骨折是一種常見的身體損傷，其愈合過程涉及復雜的組織、細胞和分子層次生物學活動，且受力學和生物學因素的影響。近年來，數值模擬方法在探索骨折愈合機制、設計骨折固定裝置和發展新型治療策略等方面均有廣泛的應用。本文主要介紹模擬骨折愈合的數值方法及其最新的研究進展，幫助人們更好地了解骨折愈合的機制，同時也期望能對未來骨折愈合的數值模擬研究提供方向和指導。首先，介紹骨折愈合的生物學過程及其與力學刺激和生物學因素的關系，然后側重總結了用于模擬骨折愈合的數值模型（包括力學調控模型、生物學調控模型和力學生物學耦合調控模型）以及實現骨折愈合的數值建模方法（主要包括基于代理的技術和模糊邏輯控制方法），最后對骨折愈合數值模擬研究的發展方向進行初步展望。
引用本文： 付瑞森, 楊海勝. 骨折愈合的數值模擬方法. 生物醫學工程學雜志, 2020, 37(5): 930-935. doi: 10.7507/1001-5515.202004010 復制
引言
隨著世界人口老齡化問題的日益加劇和交通事故量的不斷攀升，骨折病例呈現逐年增加的趨勢[1-2]。針對骨折的治療，盡管目前臨床上已經有相對成熟的治療策略，然而據報道，仍有大約 5%～10% 的骨折病例出現延遲愈合或不完全愈合的情況[3-4]，例如大段骨缺損、骨質疏松性骨折或與遺傳因素密切相關的骨折等[5-6]。因此，深入了解骨折愈合的機制和影響因素對制定和優化骨修復的策略有重要的意義[7]。
骨折愈合的過程涉及復雜的組織、細胞和分子層次生物學活動，且受力學和生物學因素的影響[8]。通常，以患者為對象的臨床研究周期較長，而動物實驗也存在重復性差和條件不易控制等局限性。相反，利用數值模擬方法可以定量分析力學刺激或生物學因素與骨折愈合過程中組織分化、生長之間的定量關系，進而揭示骨折愈合機制并明確影響愈合效果的關鍵因素[9]。近年來，數值模擬方法在探索骨折愈合機制、設計骨折固定裝置和發展新型治療策略等方面均有廣泛的應用[7, 10]。但是，數值模擬方法也存在局限性，需要與活體實驗結合來驗證其準確性和合理性，進而指導臨床應用[7]。
本文主要介紹模擬骨折愈合的數值方法及其最新的研究進展，幫助人們更好地了解骨折愈合的機制，同時也對未來骨折愈合的數值模擬研究提供方向和指導。本文首先介紹骨折愈合的生物學過程及其與力學刺激和生物學因素的關系，然后側重總結了用于模擬骨折愈合的數值模型（包括力學調控模型、生物學調控模型和力學生物學耦合調控模型）以及實現骨折愈合的數值建模方法（主要包括基于代理的技術和模糊邏輯控制方法），最后對骨折愈合數值模擬研究的發展方向進行初步展望。
1 骨折愈合過程及關鍵調控因素
骨折愈合是一個復雜的生物學過程，愈合形式通常分為一期愈合和二期愈合[3]。一期愈合主要出現于骨折斷端間隙較小或絕對固定的條件下，骨折斷端通過膜內成骨發生直接愈合，通常沒有任何外部組織（骨痂）形成[3, 11]。當骨折斷端間隙較大且可發生相對位移，即間隙運動（interfragmentary movement，IFM）時，就會出現二期愈合[3, 8]。二期愈合是最常見的骨折愈合形式，通常分為三個階段：炎癥、修復和重塑[9, 12]。當骨折發生后，在骨折部位會出現炎癥物質的積累進而形成血腫，為之后愈合過程中的細胞活動和組織分化提供適宜的生理環境[13]。一旦骨折斷端周圍開始形成骨和軟骨，愈合即進入修復階段。新骨最初在現有皮質骨上通過膜內成骨形成。同時，骨痂在骨折斷端及其周圍通過軟骨內成骨形成。軟骨的形成通常始于皮質骨末端處并呈放射狀延伸。最終軟骨鈣化，使新骨得以長入。一旦骨痂形成骨橋接并重新連接骨折斷端，之后骨重塑過程占主導地位。組織較少的編織骨逐漸被更成熟的板層骨所取代，最終骨折部位逐漸恢復到原有的骨強度和功能[9]。在二期愈合中，力學和生物學因素均起主導作用。
1.1 力學刺激在骨折愈合過程中的作用
