剖析人體踝關節生理結構及運動特性，提出一種四自由度廣義球面并聯機構來滿足踝關節康復運動需求。采用螺旋理論分析機構運動特性，基于球坐標描述位置、歐拉角描述姿態的方法，建立機構位置逆解封閉矢量方程。根據逆解約束條件分析機構工作空間，以機構動球心工作空間匹配踝部脛距關節運動空間、動平臺工作空間匹配踝部距下關節運動空間為目標，采用遺傳算法對機構關鍵尺度參數進行優化設計。研究結果表明，該廣義球面并聯機構工作空間能夠滿足人體踝關節康復實際運動空間。通過本文研究結果，可為高匹配度踝關節康復機器人本體設計提供理論依據和實驗參考。
引用本文： 劉旭升, 張建軍, 劉承磊, 牛建業, 戚開誠, 郭士杰. 踝關節康復四自由度廣義球面并聯機構的運動學分析及尺度優化. 生物醫學工程學雜志, 2021, 38(2): 286-294. doi: 10.7507/1001-5515.202006080 復制
引言
踝關節是人體下肢最復雜的關節，在人體運動機能中起到保持身體平衡的作用，且很容易受到高強度的撞擊，肌肉控制力不足或受力不均勻時踝關節容易損傷。相關數據顯示，在人體下肢損傷中，踝關節扭傷發生率居于第二位，如不及時或徹底治療，則易產生二次損傷，影響人體正常行走[1-3]。傳統的踝關節康復方式為醫師對患者進行“一對一”的徒手療法，該過程耗時耗力且無科學的測評康復體系。針對“患者多、醫師少”的問題，同時提供科學的康復評價標準，設計一種適用于踝部關節康復的機器人顯得至關重要。
目前，國內外專家學者基于對人體踝部關節的關節結構組成、運動形式以及損傷機制深入研究，提出多種不同特點和應用的踝關節康復機器人。Girone 等[4]基于斯圖爾特（Stewart）平臺提出了一種六自由度踝關節康復機器人，其機構復雜、控制困難。Saglia 等[5]研制出高性能二自由度踝關節康復機器人，能完成高靈巧性的康復運動，但康復運動自由度需求不足。Malosio 等[6]基于靈巧眼球形機構設計了一種踝關節康復機器人，其在康復訓練中踝關節運動中心與機構轉動中心重合度高；邊輝等[7]為使機器人機構的轉動中心與踝關節中心相重合，減少人機交互力，提出了一種具有遠程轉動中心的踝關節康復機器人；李劍鋒等[8-10]提出了一系列并聯機構作為踝關節康復機器人機構構型；Wang 等[11]提出一種用于踝關節康復的冗余驅動并聯機器人；以上幾種康復機器人的核心問題都在于踝關節運動擬合模型不精確。張彥斌等[12]基于無耦合轉動并聯機構設計了一種踝關節康復機器人，該機構僅含有兩條分支，結構簡單、運動學解耦性好，但未考慮人機匹配度。
基于上述研究與分析，現有踝關節康復機器人在不同程度上存在諸多問題。從踝關節解剖學結構特點研究，基于其損傷機制及運動方式，現階段踝關節康復機器人研究的核心內容為踝關節與康復機器人的擬合精度。本文為提高人機康復的擬合精度，在分析踝關節解剖學結構及現有踝關節康復機器人特性的基礎上，提出一種適用于踝關節康復運動的四自由度廣義球面并聯機構，分析其自由度特性，通過求解機構的位置逆解得到其工作空間，基于工作空間與踝關節運動空間的匹配度進行機構參數優化，為進一步設計踝關節康復機器人本體提供理論依據。
1 踝關節結構分析及新型機構設計
1.1 踝關節結構分析
為提高人機擬合精度，從本質上剖析踝關節生理結構及其運動方式是研究設計踝關節康復機器人的前提和關鍵。從人體解剖學角度分析，踝關節是一種復合關節，由兩個獨立的關節組成：脛距關節和距下關節[13]。這兩種關節各自有其旋轉軸線[14]，且旋轉軸線是傾斜的，空間異面的，如圖 1 所示。
圖1
踝關節結構
Figure1.
Ankle structure
現有研究為簡化設計，在踝關節康復機器人的研究過程中將踝關節運動擬合模型等效為兩種形式：① 依據踝部生理結構將其運動等效為串聯式兩轉動結構（RR 型運動擬合模型）；② 依據踝部運動形式將其運動轉化為并聯式三轉動結構（S 型運動擬合模型）；基于文獻[15]總結的踝關節康復機器人的最優設計條件是應最大程度地擬合踝關節運動，本研究結合踝關節生理結構及其運動特性采用一種串聯式四轉動結構（UU 型運動擬合模型）來擬合踝關節運動，如圖 2 所示。
圖2
踝關節運動擬合模型
Figure2.
