針對軟組織壓縮實驗中預加載力對其力學響應存在影響的問題，本文提出了一種基于線性加載區域的預加載力消除方法。通過對軟組織進行多種預加載力的非受限壓縮實驗，分析了預加載力對本構模型參數的影響。在預加載階段，將軟組織力學響應作為線性模型，通過將預加載階段響應考慮到整個響應過程來實現對預加載力的消除。針對非受限壓縮實驗的 5 種不同預加載力得到的力學響應，基于兩種不同的軟組織本構模型對該消除方法進行驗證，并對比預加載力消除方法和傳統方法得到的模型與實驗結果的誤差。結果顯示消除預加載力方法得到的模型誤差要明顯小于傳統方法，說明預加載力消除方法能夠在一定程度上消除預加載力對軟組織力學響應的影響，獲得更接近軟組織真實特性的本構模型參數。
引用本文： 于凌濤, 楊景, 王嵐, 李艷輝, 崔健煒. 基于線性加載區域的軟組織預加載力消除方法. 生物醫學工程學雜志, 2019, 36(4): 619-626. doi: 10.7507/1001-5515.201803021 復制
引言
隨著虛擬手術仿真系統的發展，生物軟組織的機械性能已成為研究的熱點課題，建立準確的軟組織物理模型對于虛擬手術系統的真實性具有重要的決定作用[1]。生物軟組織具有許多相似之處，如滯后效應、松弛和蠕變效應、各向異性以及非線性應力-應變關系等[2-3]。而在實驗過程中，軟組織的特性參數往往受到一些因素的影響，如測試環境、樣本來源、樣本的預加載等[4]。
拉伸和壓縮實驗作為獲取軟組織特性常用的實驗方法[5-6]，雖然已經比較成熟，但仍然存在一些不可忽略的影響因素，例如壓縮實驗中軟組織樣本與測試平臺之間的預加載力等。針對預加載的因素，Clarke 等[7]利用磁共振彈性成像（magnetic resonance elastography，MRE）估計軟組織在不同靜態預應變下的模量，結果顯示估計模量會隨著靜態預應變增加呈現非線性增長的趨勢，肝臟在 10% 預應變時估計模量可超過“真實”模量 47%。Ayyildiz 等[8]分析了不同的預壓縮應變對牛的肝臟剪切模量的影響，結果顯示剪切模量會隨著預加載的增加而增大，壓縮預應變從 1% 增加到 20% 時，剪切模量測量的相對誤差會從 0.2% 增加到 243.1%。Mattei 等[9-10]發現在預加載條件下，肝臟樣本的剛度和松弛特征時間會發生明顯變化，并提出兩種基于小應變區域和線性粘彈性區域的粘彈性參數獲取方法，但所提方法僅在低應變區域（粘彈性參數為常值的區域）條件下適用。Acosta Santamaria 等[11]針對三種不同的預接觸狀態（預加載條件不同），分析了軟組織特性參數的變化，并提出了一個新的接觸協議來近似模擬零預加載情況，但這種方法仍存在 0.01～0.02 N 的微小預加載力。Zhang 等[12]將預加載條件下的預應力作為未知量參與到軟組織粘彈性參數的獲取中，并通過仿真驗證了方法的可行性，運用該方法得到的模型參數與給定的模型參數基本一致，但這種方法僅針對應力松弛實驗，并不適用于單獨壓縮實驗中的預加載力消除。
本文提出一種消除軟組織壓縮實驗中測試平臺與樣本之間預加載力對特性參數影響的方法，通過將預加載階段的軟組織力學響應簡化為線性模型，將預加載力引起的應變考慮到軟組織本構模型中，達到消除預加載力影響的目的，以期獲得更加接近“真實”的軟組織特性參數。
1 軟組織壓縮實驗介紹
常用的軟組織壓縮實驗方法包括非受限壓縮實驗與無側滑壓縮實驗方法[13]，如圖 1 所示。在非受限壓縮實驗中，軟組織上下表面與測試平臺之間一般是通過潤滑的方式，使得兩者之間達到接近于無摩擦的情況，在壓縮過程中軟組織樣本徑向可以自由膨脹。在無側滑壓縮實驗中，軟組織樣本的上下表面通過醫用膠水或者大摩擦系數的材料與測試平臺接觸，使得在壓縮過程中樣本的上下表面不會發生側滑。
圖1
常用的軟組織壓縮方法
Figure1.