力學刺激在骨折愈合中發揮著重要的調控作用。骨折愈合過程中的細胞遷移、細胞/組織分化和生長因子的釋放等都受力學環境的影響[7]。Isaksson[9]指出骨痂中局部應變場（大小和分布）是調節組織分化的主要因素，而局部應變場由骨折的類型、間隙大小以及骨折端 IFM 的大小、方向和歷程決定。Wang 等[14]研究發現，較小的間隙可以加速愈合進程，而較大的間隙可能會導致愈合延遲。IFM 的大小由外部載荷大小和固定器的穩定性/剛度決定[15-16]。一些研究發現對骨折部位施加動態載荷具有促進愈合的積極作用[16-17]。Wilson 等[18]研究了固定器剛度對骨折愈合的影響并發現，持續且較高的固定剛度會產生最快和最直接的愈合，而持續較低的固定剛度會導致愈合緩慢甚至出現不愈合的現象。另外，IFM 的方向也會影響骨折愈合的進程。適度的軸向 IFM 可以刺激骨痂的形成，對愈合過程具有積極的促進作用。與軸向運動相比，間隙內的剪切運動對骨折愈合的作用效果仍存在爭議。一些研究顯示剪切運動可以起到促進愈合的積極作用，而另外一些研究認為剪切運動會抑制骨折愈合[9]。導致這些結論不一致的原因可能是由于剪切運動對時間、大小和間隙大小的敏感性不同。
1.2 生物學因素在骨折愈合過程中的作用
除了力學刺激因素外，生長因子等生物學因素對骨折愈合也具有重要的調控作用[12]。多種生長因子通過調節細胞增殖、遷移和分化等細胞活動參與骨折愈合過程，如轉化生長因子-β（transforming growth factor-beta，TGF-β）、骨形態發生蛋白（bone morphogenetic protein，BMP）和血管內皮生長因子（vascular endothelial growth factor，VEGF）等。TFG-β 在軟骨和骨組織的分化和形成中發揮關鍵作用，可以促進間充質干細胞（mesenchymal stem cell，MSC）、成纖維細胞、軟骨細胞、成骨細胞的細胞活性，并抑制破骨細胞的細胞活性[7]。BMP 是細胞遷移、分化、分裂和基質合成的生物信號。臨床上通過引入 BMP-2 和 BMP-7 可以縮短骨折愈合時間并提高骨折愈合質量[7]。VEGF 是影響血管生成的重要因子。越來越多的研究表明，骨折愈合過程中血管生成與骨修復密切相關。血液除了向細胞提供氧氣和營養物質外，也是細胞分化的“調節器”。局部組織的再生需要足夠的血液供應[19-20]。血液供應良好的部位愈合較快，反之會出現愈合速度緩慢甚至發生不愈合或缺血性骨壞死的情況[20]。除了上述生長因子外，氧供應在骨折愈合過程中也起著重要作用。低氧環境能夠促進軟骨形成，而骨組織通常在高氧環境中更容易形成[21]。
2 模擬骨折愈合的數值模型
利用數值模擬可以定量地描述骨折愈合的動態過程，并且通過探究力學和生物學因素與骨折愈合之間的關系，能夠更好地理解骨折愈合的力學生物學機制[22-23]。通常，骨折愈合的模擬是從對骨折初始部位的建模開始；利用有限元分析方法計算骨痂區域諸如應力、應變、壓力和流體速度等力學刺激參數；隨后，將這些力學刺激參數與生物學參數耦合，用于描述細胞活動和組織變化的過程；最后，經過多次迭代計算，并在每次迭代中更新組織類型、材料屬性和幾何形狀，直至達到最大迭代步或滿足終止判定條件時，迭代終止。目前常用于模擬骨折愈合的數值模型主要有三種類型：① 力學調控模型（僅考慮力學環境和愈合過程）；② 生物學調控模型（僅考慮生物學因素和愈合過程）；③ 力學生物學耦合調控模型（考慮生物學因素、力學環境和愈合過程）。本文總結了近年來骨折愈合數值模擬的最新研究，包括各自用到的調控模型、力學刺激調控參數、所考慮的生物因素、建模方法和組織分化理論等，如表 1 所示，對于相關骨折愈合數值模擬的較早研究，可參考 Borgiani 等[5]、Ghiasi 等[7]和 Isaksson[9]論文。
表1
骨折愈合數值模擬的相關研究總結
Table1.