Motion matching model of ankle joint
由于人體距骨尺寸微小的限制，以串聯模型作為康復機構本體則無法布置電機，難以達到康復需求，由此構型出一種廣義球面并聯機構來提高踝關節康復運動的擬合精度。
1.2 廣義球面并聯機構
廣義球面并聯機構由定平臺、動平臺和連接動定平臺的四條分支組成，構成該機構四條分支的桿件均為球面連桿，可分為 A 桿和 B 桿兩類，其區別在于 A 桿含有一個運動球心，B 桿含有兩個運動球心。四條分支結構為：分支一與分支二結構相同，桿件結構表示為 AABA，分支三結構表示為 ABAA，分支四結構表示為 ABA，各分支中桿件均由轉動副串聯連接，如圖 3 廣義球面并聯機構分支所示。
圖3
廣義球面并聯機構分支
Figure3.
Branch of the generalized spherical parallel mechanism
四條分支組合而成的廣義球面并聯機構簡圖如圖 4 左圖所示，其中 Rij（i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4, 5）表示機構第 i 條分支的第 j 個轉動副中心點所在位置。各分支球面連桿排列組合后機構形成兩個運動球心，AA 桿重合球心 O 稱為機構的定球心，AB 桿重合球心 O1 稱為機構的動球心，兩者間距 OO1 稱為機構的球心距。機構分支三與四結構中含有球面五桿閉環，可控制機構動球心 O1 的位置變化。所設計的康復機器人三維模型如圖 4 右圖所示，其康復工作原理為以機構動平臺固定足部、定平臺固定小腿，以定球心 O 擬合脛距關節運動中心，以動球心 O1 擬合距下關節運動中心進行的多自由度康復系統。驅動電機均布于定平臺上 R11、R21、R31、R41 四個轉動副處。
圖4
踝關節康復機器人
Figure4.
Ankle rehabilitation robot
2 自由度分析
自由度分析是研究一切并聯機構的基礎，采用螺旋理論[16]對廣義球面并聯機構進行自由度分析。傳統球面并聯機構一般具有一個固定轉動中心[17]，本文依據廣義球面并聯機構的雙球心特性建立其分支坐標系。如圖 5 所示，在機構一般位形下建立分支坐標系 O-XYZ，分支坐標系的 Z 軸與其動、定球心連線重合，坐標原點與定球心重合。圖 5 以分支一坐標系和分支四坐標系為例。
圖5
分支坐標系
Figure5.
Branching coordinate system
以 
表示第 i 條分支運動鏈中第 j 個運動副的運動螺旋；以 
表示第 i 條分支運動鏈施加于動平臺上的第 j 個約束螺旋；以 
表示機構約束螺旋系中的第 i 個約束螺旋；以 
表示機構運動螺旋系中的第 i 個運動螺旋。機構各分支的運動及約束螺旋系介紹如下：
分支一的運動及約束螺旋系如式（1）～（2）所示：
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由其約束螺旋系可知，分支一對動平臺僅有 1 個力約束，且沿 Z 軸方向，無力偶約束。同理，分支二與分支一結構相同，都對動平臺產生 1 個沿 Z 軸方向的力約束。
分支三的運動及約束螺旋系如式（3）～（4）所示：
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 |
由其約束螺旋系可知，分支三對動平臺僅有 1 個力約束，且沿 Z 軸方向，無力偶約束。
分支四的運動及約束螺旋系為如式（5）～（6）所示：
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 |
由其約束螺旋系可知，分支四對動平臺有 1 個力約束，1 個力偶約束。
四條分支施加給動平臺的 5 個約束螺旋構成動平臺的約束螺旋系如式（7）所示：
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對約束螺旋系求反螺旋可得如式（8）所示的機構運動螺旋系：
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式（1）～（8）中，l 表示雙心距 OO1 的長度，aij、bij、cij、a4r、b4r、d4r、e4r、f4r、dip、eip（i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4, 5）代表與各轉動副方向和位置相關的常量，其中上標 r 表示分支約束螺旋，上標 p 表示機構約束螺旋。
機構全部 4 個分支對動平臺共施加 5 個約束，其中沿 Z 軸方向的 4 個約束力線性相關，構成一個公共約束。該機構在任一非奇異位置處，式（1）～式（8）總保持一般性，則公共約束保持不變，其自由度是全周的。由式（8）可知該廣義球面并聯機構具有四個自由度，與本文所提踝關節 UU 型運動擬合模型的運動特性一致。因此，可以為實現踝關節康復運動提供必要的自由度。
3 位置逆解
3.1 參數設置
