分可以得到接收面處由介質產生的磁化磁場
| $\Delta B=\iiint{d\Delta B}=c\frac{\chi }{1+\chi }\approx c\chi ,$ |
式中c為一常數，綜合以上各式可得
| $\begin{align} & c=\frac{{{\mu }_{0}}nIR}{16{{\pi }^{2}}l}\int\limits_{d+l}^{d+l+h}{dz}\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{r}{\frac{\rho \left\lceil 2{{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}-{{\rho }^{2}} \right\rceil }{{{\left\lceil {{\left( 2d+l+h-z \right)}^{2}}+{{\rho }^{2}} \right\rceil }^{5/2}}}} \\ & \left[ \int\limits_{0}^{2\pi }{d\theta }\left( \int\limits_{0}^{l}{\frac{R-\rho \cos \varphi \cos \theta -\rho \sin \varphi \sin \theta }{{{N}^{3/2}}}} \right) \right]d\rho , \\ \end{align}$ |
其中N=(ρcosφ-Rcosθ)2+(ρsinφ-Rsinφ)2+(z-t)2。式(7) 中約等號成立是由于生物組織磁化率的數量級為10-6，其值遠遠小于1[6]。所以加入介質后接收線圈上的感應電壓為
| $V=-\frac{d\Phi }{dt}=\omega {{a}^{2}}\left( {{B}_{0}}+\Delta B \right)\sin \omega t,$ |
對應的最大值為Vm=ωa2(B0+ΔB)。因此接收線圈最大感應電壓相對變化量為：
| $\frac{{{V}_{m}}-{{V}_{0m}}}{{{V}_{0m}}}=\frac{\Delta {{V}_{m}}}{{{V}_{0m}}}=\frac{\Delta B}{{{B}_{0}}}$ |
由以上推導可知接收線圈感應電壓最大值Vm(接收面磁通量最大值Φm)與介質磁化率χ基本成線性關系變化，直線斜率為kV=ωa2c(kΦ=a2c)。接收線圈最大感應電壓相對變化量與Casa?as系統中的待測量Re(ΔV/V0)有相同物理含義，可以反映系統敏感度，其與介質磁化率也基本成線性關系變化。
2 結果
為了對上述理論分析和公式推導進行驗證，用Ansoft Maxwell 14.0軟件對改進的線圈系統建模仿真，并將仿真結果與由所推導公式計算出的結果進行對比。
激勵線圈的電流I=20(A)，線圈匝數n=10。圖 1(b)中模型的尺寸參數列于表 1。仿真建模設定螺線管的厚度為1 mm，材料為銅，其上電流方向為逆時針(沿-z方向看去)。
表1
模型的尺寸參數
Table1.
Dimension parameters of model
圖 3為用Maxwell軟件仿真得到的未加介質時接收面處磁場z向分量Bz分布圖，仿真和理論計算出的B0示于表 2。
圖3
未加介質時接收面處Bz分布
Figure3.
Bz distribution in receiving plane without object in model
表2
比較未加介質時的B0
Table2.
Comparison of B0 without object in model
圖 4為仿真得到的加入介質后接收線圈最大磁通量Φm與介質磁化率χ的變化關系，其中橫軸單位為1×10-6，縱軸單位為1×10-8Wb。χ從-10×10-6以步長2×10-6增大到10×10-6，包含了肝臟由正常到鐵過載對應的磁化率變化范圍。根據最小二乘法原理將仿真所得各點進行線性擬合，繪出的擬合直線也示于圖中。
圖4
最大磁通量與磁化率變化關系
Figure4.
Maximum magnetic flux versus magnetic susceptibility
用MATLAB軟件對所推導直線斜率kΦ的公式進行編程計算，在每個積分區間選取合理的采樣間隔，其中φ、θ、ρ、z、t的采樣間隔分別設為10-2、10-2、10-4、10-4、10-4，最終得到kΦ的近似值為5.9320×10-10。
圖 5(a)為當接收線圈轉動角頻率ω為2π×102時由仿真數據繪出的接收線圈最大感應電壓與介質磁化率的變化關系，其中橫軸單位為1×10-6，縱軸單位為1×10-6V。圖 5(b)為接收線圈最大感應電壓相對變化量與介質磁化率的變化關系，其中橫軸單位為1×10-6，縱軸單位為1×10-7。
圖5
接收信號與介質磁化率變化關系
(a)最大感應電壓與磁化率變化關系；(b)最大感應電壓相對變化量與磁化率變化關系
Figure5. Receiving signal versus magnetic susceptibility of object(a) maximum induced voltage versus magnetic susceptibility; (b) relative change of maximum induced voltage versus magnetic susceptibility
3 討論與總結
在圖 3中接收面上場強最大值(面中心處)與最小值僅相差約1.5%，因此假設接收面處各點磁場值等于面中心處磁場值是合理的。表 2中仿真值與理論值有10%左右的偏差，說明了式(3) 是在理想情況下得到的。
從圖 4可以看出接收面最大磁通量與介質磁化率基本成線性關系變化，其相關系數約為1。擬合直線斜率為4.990 2×10-10，這與用MATLAB軟件對理論推導公式編程計算出的斜率kΦ=5.932 0×10-10十分接近，從而證實了理論推導的正確性和方法的可行性。由于在推導理論公式的過程中認為接收面處各點磁場均等于面中心處的磁場，這將會使理論計算值比實際值偏大。此外，前面提到的螺線管外空間磁場分布推導的理想化也會造成理論值與仿真值存在差異。
圖 5(a)和圖 5(b)中接收線圈最大感應電壓、最大感應電壓相對變化量與介質磁化率也成很好的線性關系，并且圖 5(b)中理論曲線與仿真結果基本吻合，最大感應電壓相對變化量的數量級為10-7。表 3對改進的線圈系統與Casa?as系統進行了比較[7]，可以看出雖然圖 1(b)所示線圈系統的敏感度要比Casa?as系統低，但是Casa?as系統中的接收線圈為平面梯度尺，而這會使系統敏感度比接收線圈為普通的圓形或矩形線圈時要顯著增大[14]。在Casa?as系統中若定義介質相對介電常數對Re(ΔV/V0)的貢獻大小與介質磁化率對Re(ΔV/V0)的貢獻大小之比為渦流效應干擾率，則由Casa?as等的仿真與實驗結果可知Casa?as系統的渦流效應干擾率應大于1，即Re(ΔV/V0)主要反映了介質相對介電常數的信息。而在改進的線圈系統中，最大感應電壓相對變化量則完全反映了介質磁化率的信息。
表3
改進的線圈系統與Casa?as系統比較
Table3.
Comparison between improved coil system and Casa?as system
綜上所述，本文提出的方法能夠有效消除介質渦流效應對磁化率測量的干擾，為肝臟鐵過載無創檢測提供了一種簡便可行思路。在以后工作中要從提高系統敏感度入手，對所設計的線圈系統作進一步改進，考慮影響接收信號的誤差因素，搭建實驗測試系統完成實物測量以充分驗證方法可行性。