A summary of relevant studies on numerical simulations of fracture healing
2.1 力學調控模型
力學調控模型以力學刺激為調控因子，考慮的是力學負荷對骨折愈合過程中的細胞活動和組織分化的影響。常規手段是通過有限元分析計算骨痂區域的力學刺激，利用力學調控組織分化的理論，以描述骨折愈合的動態過程。以下是常用的模擬骨折愈合過程中細胞活動和組織分化的力學調控算法及其發展歷程。
早在 1960 年，Pauwels[32]首次提出骨折部位的組織分化受力學刺激調控，他指出局部靜水壓力（hydrostatic pressure）能夠導致 MSC 分化成軟骨細胞進而形成軟骨；剪切應變可導致 MSC 分別分化為成骨細胞和成纖維細胞從而形成骨和纖維組織。近期，Lipphaus 等[25]運用該力學調控算法預測了骨折愈合過程中 IFM 和愈合所需時間等特征，發現其與臨床觀測、動物實驗和其他有限元模擬結果一致，進一步驗證了該理論。
基于 Pauwels[32]的觀點，Carter 等[33]在有限元模型中將骨痂區域的組織賦予線彈性材料屬性，利用有限元模型研究了局部應力和應變與組織分化之間的關系。他們提出了由應變和靜水壓力組合調控的組織分化理論，認為當拉伸應變較高時，低的靜水壓力導致纖維組織形成，高的靜水壓力導致纖維軟骨形成；而當拉伸應變較低時，靜水壓力較低或較高將分別導致骨和軟骨形成。之后，Carter 等[33]的力學調控組織分化的理論還被用于研究非對稱骨折和牽張成骨等的骨重建過程。然而，尚未有研究運用該理論預測骨折愈合過程中動態組織分化過程。
隨后，Claes 等[23]利用有限元模型結合動物實驗提出了類似于 Carter 等[33]的組織分化理論。他們的研究指出，低于 0.15 MPa 的靜水壓力和小于 5% 的八面體剪切應變（octahedral shear strain）可刺激膜內成骨，高于 0.15 MPa 的靜水壓力和小于 15% 的應變可刺激軟骨內成骨，這些范圍之外的壓力和應變將導致軟組織或軟骨形成。
另一方面，Prendergast 等[22]建立了雙相多孔彈性有限元模型，提出了以應變和流體速度作為影響細胞活動的力學刺激。他們認為高應變和高流體速度（fluid velocity）驅動了纖維組織的形成，中等應變和中等流體速度驅動了軟骨組織的形成，只有當上述力學刺激較低時才會導致骨組織的形成。
盡管理論有所不同，但上述力學調控算法均能夠較好地預測正常骨折愈合下的組織分化過程。雖然力學調控模型對骨折愈合有較好的預測效果，但是這種模型僅考慮力學因素對骨折愈合的影響。然而，骨折愈合是一個復雜的生物學過程，既受力學刺激的調控，又受生物學因素的影響。因此，為了建立更精確的模擬骨折愈合的數值模型，需要考慮生物學因素的影響。
2.2 生物學調控模型
除了力學環境，生物學因素在愈合過程中也起著關鍵的調控作用。在生物學調控模型中，細胞活動和基質合成受生物學因素（如血管生成、氧供應、生長因子）的調控。通常可以利用偏微分方程系統描述細胞的濃度和密度以及生長因子的時空變化過程[7]。例如，在 Vavva 等[19]的一項研究中，利用偏微分方程系統描述了細胞、生長因子和組織的時空演化，利用超聲聲壓和速度方程描述了血管網絡的發育，研究了超聲對血管生成的影響，特別是對 VEGF 轉運的影響，研究發現超聲能夠增強骨折愈合過程中血管的生成。
現有的生物學調控模型通常僅考慮生物學因素對骨折愈合過程的調控但忽略了力學刺激的影響。因此，這些模型通常無法解釋骨折愈合中的力學問題，包括骨折斷端的穩定性或 IFM 對愈合的影響。盡管如此，這些模型仍能夠較好地表征一些愈合過程，如細胞遷移或生長因子的釋放等，因為它們更多地依賴于生物學因素而非力學環境。