設 θ1、θ2、θ3、θ4 分別表示四個轉動副 R11、R21、R31、R41 的輸入角，該機構設置為部分對稱結構，如圖 4 中廣義球面并聯機構簡圖所示，以 δi（i = 0, 1, 2, ···, 10）表示機構球面連桿的角度參數。設其球面連桿角度參數為：∠R11OR21 = δ0、∠R11OR12 = ∠R12OR22 = δ1、∠R12OR13 = ∠R22OR23 = δ2、∠OO1R14 = ∠OO1R24 = δ3、∠R14O1R15 = ∠R24O1R25 = δ4、∠R31OR41 = δ5、∠R31OR32 = ∠R41OR42 = δ6、∠R13OO1 = ∠R23OO1 = ∠R32OO1 = ∠R42OO1 = δ7、∠R33O1R34 = δ8、∠R34O1R35 = δ9、∠R43O1R44 = δ10，動定平臺大小由各分支兩端桿件轉動副軸線長度決定，雙心距 OO1 為
。
3.2 基于球坐標和歐拉角的機構位姿描述方法
在廣義球面并聯機構定球心處建立定坐標系 O-X0Y0Z0，在動球心處建立位置坐標系 O1-X1Y1Z1 和動坐標系 O1-X2Y2Z2。采用球坐標描述動平臺位置，歐拉角 Z-Y-X 描述動平臺姿態[18]，即從定系到位置系描述機構位置變化，從位置系到動系描述機構姿態變化。定系 X0 軸與轉動副 R11 轉動軸線重合，Y0 軸與 R31R41 角平分線重合，Z0 軸垂直定平臺。設定平臺與動平臺同軸時為機構的初始位置，初始位置時坐標系 O1-X1Y1Z1 與 O1-X2Y2Z2 重合，機構在一般位形下的位姿描述坐標系如圖 6 所示。
圖6
位姿描述坐標系
Figure6.
Position and posture description coordinate system
圖 6 中 O 點為定球心中心點，O1 點為動球心中心點，P 點為動平臺轉動中心點。α、β、γ 為歐拉角旋轉角度，φ1、φ2 為球坐標旋轉角度。
當已知旋轉角度，位置系 O1-X1Y1Z1 相對于定系 O-X0Y0Z0 的旋轉變換為繞 Z0 軸旋轉 φ1 后，再繞 Y0 軸旋轉 φ2，最后沿 Z0 方向移動距離 l，以 R 代表旋轉變換，T 代表移動變換，則其位姿矩陣 
可表示如式（9）～式（10）所示：
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動系 O1-X2Y2Z2 相對于位置系 O1-X1Y1Z1 的旋轉變換為繞 Z1 軸旋轉 α 后再繞 Y1 軸旋轉 β，最后繞 X1 軸旋轉 γ，其位姿矩陣 
可表示如式（11）～式（12）所示：
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機構整體位姿描述20T 可表示如式（13）所示：
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該機構具有 2 個轉動自由度，而描述動平臺姿態有 3 個變量，需先找到描述姿態的三個歐拉角之間的關系。在給定機構某個位置下，尋求姿態角關系，機構可簡化為如圖 7 所示的定位置等效模型。
圖7
定位置等效模型
Figure7.
Fixed position equivalent model
圖 7 中分支四球面桿 R43R44 約束一個轉動姿態，機構存在如式（14）所示的約束關系：
 |
依據式（14），可求得 γ = f (α, β) 關系。
3.3 逆解方程
本文采用封閉矢量法，根據機構幾何關系推導位置逆解。分支一與分支二結構相同，以分支一為例，R11O + OO1 + O1R15 + R15R14 + R14R13 + R13R12 + R12R11 = 0 為矢量方程，存在約束方程如式（15）～式（17）所示：
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分支三結構封閉矢量方程為 R31O + OO1 + O1R33 + R33R32 + R32R31 = 0，存在約束方程如式（18）所示：
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求輸入轉角 θ，如式（19）～式（20）所示：
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式（14）～（20）中 xij、yij、zij（i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4, 5）分別表示第 i 條分支中第 j 個轉動副中心在定坐標系下的坐標值，xn、yn、zn（n = 1, 2）表示平面 OO1Rn4Rn3 的法向量坐標。
4 工作空間分析
采用極限邊界搜索法對該并聯機構的工作空間進行分析，分別求解動球心及動平臺工作空間。給定機構經驗參數 δ0 = 60°、δ1 = 30°、δ2 = 28°、δ3 = 110°、δ4 = 20°、δ5 = 180°、δ6 = 34°、δ7 = 74°、δ8 = 22°、δ9 = 25°、δ10 = 32°、l = 30，利用數學計算軟件 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）編程求解工作空間，工作空間求解流程圖如圖 8 所示。
圖8
工作空間求解流程圖
Figure8.
Flow chart of workspace solution
圖 8 中，φ1、φ2、α、β 為機構位姿描述變量。取 α 和 β 為動平臺姿態角常量，φ1 和 φ2 為位置變量循環計算初值，求解機構動球心工作空間。其工作空間在半徑為雙心距 l 的球面上，形狀變化與布局參數 δ5 相關，范圍大小與 δ6、δ7 相關。列舉不同構型下的動球心工作空間“點集”如圖 9 所示。
圖9
動球心工作空間“點集”
Figure9.