The commonly used compression methods of soft tissue
兩種實驗方法存在一個共同的問題：零應力狀態在實驗過程中很難確定，即壓縮階段的起始位置很難確定。最常用的方法就是通過施加一個微小的力來保證軟組織樣本與測試平臺之間充分接觸，并以此狀態（偽接觸狀態）作為軟組織樣本的初始狀態，這一微小的力即為軟組織壓縮過程的預加載力，如圖 2 所示。軟組織樣本的真實接觸狀態應該是力大于零的狀態，因此由于預加載力的存在導致軟組織的力學響應偏離“真實值”。本文針對非受限壓縮試驗中存在的預加載力消除方法進行研究。
圖2
軟組織接觸狀態
Figure2.
The contact states of soft tissue sample
2 預加載力消除方法
2.1 線性加載區域
雖然軟組織的力學響應整體呈現出較強的非線性，但在小變形情況下，其力學響應可以認為是線性的[14]。考慮到預加載力都比較小，因此本文中將預加載階段軟組織樣本的力學響應定義為線性加載區域，其模型可以表示為式（1）：
 |
其中 FP 為預加載力，A 為樣本的初始橫截面積，
為預加載力引起的預應力，
為預加載力引起的預應變，K 為線性加載區域軟組織模量。
將線性加載區域考慮到樣本被壓縮的力學響應中，則樣本在壓縮過程中的真實應變 
如式（2）所示。其中 
為軟組織樣本與測試平臺確定接觸后的壓縮位移，
為樣本的初始高度，
則為軟組織力學響應的偽應變。
 |
在非受限壓縮實驗中，軟組織樣本的應力與應變用來優化得到本構模型的參數，優化算法采用粒子群算法。
2.2 軟組織本構模型
為了驗證本文所提方法的適用性，采用兩種不同的模型來對所提方法的有效性進行驗證。首先，對于軟組織物理特性來說，經常利用超彈性模型來表示其力學特性，超彈性模型是基于應變能密度函數，假設 I1、I2 和 I3 分別為右 Cauchy-Green 變形張量 
的第 1、第 2 和第 3 基本不變量，則應變能密度函數可以表示為：
。變形張量 
可以表示為：
 |
 |
其中 
為 Cauchy-Green 變形張量，
為變形梯度，
為三個正交方向的伸長率，x 和 X 分別為同一點在變形前后的坐標。
由于軟組織材料一般被認為是均勻、不可壓縮的，所以有 
成立。假設 
，則 
，變形張量 
的三個張量不變量可以表示為 
，
，
。
對于 Ogden 超彈性模型[15]，其應變能密度函數可以表示為式（5），其中 
和 
為材料參數。
 |
其一階的應力應變方程如式（6）所示，其中 
和 
為模型參數，
為樣本應力，將一階 Ogden 模型作為第一種模型。
 |
根據之前的研究[16]，軟組織的物理特性也可以采用指數形式的經驗模型來表征，因此將經驗模型作為第二種模型，如式（7）所示，其中 A、B 為模型參數，
為樣本應變。
 |
針對常用的軟組織的本構模型，在本文中分別采用兩種方法得到模型參數：一種是不考慮預加載力對軟組織樣本力學響應影響的傳統方法，即忽略預加載階段，將預加載階段之后的壓縮過程作為軟組織樣本的力學響應，在這種方法中，將軟組織的偽應變作為其真實應變用于優化模型參數；另一種是消除預加載力方法，這種方法是將預加載階段簡化為線性加載階段，并將預加載力引起的預應變作為一個變量融入到本構方程中形成預加載力消除模型，在這種方法中，軟組織的應變更接近于真實應變，如圖 3 所示。
圖3
兩種不同的模型參數獲取方法
Figure3.