2.3 力學生物學耦合調控模型
上述力學調控模型和生物學調控模型都是只考慮影響骨折愈合過程中的單一力學或生物學因素的作用。力學生物學耦合調控模型旨在將兩種模型結合在一起，同時考慮力學環境和生物學因素對愈合的影響，極大地提高了數值模擬的準確性。
一方面，在生物學調控模型中加入力學刺激這一調控因素。例如，Grivas 等[29]在 Vavva 等[19]的生物學調控模型基礎上加入了局部力學環境和血管生成來考慮其對組織分化的影響。利用有限元方法計算骨痂區域力學刺激，并用偏微分方程系統模擬超聲對細胞血管生成過程的增強作用。他們的研究表明，超聲能夠促進膜內成骨和加速骨橋接。另一方面，也有研究在力學調控模型中加入了生物學因素（例如血管生成、氧供應和生長因子等）的影響。例如，Ghimire 等[24]在模型中考慮了動態載荷下細胞和生長因子的轉運的作用，以及力學刺激介導的 MSC 分化和組織生成的影響，指出了動態加載能增強 MSC 和生長因子的空間依賴性。進一步，Ganadhiepan 等[30]采用力學生物學耦合調控模型模擬了不同大小的骨折間隙、固定器鋼絲預張力和軸向載荷組合下的骨折愈合過程，并發現動態載荷能顯著提高骨折區域的細胞和生長因子的濃度，且具有時間和空間依賴性。
3 模擬骨折愈合的數值建模方法
實現以上數值調控模型，進而模擬骨折愈合過程的數值建模方法主要包括基于代理的技術（agent-based techniques）和模糊邏輯（fuzzy logic）控制方法。
在基于代理技術的建模方法中，通常將組織再生區域分成一系列的格點[25, 28-29]，用于代表細胞和細胞外基質等。這種建模方法側重于描述骨折愈合在細胞水平上的發生過程，通過求解偏微分方程來模擬骨折愈合過程中細胞遷移、血管網絡重建和其他細胞活動[5]。Checa 等[34]首次將毛細血管網絡形成的算法加入到基于代理技術的模型中，建立了一種基于局部力學環境和局部血運的力學生物學耦合調控模型。該模型預測了類似于實驗研究中發現的毛細血管網絡以及組織分化的不同模式，并發現這些模式受到毛細血管網絡形態的影響。此外，他們發現較高的機械負荷會導致血管發育減慢和骨組織形成延遲。但是，這種方法往往需要求解大量的偏微分方程，計算較耗時。
在基于模糊邏輯的建模方法中，通常將骨痂區域的每個單元視為軟組織、軟骨、編織骨和板層骨的混合體，通過有限元分析計算力學刺激，根據組織分化規則來判斷骨痂區域各單元的輸入狀態，并輸出可能的生物過程，例如：膜內成骨，軟骨內成骨等，以預測骨痂區域的組織分化。這種方法可以避免求解若干非線性偏微分方程，從而可以節省計算時間[7]。Ament 等[35]使用模糊邏輯控制方法來模擬骨折愈合的過程，將應變能密度和成骨因子作為影響組織分化的力學和生物學因素。該模型成功預測了骨痂區域首先通過軟骨橋接，隨后是間隙內的骨生長，最后是骨痂在愈合后被吸收的過程。但是基于模糊邏輯的建模方法中在初始參數設定時通常基于先前的經驗，因此需要進一步驗證，以保證其得到的結果與實際觀測一致。
此外，Pietsch 等[26]采用界面捕捉技術（interface-capturing techniques）建立了骨折愈合模型，將目標區域細分為與時間相關的非重疊子域，每個子域被賦予一種特定的組織類型（軟組織、軟骨、編織骨和板層骨）。通過跟蹤同類型組織的不同域，利用清晰的邊界進行分隔，以此來描述組織的變化。這種方法的一個優點是：它與實驗中觀察到的參數直接相關，包括組織生長速度。但是，該技術目前還未能得到臨床試驗數據的驗證[26]。