Set of moving spherical center workspace points
取圖 8 中 φ1 和 φ2 為動平臺轉動中心的位置常量，α 和 β 為姿態角變量循環計算初值，求解機構動平臺工作空間。給定初始位置 φ1 = 0 和 φ2 = 0，動平臺工作空間在半徑為 O1P 的球面上，其范圍大小與參數 δ1、δ2、δ3、δ4、δ10 相關。分析 δ0 = 60°、δ5 = 180° 構型下機構的動平臺工作空間“點集”如圖 10 所示。
圖10
動平臺工作空間“點集”
Figure10.
Set of dynamic platform center workspace points
5 尺度優化
5.1 設計變量
以上述分析機構工作空間布局參數為例，即取 δ0 = 60°、δ5 = 180° 時，優化設計變量如式（21）所示：
 |
5.2 目標函數
康復機器人工作空間與踝關節實際運動空間的匹配度越高，造成二次損傷的可能性越小。文獻[19]將踝關節基本運動簡化為背伸/跖屈、內翻/外翻和內收/外展。本研究通過人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）驅動人體踝關節運動，采集踝關節運動時脛距關節及距下關節的踝關節運動范圍如表 1 所示。
表1
踝關節運動范圍
Table1.
Motion range of the ankle
以人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）擬合出的脛距關節及距下關節運動空間為目標，分別匹配機構動球心工作空間和動平臺工作空間。以兩者工作空間散點坐標差值的平方和最小為目標函數進行設計優化。目標函數如式（22）所示：
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Xi、Yi、Zi 為機構工作空間散點坐標值，xei、yei、zei 為目標工作空間散點坐標值，k 為散點數。
5.3 約束條件
① 仿生條件：考慮到個體尺寸差異，根據人類工效學列出的中國成年人人體尺寸的基礎數值[20]，依據人體足部尺寸設定機構基本參數，以 18～60 歲男性為主要參考，足長為 272 mm，足寬為 107 mm，為預留鞋墊尺寸，設定定平臺半徑為 130 mm，動平臺半徑為 70 mm，脛距關節和距下關節軸線間距[21]為 30 mm，取 l = 30 mm。
② 桿長存在限定角度條件：兩回轉副中心點距離應大于連桿寬度。
③ 機構中位置球面五桿閉環的組裝運動條件：δ6 + δ7 > 90°、δ6 ? δ7 < 90°。
依據上述機構限定條件，結合機構實際設計裝配情況，防止構件干涉可能性的增大，預設各參數取值范圍為 δ1、δ2、δ6∈［15°，50°］、δ3∈［90°，180°］、δ7∈［45°，90°］、δ4、δ10∈［9°，50°］。
5.4 優化結果
通過數學計算軟件 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）中的遺傳算法工具箱對機構尺度參數進行求解，優化參數設置分別為：種群規模 M = 100，交叉概率 Pc = 0.8，變異概率 Pm = 0.1，終止進化代數 T = 100。遺傳算法優化流程如圖 11 所示。
圖11
遺傳算法優化流程圖
Figure11.
Flow chart of genetic algorithm optimization
利用遺傳算法對目標函數進行優化計算后，得到優化后機構各桿件角度參數為 δ1 = 32°、δ2 = 28°、δ3 = 135°、δ4 = 19°、δ6 = 30°、δ7 = 75°、δ10 = 35°。采用優化后的并聯機構尺度參數，在數學計算軟件 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）中編程繪制并聯機構的工作空間點云圖，與人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）擬合出踝部實際運動空間對比，即脛距-動球心空間對比和距下-動平臺空間對比，分析優化效果，如圖 12 所示。
圖12
工作空間對比圖
Figure12.