Two different acquisition methods of parameter of constitutive model
2.3 基于粒子群算法的優化
參數獲取方法中借助于粒子群優化算法得到相應的模型參數，粒子群算法的流程如圖 4 所示，具體步驟如下：
圖4
粒子群優化算法流程
Figure4.
The process of particle swarm optimization algorithm
步驟 1：在定義的參數空間中隨機生成多個可行解組成粒子群；
步驟 2：按照適應度的計算方法計算每個粒子在當前狀態下的適應度函數值。
步驟 3：將粒子群對應的適應度值與所有粒子最優適應度值比較，實現尋找個體極值和群體極值的過程，并更新粒子群。
步驟 4：基于新的粒子群，重復步驟 2 的過程進行新一輪的計算。直到完成設定的迭代次數或者不再出現最優解。
優化目標為本構模型和實驗結果得到的軟組織樣本的力學響應之間誤差平方和最小，如式（8）所示。為了評價兩種參數獲取方法的優劣，定義了如下參數作為評價指標：平均誤差百分比（MPE），即模型結果與實驗結果在應變過程中的誤差與實驗結果比值的平均值，如式（9）所示。式中 
為數據點個數，
為軟組織本構模型計算得到的力學響應結果，
為實驗結果。
 |
 |
3 預加載力實驗研究
3.1 樣本準備
本文選用從屠宰場得到的新鮮豬肝作為實驗對象。實驗前首先將豬肝儲存在低溫的環境（約 5℃）中，然后按照如圖 5 所示的樣本制備過程進行取樣，樣本均勻地取自于肝臟的多個部位。首先利用手術刀切割肝臟形成平整斷面，利用帶有鋒利邊緣的不銹鋼管（外徑 
mm）垂直于斷面進行取樣，利用手術刀將樣本上下表面盡量切割整齊。取樣過程中避免樣本存在大的缺陷（比如包含有大血管、上下表面明顯不平整等）。通過游標卡尺測量多個不同位置的尺寸平均值作為軟組織樣本的初始尺寸。下一個樣本的制備在之前樣本實驗結束之后進行，樣本在實驗前都先在 37℃ 左右的生理鹽水中浸泡 10 min。
圖5
軟組織樣本的制備過程
Figure5.
The preparation process of soft tissue samples
3.2 實驗設備
本文采用的壓縮實驗設備如圖 6 所示，采用直線電機驅動移動平臺壓縮軟組織樣本，直線電機步長為 0.012 7 mm。實驗過程中軟組織樣本的壓縮位移可以通過直線電機的位移獲得，樣本的加載力則通過力傳感器獲得。力傳感器采用一維的拉壓力傳感器，量程為 8.9 N，測量精度為 0.01 N。力傳感器與固定平臺固定在一起，避免在實驗過程中由于直線電機的低速抖動引起傳感器數值的波動。力傳感器的數值通過數據采集卡（USB5935）獲取。
圖6
軟組織壓縮實驗設備
Figure6.
The test equipment for soft tissue compression
由于軟組織樣本自身的重量和固定平臺的重量會導致每次實驗前都需要對力傳感器進行標定和補償，標定的方法是通過采集軟組織樣本未被壓縮時力傳感器 200 s 的數值（采樣時間 0.5 s），將采集的數值進行平均，以此均值作為力傳感器的補償值。進行 5 種預加載力（0.02、0.04、0.06、0.08、0.10 N）壓縮實驗，壓縮實驗采樣周期為 0.05 s。壓縮過程中樣本軸線與初始軸線位置之間不能有明顯的偏移。
3.3 軟組織預處理
由于軟組織的特殊性，在進行壓縮實驗前需要進行預處理，預處理的目的是使軟組織的力學響應達到一個相對穩定的狀態。針對每一個樣本，執行五次循環的加載過程，每一次加載力達到 3 N。以其中一個樣本的預處理為例，其預處理過程如圖 7 所示，從圖中可以看出從第四次循環加載開始，加載到 3 N 的軟組織樣本的加載位移基本一致，說明軟組織開始達到一個相對穩定的狀態。
圖7
軟組織樣本預處理過程
Figure7.