4 總結和展望
本文系統綜述了模擬骨折愈合的數值方法及相關研究的最新進展。骨折愈合的數值模擬研究極大地豐富了人們對骨折愈合機制的認識，同時也對臨床治療骨折策略的選擇和器械的設計有重要的指導意義。但是，目前大多數數值模型仍集中在模擬力學因素對骨折愈合的作用，諸如藥物治療、遺傳因素等對骨折愈合的影響尚未在模型中體現，因此需要進一步發展力學刺激和多種生物學因素耦合的骨折愈合數值模擬方法。
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
引言
隨著世界人口老齡化問題的日益加劇和交通事故量的不斷攀升，骨折病例呈現逐年增加的趨勢[1-2]。針對骨折的治療，盡管目前臨床上已經有相對成熟的治療策略，然而據報道，仍有大約 5%～10% 的骨折病例出現延遲愈合或不完全愈合的情況[3-4]，例如大段骨缺損、骨質疏松性骨折或與遺傳因素密切相關的骨折等[5-6]。因此，深入了解骨折愈合的機制和影響因素對制定和優化骨修復的策略有重要的意義[7]。
骨折愈合的過程涉及復雜的組織、細胞和分子層次生物學活動，且受力學和生物學因素的影響[8]。通常，以患者為對象的臨床研究周期較長，而動物實驗也存在重復性差和條件不易控制等局限性。相反，利用數值模擬方法可以定量分析力學刺激或生物學因素與骨折愈合過程中組織分化、生長之間的定量關系，進而揭示骨折愈合機制并明確影響愈合效果的關鍵因素[9]。近年來，數值模擬方法在探索骨折愈合機制、設計骨折固定裝置和發展新型治療策略等方面均有廣泛的應用[7, 10]。但是，數值模擬方法也存在局限性，需要與活體實驗結合來驗證其準確性和合理性，進而指導臨床應用[7]。
本文主要介紹模擬骨折愈合的數值方法及其最新的研究進展，幫助人們更好地了解骨折愈合的機制，同時也對未來骨折愈合的數值模擬研究提供方向和指導。本文首先介紹骨折愈合的生物學過程及其與力學刺激和生物學因素的關系，然后側重總結了用于模擬骨折愈合的數值模型（包括力學調控模型、生物學調控模型和力學生物學耦合調控模型）以及實現骨折愈合的數值建模方法（主要包括基于代理的技術和模糊邏輯控制方法），最后對骨折愈合數值模擬研究的發展方向進行初步展望。
1 骨折愈合過程及關鍵調控因素
骨折愈合是一個復雜的生物學過程，愈合形式通常分為一期愈合和二期愈合[3]。一期愈合主要出現于骨折斷端間隙較小或絕對固定的條件下，骨折斷端通過膜內成骨發生直接愈合，通常沒有任何外部組織（骨痂）形成[3, 11]。當骨折斷端間隙較大且可發生相對位移，即間隙運動（interfragmentary movement，IFM）時，就會出現二期愈合[3, 8]。二期愈合是最常見的骨折愈合形式，通常分為三個階段：炎癥、修復和重塑[9, 12]。當骨折發生后，在骨折部位會出現炎癥物質的積累進而形成血腫，為之后愈合過程中的細胞活動和組織分化提供適宜的生理環境[13]。一旦骨折斷端周圍開始形成骨和軟骨，愈合即進入修復階段。新骨最初在現有皮質骨上通過膜內成骨形成。同時，骨痂在骨折斷端及其周圍通過軟骨內成骨形成。軟骨的形成通常始于皮質骨末端處并呈放射狀延伸。最終軟骨鈣化，使新骨得以長入。一旦骨痂形成骨橋接并重新連接骨折斷端，之后骨重塑過程占主導地位。組織較少的編織骨逐漸被更成熟的板層骨所取代，最終骨折部位逐漸恢復到原有的骨強度和功能[9]。在二期愈合中，力學和生物學因素均起主導作用。
1.1 力學刺激在骨折愈合過程中的作用