Workspace comparison diagram
在圖 12 中，點集表示優化后的機構工作空間，光滑球面表示踝部關節目標運動空間，約束驅動角，對比優化后機構動球心工作空間與脛距關節實際運動空間及機構動平臺工作空間與距下關節實際運動空間。結果表明，優化后尺度參數在滿足機構約束條件下，生成的機構工作空間包絡踝關節目標運動空間，即機構的工作空間能夠滿足人體踝關節康復所需實際運動空間的需求。
6 結論
（1）本文基于人體踝關節生理結構及其運動特性，綜合現有踝關節康復機器人，為提高人機擬合精度，提出了一種高匹配度的四自由度廣義球面并聯機構。
（2）采用螺旋理論分析出機構的自由度特性；建立了廣義球面并聯機構的運動學位姿描述方法，采用封閉矢量法推導出位置逆解方程；根據逆解約束條件及驅動范圍，通過 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）軟件編程分析得到機構在不同構型下的動球心和動平臺工作空間。
（3）為滿足康復運動空間需求，以人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）數據擬合空間與并聯機構工作空間的匹配度最高為目標，通過遺傳算法對機構關鍵尺度參數進行了優化，得到符合人體實際運動空間的機構尺度參數，對比分析表明該機構的設計能較好保障踝關節康復所需實際運動空間。
（4）針對本文所提的踝關節康復機器人，為更好地匹配踝關節康復運動，實現人機擬合精度的提高，還需進一步實驗采集踝部關節運動的實際數據，主要采集踝部脛距關節及距下關節的關聯運動數據，通過數據擬合建立其數學運動模型，將為踝關節康復運動的軌跡規劃提供理論依據。
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
引言
踝關節是人體下肢最復雜的關節，在人體運動機能中起到保持身體平衡的作用，且很容易受到高強度的撞擊，肌肉控制力不足或受力不均勻時踝關節容易損傷。相關數據顯示，在人體下肢損傷中，踝關節扭傷發生率居于第二位，如不及時或徹底治療，則易產生二次損傷，影響人體正常行走[1-3]。傳統的踝關節康復方式為醫師對患者進行“一對一”的徒手療法，該過程耗時耗力且無科學的測評康復體系。針對“患者多、醫師少”的問題，同時提供科學的康復評價標準，設計一種適用于踝部關節康復的機器人顯得至關重要。
目前，國內外專家學者基于對人體踝部關節的關節結構組成、運動形式以及損傷機制深入研究，提出多種不同特點和應用的踝關節康復機器人。Girone 等[4]基于斯圖爾特（Stewart）平臺提出了一種六自由度踝關節康復機器人，其機構復雜、控制困難。Saglia 等[5]研制出高性能二自由度踝關節康復機器人，能完成高靈巧性的康復運動，但康復運動自由度需求不足。Malosio 等[6]基于靈巧眼球形機構設計了一種踝關節康復機器人，其在康復訓練中踝關節運動中心與機構轉動中心重合度高；邊輝等[7]為使機器人機構的轉動中心與踝關節中心相重合，減少人機交互力，提出了一種具有遠程轉動中心的踝關節康復機器人；李劍鋒等[8-10]提出了一系列并聯機構作為踝關節康復機器人機構構型；Wang 等[11]提出一種用于踝關節康復的冗余驅動并聯機器人；以上幾種康復機器人的核心問題都在于踝關節運動擬合模型不精確。張彥斌等[12]基于無耦合轉動并聯機構設計了一種踝關節康復機器人，該機構僅含有兩條分支，結構簡單、運動學解耦性好，但未考慮人機匹配度。
基于上述研究與分析，現有踝關節康復機器人在不同程度上存在諸多問題。從踝關節解剖學結構特點研究，基于其損傷機制及運動方式，現階段踝關節康復機器人研究的核心內容為踝關節與康復機器人的擬合精度。本文為提高人機康復的擬合精度，在分析踝關節解剖學結構及現有踝關節康復機器人特性的基礎上，提出一種適用于踝關節康復運動的四自由度廣義球面并聯機構，分析其自由度特性，通過求解機構的位置逆解得到其工作空間，基于工作空間與踝關節運動空間的匹配度進行機構參數優化，為進一步設計踝關節康復機器人本體提供理論依據。
1 踝關節結構分析及新型機構設計
1.1 踝關節結構分析
為提高人機擬合精度，從本質上剖析踝關節生理結構及其運動方式是研究設計踝關節康復機器人的前提和關鍵。從人體解剖學角度分析，踝關節是一種復合關節，由兩個獨立的關節組成：脛距關節和距下關節[13]。這兩種關節各自有其旋轉軸線[14]，且旋轉軸線是傾斜的，空間異面的，如圖 1 所示。
圖1
踝關節結構
Figure1.
Ankle structure
現有研究為簡化設計，在踝關節康復機器人的研究過程中將踝關節運動擬合模型等效為兩種形式：① 依據踝部生理結構將其運動等效為串聯式兩轉動結構（RR 型運動擬合模型）；② 依據踝部運動形式將其運動轉化為并聯式三轉動結構（S 型運動擬合模型）；基于文獻[15]總結的踝關節康復機器人的最優設計條件是應最大程度地擬合踝關節運動，本研究結合踝關節生理結構及其運動特性采用一種串聯式四轉動結構（UU 型運動擬合模型）來擬合踝關節運動，如圖 2 所示。
圖2
踝關節運動擬合模型
Figure2.
Motion matching model of ankle joint
由于人體距骨尺寸微小的限制，以串聯模型作為康復機構本體則無法布置電機，難以達到康復需求，由此構型出一種廣義球面并聯機構來提高踝關節康復運動的擬合精度。
1.2 廣義球面并聯機構
廣義球面并聯機構由定平臺、動平臺和連接動定平臺的四條分支組成，構成該機構四條分支的桿件均為球面連桿，可分為 A 桿和 B 桿兩類，其區別在于 A 桿含有一個運動球心，B 桿含有兩個運動球心。四條分支結構為：分支一與分支二結構相同，桿件結構表示為 AABA，分支三結構表示為 ABAA，分支四結構表示為 ABA，各分支中桿件均由轉動副串聯連接，如圖 3 廣義球面并聯機構分支所示。
圖3
廣義球面并聯機構分支
Figure3.