The preprocessing process of soft tissue sample
4 結果及分析
4.1 不同預加載力實驗結果及影響分析
五種不同的預加載力應用到壓縮過程中，采集樣本加載位移的起始時刻是從采集的軟組織樣本的受力達到規定的預加載力的時刻。在不同預加載力條件下的力學響應如圖 8 所示，從圖中可以看出，隨著預加載力的增大，軟組織的“剛度”明顯增大。在采集的樣本壓縮位移較小的區域，可以看出軟組織樣本的力學響應也存在一定的線性特征。
圖8
在不同預加載力條件下的力學響應
Figure8.
The mechanical response under five different preloading forces
為了分析不同的預加載力對軟組織本構模型參數的影響，以之前介紹的兩種模型為例進行分析。基于粒子群優化算法，直接利用不同預加載力情況下的力學響應擬合得到最優的模型參數，即采用傳統方法獲取模型參數，模型參數隨預加載力的變化如圖 9 所示。對于一階 Ogden 超彈性模型，其模型參數與預加載力之間存在一定的線性關系，
與預加載力之間呈正相關，
隨著預加載力的增大先增大，隨后逐漸減小。對于經驗模型，其參數 A 與預加載力之間存在一定的正相關性，而參數 B 則隨著預加載力的增加先減小，隨后逐漸增大。
圖9
模型參數隨預加載力的變化曲線
Figure9.
The change of model parameters under different preloading forces
4.2 預加載力消除方法分析
通過將預加載力引起的預應變考慮到本構模型中形成預加載力消除模型，對于一階 Ogden 模型，完整的預加載力消除模型如式（10）所示。在不考慮預加載力的情況下，得到的模型參數只能表示單一預加載力的情況。以預加載為 0.02 N 時的力學響應為例，利用兩種不同的參數獲取方法得到模型參數。其中不考慮預加載力方法得到的一階 Ogden 模型參數為 
，
，對于消除預加載力方法，得到的模型參數為 
0.127 kPa，
，
，參數的變化與之前分析的預加載力對本構模型參數的影響基本一致，兩種方法的對比結果如圖 10a 所示。從圖中可以看出，利用預加載力消除模型能夠同時較好地擬合相應預加載條件下的軟組織力學響應，尤其在壓縮過程的初始階段，預加載力消除方法得到的模型與實驗結果之間的誤差要明顯小于不考慮預加載力的方法。
圖10
消除預加載力方法與不考慮預加載力方法比較
a. 一階 Ogden 模型；b. 經驗模型
Figure10. The comparison between the preloading force elimination method and the method without considering preloading forcea. first-order Ogden model; b. empirical model
 |
為了驗證預加載力消除方法的模型適用性，采用經驗模型對實驗結果進行參數的優化，完整的消除預加載力模型如式（11）所示。模型參數的優化過程與一階 Ogden 模型類似，最終得到預加載力消除模型的參數為 
，
，
7.78 kPa，不考慮預加載力的模型參數為 A = 0.179 kPa，
。參數的變化與之前分析的預加載力對本構模型參數的影響也基本一致，兩種方法的對比結果如圖 10b 所示。從圖中可以看出，利用消除預加載力方法能夠同時較好地擬合相應預加載條件下的軟組織力學響應，而且消除預加載力方法得到的模型與實驗結果之間的誤差要遠小于不考慮預加載力的方法，說明本文提出的消除預加載力方法也同樣適用于經驗模型。
 |
通過對預加載力為 0.02 N 時的兩種方法進行驗證可以得到：在同一種預加載力條件下，消除預加載力方法能夠得到比不考慮預加載力方法更優的模型參數。為了驗證兩種方法得到的模型參數對其余預加載力情況的適用性，將 0.02 N 預加載力情況下得到的模型參數用到其余四種預加載力實驗中，比較兩個模型參數在對應預加載力條件下與實驗結果的誤差。
對于一階 Ogden 模型，預加載力消除方法得到的模型參數用于其他預加載力實驗時的結果如圖 11a 所示，對比兩種方法的模型與實驗結果誤差可以看出，消除預加載力方法的誤差要明顯小于不考慮預加載力的方法，證明該方法能夠較好地消除預加載力的影響。對于經驗模型，預加載力消除方法得到的模型參數用于其他預加載力實驗時的結果如圖 11b 所示，對比兩種方法的模型與實驗結果誤差可以看出，消除預加載力方法的誤差也明顯小于不考慮預加載力的方法，證明該方法同樣能夠比較好地消除預加載力的影響。通過兩種模型參數獲取方法在多種預加載力情況下的對比可以得到：提出的消除預加載力方法可以有效地消除預加載力的影響。