力學刺激在骨折愈合中發揮著重要的調控作用。骨折愈合過程中的細胞遷移、細胞/組織分化和生長因子的釋放等都受力學環境的影響[7]。Isaksson[9]指出骨痂中局部應變場（大小和分布）是調節組織分化的主要因素，而局部應變場由骨折的類型、間隙大小以及骨折端 IFM 的大小、方向和歷程決定。Wang 等[14]研究發現，較小的間隙可以加速愈合進程，而較大的間隙可能會導致愈合延遲。IFM 的大小由外部載荷大小和固定器的穩定性/剛度決定[15-16]。一些研究發現對骨折部位施加動態載荷具有促進愈合的積極作用[16-17]。Wilson 等[18]研究了固定器剛度對骨折愈合的影響并發現，持續且較高的固定剛度會產生最快和最直接的愈合，而持續較低的固定剛度會導致愈合緩慢甚至出現不愈合的現象。另外，IFM 的方向也會影響骨折愈合的進程。適度的軸向 IFM 可以刺激骨痂的形成，對愈合過程具有積極的促進作用。與軸向運動相比，間隙內的剪切運動對骨折愈合的作用效果仍存在爭議。一些研究顯示剪切運動可以起到促進愈合的積極作用，而另外一些研究認為剪切運動會抑制骨折愈合[9]。導致這些結論不一致的原因可能是由于剪切運動對時間、大小和間隙大小的敏感性不同。
1.2 生物學因素在骨折愈合過程中的作用
除了力學刺激因素外，生長因子等生物學因素對骨折愈合也具有重要的調控作用[12]。多種生長因子通過調節細胞增殖、遷移和分化等細胞活動參與骨折愈合過程，如轉化生長因子-β（transforming growth factor-beta，TGF-β）、骨形態發生蛋白（bone morphogenetic protein，BMP）和血管內皮生長因子（vascular endothelial growth factor，VEGF）等。TFG-β 在軟骨和骨組織的分化和形成中發揮關鍵作用，可以促進間充質干細胞（mesenchymal stem cell，MSC）、成纖維細胞、軟骨細胞、成骨細胞的細胞活性，并抑制破骨細胞的細胞活性[7]。BMP 是細胞遷移、分化、分裂和基質合成的生物信號。臨床上通過引入 BMP-2 和 BMP-7 可以縮短骨折愈合時間并提高骨折愈合質量[7]。VEGF 是影響血管生成的重要因子。越來越多的研究表明，骨折愈合過程中血管生成與骨修復密切相關。血液除了向細胞提供氧氣和營養物質外，也是細胞分化的“調節器”。局部組織的再生需要足夠的血液供應[19-20]。血液供應良好的部位愈合較快，反之會出現愈合速度緩慢甚至發生不愈合或缺血性骨壞死的情況[20]。除了上述生長因子外，氧供應在骨折愈合過程中也起著重要作用。低氧環境能夠促進軟骨形成，而骨組織通常在高氧環境中更容易形成[21]。
2 模擬骨折愈合的數值模型
利用數值模擬可以定量地描述骨折愈合的動態過程，并且通過探究力學和生物學因素與骨折愈合之間的關系，能夠更好地理解骨折愈合的力學生物學機制[22-23]。通常，骨折愈合的模擬是從對骨折初始部位的建模開始；利用有限元分析方法計算骨痂區域諸如應力、應變、壓力和流體速度等力學刺激參數；隨后，將這些力學刺激參數與生物學參數耦合，用于描述細胞活動和組織變化的過程；最后，經過多次迭代計算，并在每次迭代中更新組織類型、材料屬性和幾何形狀，直至達到最大迭代步或滿足終止判定條件時，迭代終止。目前常用于模擬骨折愈合的數值模型主要有三種類型：① 力學調控模型（僅考慮力學環境和愈合過程）；② 生物學調控模型（僅考慮生物學因素和愈合過程）；③ 力學生物學耦合調控模型（考慮生物學因素、力學環境和愈合過程）。本文總結了近年來骨折愈合數值模擬的最新研究，包括各自用到的調控模型、力學刺激調控參數、所考慮的生物因素、建模方法和組織分化理論等，如表 1 所示，對于相關骨折愈合數值模擬的較早研究，可參考 Borgiani 等[5]、Ghiasi 等[7]和 Isaksson[9]論文。
表1
骨折愈合數值模擬的相關研究總結
Table1.