Branch of the generalized spherical parallel mechanism
四條分支組合而成的廣義球面并聯機構簡圖如圖 4 左圖所示，其中 Rij（i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4, 5）表示機構第 i 條分支的第 j 個轉動副中心點所在位置。各分支球面連桿排列組合后機構形成兩個運動球心，AA 桿重合球心 O 稱為機構的定球心，AB 桿重合球心 O1 稱為機構的動球心，兩者間距 OO1 稱為機構的球心距。機構分支三與四結構中含有球面五桿閉環，可控制機構動球心 O1 的位置變化。所設計的康復機器人三維模型如圖 4 右圖所示，其康復工作原理為以機構動平臺固定足部、定平臺固定小腿，以定球心 O 擬合脛距關節運動中心，以動球心 O1 擬合距下關節運動中心進行的多自由度康復系統。驅動電機均布于定平臺上 R11、R21、R31、R41 四個轉動副處。
圖4
踝關節康復機器人
Figure4.
Ankle rehabilitation robot
2 自由度分析
自由度分析是研究一切并聯機構的基礎，采用螺旋理論[16]對廣義球面并聯機構進行自由度分析。傳統球面并聯機構一般具有一個固定轉動中心[17]，本文依據廣義球面并聯機構的雙球心特性建立其分支坐標系。如圖 5 所示，在機構一般位形下建立分支坐標系 O-XYZ，分支坐標系的 Z 軸與其動、定球心連線重合，坐標原點與定球心重合。圖 5 以分支一坐標系和分支四坐標系為例。
圖5
分支坐標系
Figure5.
Branching coordinate system
以 表示第 i 條分支運動鏈中第 j 個運動副的運動螺旋；以 表示第 i 條分支運動鏈施加于動平臺上的第 j 個約束螺旋；以 表示機構約束螺旋系中的第 i 個約束螺旋；以 表示機構運動螺旋系中的第 i 個運動螺旋。機構各分支的運動及約束螺旋系介紹如下：
分支一的運動及約束螺旋系如式（1）～（2）所示：
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由其約束螺旋系可知，分支一對動平臺僅有 1 個力約束，且沿 Z 軸方向，無力偶約束。同理，分支二與分支一結構相同，都對動平臺產生 1 個沿 Z 軸方向的力約束。
分支三的運動及約束螺旋系如式（3）～（4）所示：
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由其約束螺旋系可知，分支三對動平臺僅有 1 個力約束，且沿 Z 軸方向，無力偶約束。
分支四的運動及約束螺旋系為如式（5）～（6）所示：
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由其約束螺旋系可知，分支四對動平臺有 1 個力約束，1 個力偶約束。
四條分支施加給動平臺的 5 個約束螺旋構成動平臺的約束螺旋系如式（7）所示：
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對約束螺旋系求反螺旋可得如式（8）所示的機構運動螺旋系：
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式（1）～（8）中，l 表示雙心距 OO1 的長度，aij、bij、cij、a4r、b4r、d4r、e4r、f4r、dip、eip（i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4, 5）代表與各轉動副方向和位置相關的常量，其中上標 r 表示分支約束螺旋，上標 p 表示機構約束螺旋。
機構全部 4 個分支對動平臺共施加 5 個約束，其中沿 Z 軸方向的 4 個約束力線性相關，構成一個公共約束。該機構在任一非奇異位置處，式（1）～式（8）總保持一般性，則公共約束保持不變，其自由度是全周的。由式（8）可知該廣義球面并聯機構具有四個自由度，與本文所提踝關節 UU 型運動擬合模型的運動特性一致。因此，可以為實現踝關節康復運動提供必要的自由度。
3 位置逆解
3.1 參數設置
設 θ1、θ2、θ3、θ4 分別表示四個轉動副 R11、R21、R31、R41 的輸入角，該機構設置為部分對稱結構，如圖 4 中廣義球面并聯機構簡圖所示，以 δi（i = 0, 1, 2, ···, 10）表示機構球面連桿的角度參數。設其球面連桿角度參數為：∠R11OR21 = δ0、∠R11OR12 = ∠R12OR22 = δ1、∠R12OR13 = ∠R22OR23 = δ2、∠OO1R14 = ∠OO1R24 = δ3、∠R14O1R15 = ∠R24O1R25 = δ4、∠R31OR41 = δ5、∠R31OR32 = ∠R41OR42 = δ6、∠R13OO1 = ∠R23OO1 = ∠R32OO1 = ∠R42OO1 = δ7、∠R33O1R34 = δ8、∠R34O1R35 = δ9、∠R43O1R44 = δ10，動定平臺大小由各分支兩端桿件轉動副軸線長度決定，雙心距 OO1 為。
3.2 基于球坐標和歐拉角的機構位姿描述方法
在廣義球面并聯機構定球心處建立定坐標系 O-X0Y0Z0，在動球心處建立位置坐標系 O1-X1Y1Z1 和動坐標系 O1-X2Y2Z2。采用球坐標描述動平臺位置，歐拉角 Z-Y-X 描述動平臺姿態[18]，即從定系到位置系描述機構位置變化，從位置系到動系描述機構姿態變化。定系 X0 軸與轉動副 R11 轉動軸線重合，Y0 軸與 R31R41 角平分線重合，Z0 軸垂直定平臺。設定平臺與動平臺同軸時為機構的初始位置，初始位置時坐標系 O1-X1Y1Z1 與 O1-X2Y2Z2 重合，機構在一般位形下的位姿描述坐標系如圖 6 所示。
圖6
位姿描述坐標系
Figure6.