圖11
五種預加載力條件下預加載力消除方法與傳統方法誤差對比
a. 一階 Ogden 模型；b. 經驗模型
Figure11. Comparison of error between preloading force elimination method and traditional method under five preloading forcea. first-order Ogden model; b. empirical model
5 結論
本文針對軟組織非受限壓縮實驗中的預加載力對其本構模型參數的影響問題，分析了預加載力對參數的影響，提出一種基于線性加載區域的消除預加載力方法。這種方法通過將預加載階段簡化為線性模型，將預加載力引起的預應變考慮到本構模型中形成預加載力消除模型。利用兩種不同類型的本構模型對所提出方法進行驗證，結果顯示消除預加載力方法能夠適用于多種不同的軟組織本構模型和預加載力情況，說明該方法能夠在一定程度上消除非受限壓縮實驗中預加載力的影響，獲得更加真實的軟組織特性參數。在下一步研究工作中，會將本文所提預加載消除方法應用到無側滑壓縮實驗中，以證明該方法在無側滑壓縮實驗下的適用性。
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
引言
隨著虛擬手術仿真系統的發展，生物軟組織的機械性能已成為研究的熱點課題，建立準確的軟組織物理模型對于虛擬手術系統的真實性具有重要的決定作用[1]。生物軟組織具有許多相似之處，如滯后效應、松弛和蠕變效應、各向異性以及非線性應力-應變關系等[2-3]。而在實驗過程中，軟組織的特性參數往往受到一些因素的影響，如測試環境、樣本來源、樣本的預加載等[4]。
拉伸和壓縮實驗作為獲取軟組織特性常用的實驗方法[5-6]，雖然已經比較成熟，但仍然存在一些不可忽略的影響因素，例如壓縮實驗中軟組織樣本與測試平臺之間的預加載力等。針對預加載的因素，Clarke 等[7]利用磁共振彈性成像（magnetic resonance elastography，MRE）估計軟組織在不同靜態預應變下的模量，結果顯示估計模量會隨著靜態預應變增加呈現非線性增長的趨勢，肝臟在 10% 預應變時估計模量可超過“真實”模量 47%。Ayyildiz 等[8]分析了不同的預壓縮應變對牛的肝臟剪切模量的影響，結果顯示剪切模量會隨著預加載的增加而增大，壓縮預應變從 1% 增加到 20% 時，剪切模量測量的相對誤差會從 0.2% 增加到 243.1%。Mattei 等[9-10]發現在預加載條件下，肝臟樣本的剛度和松弛特征時間會發生明顯變化，并提出兩種基于小應變區域和線性粘彈性區域的粘彈性參數獲取方法，但所提方法僅在低應變區域（粘彈性參數為常值的區域）條件下適用。Acosta Santamaria 等[11]針對三種不同的預接觸狀態（預加載條件不同），分析了軟組織特性參數的變化，并提出了一個新的接觸協議來近似模擬零預加載情況，但這種方法仍存在 0.01～0.02 N 的微小預加載力。Zhang 等[12]將預加載條件下的預應力作為未知量參與到軟組織粘彈性參數的獲取中，并通過仿真驗證了方法的可行性，運用該方法得到的模型參數與給定的模型參數基本一致，但這種方法僅針對應力松弛實驗，并不適用于單獨壓縮實驗中的預加載力消除。
本文提出一種消除軟組織壓縮實驗中測試平臺與樣本之間預加載力對特性參數影響的方法，通過將預加載階段的軟組織力學響應簡化為線性模型，將預加載力引起的應變考慮到軟組織本構模型中，達到消除預加載力影響的目的，以期獲得更加接近“真實”的軟組織特性參數。
1 軟組織壓縮實驗介紹
常用的軟組織壓縮實驗方法包括非受限壓縮實驗與無側滑壓縮實驗方法[13]，如圖 1 所示。在非受限壓縮實驗中，軟組織上下表面與測試平臺之間一般是通過潤滑的方式，使得兩者之間達到接近于無摩擦的情況，在壓縮過程中軟組織樣本徑向可以自由膨脹。在無側滑壓縮實驗中，軟組織樣本的上下表面通過醫用膠水或者大摩擦系數的材料與測試平臺接觸，使得在壓縮過程中樣本的上下表面不會發生側滑。
圖1
常用的軟組織壓縮方法
Figure1.