A summary of relevant studies on numerical simulations of fracture healing
2.1 力學調控模型
力學調控模型以力學刺激為調控因子，考慮的是力學負荷對骨折愈合過程中的細胞活動和組織分化的影響。常規手段是通過有限元分析計算骨痂區域的力學刺激，利用力學調控組織分化的理論，以描述骨折愈合的動態過程。以下是常用的模擬骨折愈合過程中細胞活動和組織分化的力學調控算法及其發展歷程。
早在 1960 年，Pauwels[32]首次提出骨折部位的組織分化受力學刺激調控，他指出局部靜水壓力（hydrostatic pressure）能夠導致 MSC 分化成軟骨細胞進而形成軟骨；剪切應變可導致 MSC 分別分化為成骨細胞和成纖維細胞從而形成骨和纖維組織。近期，Lipphaus 等[25]運用該力學調控算法預測了骨折愈合過程中 IFM 和愈合所需時間等特征，發現其與臨床觀測、動物實驗和其他有限元模擬結果一致，進一步驗證了該理論。
基于 Pauwels[32]的觀點，Carter 等[33]在有限元模型中將骨痂區域的組織賦予線彈性材料屬性，利用有限元模型研究了局部應力和應變與組織分化之間的關系。他們提出了由應變和靜水壓力組合調控的組織分化理論，認為當拉伸應變較高時，低的靜水壓力導致纖維組織形成，高的靜水壓力導致纖維軟骨形成；而當拉伸應變較低時，靜水壓力較低或較高將分別導致骨和軟骨形成。之后，Carter 等[33]的力學調控組織分化的理論還被用于研究非對稱骨折和牽張成骨等的骨重建過程。然而，尚未有研究運用該理論預測骨折愈合過程中動態組織分化過程。
隨后，Claes 等[23]利用有限元模型結合動物實驗提出了類似于 Carter 等[33]的組織分化理論。他們的研究指出，低于 0.15 MPa 的靜水壓力和小于 5% 的八面體剪切應變（octahedral shear strain）可刺激膜內成骨，高于 0.15 MPa 的靜水壓力和小于 15% 的應變可刺激軟骨內成骨，這些范圍之外的壓力和應變將導致軟組織或軟骨形成。
另一方面，Prendergast 等[22]建立了雙相多孔彈性有限元模型，提出了以應變和流體速度作為影響細胞活動的力學刺激。他們認為高應變和高流體速度（fluid velocity）驅動了纖維組織的形成，中等應變和中等流體速度驅動了軟骨組織的形成，只有當上述力學刺激較低時才會導致骨組織的形成。
盡管理論有所不同，但上述力學調控算法均能夠較好地預測正常骨折愈合下的組織分化過程。雖然力學調控模型對骨折愈合有較好的預測效果，但是這種模型僅考慮力學因素對骨折愈合的影響。然而，骨折愈合是一個復雜的生物學過程，既受力學刺激的調控，又受生物學因素的影響。因此，為了建立更精確的模擬骨折愈合的數值模型，需要考慮生物學因素的影響。
2.2 生物學調控模型
除了力學環境，生物學因素在愈合過程中也起著關鍵的調控作用。在生物學調控模型中，細胞活動和基質合成受生物學因素（如血管生成、氧供應、生長因子）的調控。通常可以利用偏微分方程系統描述細胞的濃度和密度以及生長因子的時空變化過程[7]。例如，在 Vavva 等[19]的一項研究中，利用偏微分方程系統描述了細胞、生長因子和組織的時空演化，利用超聲聲壓和速度方程描述了血管網絡的發育，研究了超聲對血管生成的影響，特別是對 VEGF 轉運的影響，研究發現超聲能夠增強骨折愈合過程中血管的生成。
現有的生物學調控模型通常僅考慮生物學因素對骨折愈合過程的調控但忽略了力學刺激的影響。因此，這些模型通常無法解釋骨折愈合中的力學問題，包括骨折斷端的穩定性或 IFM 對愈合的影響。盡管如此，這些模型仍能夠較好地表征一些愈合過程，如細胞遷移或生長因子的釋放等，因為它們更多地依賴于生物學因素而非力學環境。
2.3 力學生物學耦合調控模型