Position and posture description coordinate system
圖 6 中 O 點為定球心中心點，O1 點為動球心中心點，P 點為動平臺轉動中心點。α、β、γ 為歐拉角旋轉角度，φ1、φ2 為球坐標旋轉角度。
當已知旋轉角度，位置系 O1-X1Y1Z1 相對于定系 O-X0Y0Z0 的旋轉變換為繞 Z0 軸旋轉 φ1 后，再繞 Y0 軸旋轉 φ2，最后沿 Z0 方向移動距離 l，以 R 代表旋轉變換，T 代表移動變換，則其位姿矩陣 可表示如式（9）～式（10）所示：
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動系 O1-X2Y2Z2 相對于位置系 O1-X1Y1Z1 的旋轉變換為繞 Z1 軸旋轉 α 后再繞 Y1 軸旋轉 β，最后繞 X1 軸旋轉 γ，其位姿矩陣 可表示如式（11）～式（12）所示：
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機構整體位姿描述20T 可表示如式（13）所示：
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該機構具有 2 個轉動自由度，而描述動平臺姿態有 3 個變量，需先找到描述姿態的三個歐拉角之間的關系。在給定機構某個位置下，尋求姿態角關系，機構可簡化為如圖 7 所示的定位置等效模型。
圖7
定位置等效模型
Figure7.
Fixed position equivalent model
圖 7 中分支四球面桿 R43R44 約束一個轉動姿態，機構存在如式（14）所示的約束關系：
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依據式（14），可求得 γ = f (α, β) 關系。
3.3 逆解方程
本文采用封閉矢量法，根據機構幾何關系推導位置逆解。分支一與分支二結構相同，以分支一為例，R11O + OO1 + O1R15 + R15R14 + R14R13 + R13R12 + R12R11 = 0 為矢量方程，存在約束方程如式（15）～式（17）所示：
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分支三結構封閉矢量方程為 R31O + OO1 + O1R33 + R33R32 + R32R31 = 0，存在約束方程如式（18）所示：
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求輸入轉角 θ，如式（19）～式（20）所示：
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式（14）～（20）中 xij、yij、zij（i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4, 5）分別表示第 i 條分支中第 j 個轉動副中心在定坐標系下的坐標值，xn、yn、zn（n = 1, 2）表示平面 OO1Rn4Rn3 的法向量坐標。
4 工作空間分析
采用極限邊界搜索法對該并聯機構的工作空間進行分析，分別求解動球心及動平臺工作空間。給定機構經驗參數 δ0 = 60°、δ1 = 30°、δ2 = 28°、δ3 = 110°、δ4 = 20°、δ5 = 180°、δ6 = 34°、δ7 = 74°、δ8 = 22°、δ9 = 25°、δ10 = 32°、l = 30，利用數學計算軟件 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）編程求解工作空間，工作空間求解流程圖如圖 8 所示。
圖8
工作空間求解流程圖
Figure8.
Flow chart of workspace solution
圖 8 中，φ1、φ2、α、β 為機構位姿描述變量。取 α 和 β 為動平臺姿態角常量，φ1 和 φ2 為位置變量循環計算初值，求解機構動球心工作空間。其工作空間在半徑為雙心距 l 的球面上，形狀變化與布局參數 δ5 相關，范圍大小與 δ6、δ7 相關。列舉不同構型下的動球心工作空間“點集”如圖 9 所示。
圖9
動球心工作空間“點集”
Figure9.
Set of moving spherical center workspace points
取圖 8 中 φ1 和 φ2 為動平臺轉動中心的位置常量，α 和 β 為姿態角變量循環計算初值，求解機構動平臺工作空間。給定初始位置 φ1 = 0 和 φ2 = 0，動平臺工作空間在半徑為 O1P 的球面上，其范圍大小與參數 δ1、δ2、δ3、δ4、δ10 相關。分析 δ0 = 60°、δ5 = 180° 構型下機構的動平臺工作空間“點集”如圖 10 所示。
圖10
動平臺工作空間“點集”
Figure10.