上述力學調控模型和生物學調控模型都是只考慮影響骨折愈合過程中的單一力學或生物學因素的作用。力學生物學耦合調控模型旨在將兩種模型結合在一起，同時考慮力學環境和生物學因素對愈合的影響，極大地提高了數值模擬的準確性。
一方面，在生物學調控模型中加入力學刺激這一調控因素。例如，Grivas 等[29]在 Vavva 等[19]的生物學調控模型基礎上加入了局部力學環境和血管生成來考慮其對組織分化的影響。利用有限元方法計算骨痂區域力學刺激，并用偏微分方程系統模擬超聲對細胞血管生成過程的增強作用。他們的研究表明，超聲能夠促進膜內成骨和加速骨橋接。另一方面，也有研究在力學調控模型中加入了生物學因素（例如血管生成、氧供應和生長因子等）的影響。例如，Ghimire 等[24]在模型中考慮了動態載荷下細胞和生長因子的轉運的作用，以及力學刺激介導的 MSC 分化和組織生成的影響，指出了動態加載能增強 MSC 和生長因子的空間依賴性。進一步，Ganadhiepan 等[30]采用力學生物學耦合調控模型模擬了不同大小的骨折間隙、固定器鋼絲預張力和軸向載荷組合下的骨折愈合過程，并發現動態載荷能顯著提高骨折區域的細胞和生長因子的濃度，且具有時間和空間依賴性。
3 模擬骨折愈合的數值建模方法
實現以上數值調控模型，進而模擬骨折愈合過程的數值建模方法主要包括基于代理的技術（agent-based techniques）和模糊邏輯（fuzzy logic）控制方法。
在基于代理技術的建模方法中，通常將組織再生區域分成一系列的格點[25, 28-29]，用于代表細胞和細胞外基質等。這種建模方法側重于描述骨折愈合在細胞水平上的發生過程，通過求解偏微分方程來模擬骨折愈合過程中細胞遷移、血管網絡重建和其他細胞活動[5]。Checa 等[34]首次將毛細血管網絡形成的算法加入到基于代理技術的模型中，建立了一種基于局部力學環境和局部血運的力學生物學耦合調控模型。該模型預測了類似于實驗研究中發現的毛細血管網絡以及組織分化的不同模式，并發現這些模式受到毛細血管網絡形態的影響。此外，他們發現較高的機械負荷會導致血管發育減慢和骨組織形成延遲。但是，這種方法往往需要求解大量的偏微分方程，計算較耗時。
在基于模糊邏輯的建模方法中，通常將骨痂區域的每個單元視為軟組織、軟骨、編織骨和板層骨的混合體，通過有限元分析計算力學刺激，根據組織分化規則來判斷骨痂區域各單元的輸入狀態，并輸出可能的生物過程，例如：膜內成骨，軟骨內成骨等，以預測骨痂區域的組織分化。這種方法可以避免求解若干非線性偏微分方程，從而可以節省計算時間[7]。Ament 等[35]使用模糊邏輯控制方法來模擬骨折愈合的過程，將應變能密度和成骨因子作為影響組織分化的力學和生物學因素。該模型成功預測了骨痂區域首先通過軟骨橋接，隨后是間隙內的骨生長，最后是骨痂在愈合后被吸收的過程。但是基于模糊邏輯的建模方法中在初始參數設定時通常基于先前的經驗，因此需要進一步驗證，以保證其得到的結果與實際觀測一致。
此外，Pietsch 等[26]采用界面捕捉技術（interface-capturing techniques）建立了骨折愈合模型，將目標區域細分為與時間相關的非重疊子域，每個子域被賦予一種特定的組織類型（軟組織、軟骨、編織骨和板層骨）。通過跟蹤同類型組織的不同域，利用清晰的邊界進行分隔，以此來描述組織的變化。這種方法的一個優點是：它與實驗中觀察到的參數直接相關，包括組織生長速度。但是，該技術目前還未能得到臨床試驗數據的驗證[26]。
4 總結和展望
本文系統綜述了模擬骨折愈合的數值方法及相關研究的最新進展。骨折愈合的數值模擬研究極大地豐富了人們對骨折愈合機制的認識，同時也對臨床治療骨折策略的選擇和器械的設計有重要的指導意義。但是，目前大多數數值模型仍集中在模擬力學因素對骨折愈合的作用，諸如藥物治療、遺傳因素等對骨折愈合的影響尚未在模型中體現，因此需要進一步發展力學刺激和多種生物學因素耦合的骨折愈合數值模擬方法。
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