Set of dynamic platform center workspace points
5 尺度優化
5.1 設計變量
以上述分析機構工作空間布局參數為例，即取 δ0 = 60°、δ5 = 180° 時，優化設計變量如式（21）所示：
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5.2 目標函數
康復機器人工作空間與踝關節實際運動空間的匹配度越高，造成二次損傷的可能性越小。文獻[19]將踝關節基本運動簡化為背伸/跖屈、內翻/外翻和內收/外展。本研究通過人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）驅動人體踝關節運動，采集踝關節運動時脛距關節及距下關節的踝關節運動范圍如表 1 所示。
表1
踝關節運動范圍
Table1.
Motion range of the ankle
以人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）擬合出的脛距關節及距下關節運動空間為目標，分別匹配機構動球心工作空間和動平臺工作空間。以兩者工作空間散點坐標差值的平方和最小為目標函數進行設計優化。目標函數如式（22）所示：
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Xi、Yi、Zi 為機構工作空間散點坐標值，xei、yei、zei 為目標工作空間散點坐標值，k 為散點數。
5.3 約束條件
① 仿生條件：考慮到個體尺寸差異，根據人類工效學列出的中國成年人人體尺寸的基礎數值[20]，依據人體足部尺寸設定機構基本參數，以 18～60 歲男性為主要參考，足長為 272 mm，足寬為 107 mm，為預留鞋墊尺寸，設定定平臺半徑為 130 mm，動平臺半徑為 70 mm，脛距關節和距下關節軸線間距[21]為 30 mm，取 l = 30 mm。
② 桿長存在限定角度條件：兩回轉副中心點距離應大于連桿寬度。
③ 機構中位置球面五桿閉環的組裝運動條件：δ6 + δ7 > 90°、δ6 ? δ7 < 90°。
依據上述機構限定條件，結合機構實際設計裝配情況，防止構件干涉可能性的增大，預設各參數取值范圍為 δ1、δ2、δ6∈［15°，50°］、δ3∈［90°，180°］、δ7∈［45°，90°］、δ4、δ10∈［9°，50°］。
5.4 優化結果
通過數學計算軟件 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）中的遺傳算法工具箱對機構尺度參數進行求解，優化參數設置分別為：種群規模 M = 100，交叉概率 Pc = 0.8，變異概率 Pm = 0.1，終止進化代數 T = 100。遺傳算法優化流程如圖 11 所示。
圖11
遺傳算法優化流程圖
Figure11.
Flow chart of genetic algorithm optimization
利用遺傳算法對目標函數進行優化計算后，得到優化后機構各桿件角度參數為 δ1 = 32°、δ2 = 28°、δ3 = 135°、δ4 = 19°、δ6 = 30°、δ7 = 75°、δ10 = 35°。采用優化后的并聯機構尺度參數，在數學計算軟件 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）中編程繪制并聯機構的工作空間點云圖，與人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）擬合出踝部實際運動空間對比，即脛距-動球心空間對比和距下-動平臺空間對比，分析優化效果，如圖 12 所示。
圖12
工作空間對比圖
Figure12.
Workspace comparison diagram
在圖 12 中，點集表示優化后的機構工作空間，光滑球面表示踝部關節目標運動空間，約束驅動角，對比優化后機構動球心工作空間與脛距關節實際運動空間及機構動平臺工作空間與距下關節實際運動空間。結果表明，優化后尺度參數在滿足機構約束條件下，生成的機構工作空間包絡踝關節目標運動空間，即機構的工作空間能夠滿足人體踝關節康復所需實際運動空間的需求。
6 結論
（1）本文基于人體踝關節生理結構及其運動特性，綜合現有踝關節康復機器人，為提高人機擬合精度，提出了一種高匹配度的四自由度廣義球面并聯機構。
（2）采用螺旋理論分析出機構的自由度特性；建立了廣義球面并聯機構的運動學位姿描述方法，采用封閉矢量法推導出位置逆解方程；根據逆解約束條件及驅動范圍，通過 MATLAB R2018b（MathWorks Inc，美國）軟件編程分析得到機構在不同構型下的動球心和動平臺工作空間。
（3）為滿足康復運動空間需求，以人體建模仿真軟件 Anybody 5.1（AnyBody Technology，丹麥）數據擬合空間與并聯機構工作空間的匹配度最高為目標，通過遺傳算法對機構關鍵尺度參數進行了優化，得到符合人體實際運動空間的機構尺度參數，對比分析表明該機構的設計能較好保障踝關節康復所需實際運動空間。
（4）針對本文所提的踝關節康復機器人，為更好地匹配踝關節康復運動，實現人機擬合精度的提高，還需進一步實驗采集踝部關節運動的實際數據，主要采集踝部脛距關節及距下關節的關聯運動數據，通過數據擬合建立其數學運動模型，將為踝關節康復運動的軌跡規劃提供理論依據。
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