The commonly used compression methods of soft tissue
兩種實驗方法存在一個共同的問題：零應力狀態在實驗過程中很難確定，即壓縮階段的起始位置很難確定。最常用的方法就是通過施加一個微小的力來保證軟組織樣本與測試平臺之間充分接觸，并以此狀態（偽接觸狀態）作為軟組織樣本的初始狀態，這一微小的力即為軟組織壓縮過程的預加載力，如圖 2 所示。軟組織樣本的真實接觸狀態應該是力大于零的狀態，因此由于預加載力的存在導致軟組織的力學響應偏離“真實值”。本文針對非受限壓縮試驗中存在的預加載力消除方法進行研究。
圖2
軟組織接觸狀態
Figure2.
The contact states of soft tissue sample
2 預加載力消除方法
2.1 線性加載區域
雖然軟組織的力學響應整體呈現出較強的非線性，但在小變形情況下，其力學響應可以認為是線性的[14]。考慮到預加載力都比較小，因此本文中將預加載階段軟組織樣本的力學響應定義為線性加載區域，其模型可以表示為式（1）：
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其中 FP 為預加載力，A 為樣本的初始橫截面積， 為預加載力引起的預應力， 為預加載力引起的預應變，K 為線性加載區域軟組織模量。
將線性加載區域考慮到樣本被壓縮的力學響應中，則樣本在壓縮過程中的真實應變 如式（2）所示。其中 為軟組織樣本與測試平臺確定接觸后的壓縮位移， 為樣本的初始高度， 則為軟組織力學響應的偽應變。
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在非受限壓縮實驗中，軟組織樣本的應力與應變用來優化得到本構模型的參數，優化算法采用粒子群算法。
2.2 軟組織本構模型
為了驗證本文所提方法的適用性，采用兩種不同的模型來對所提方法的有效性進行驗證。首先，對于軟組織物理特性來說，經常利用超彈性模型來表示其力學特性，超彈性模型是基于應變能密度函數，假設 I1、I2 和 I3 分別為右 Cauchy-Green 變形張量 的第 1、第 2 和第 3 基本不變量，則應變能密度函數可以表示為：。變形張量 可以表示為：
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其中 為 Cauchy-Green 變形張量， 為變形梯度， 為三個正交方向的伸長率，x 和 X 分別為同一點在變形前后的坐標。
由于軟組織材料一般被認為是均勻、不可壓縮的，所以有 成立。假設 ，則 ，變形張量 的三個張量不變量可以表示為 ，，。
對于 Ogden 超彈性模型[15]，其應變能密度函數可以表示為式（5），其中 和 為材料參數。
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其一階的應力應變方程如式（6）所示，其中 和 為模型參數， 為樣本應力，將一階 Ogden 模型作為第一種模型。
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根據之前的研究[16]，軟組織的物理特性也可以采用指數形式的經驗模型來表征，因此將經驗模型作為第二種模型，如式（7）所示，其中 A、B 為模型參數， 為樣本應變。
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針對常用的軟組織的本構模型，在本文中分別采用兩種方法得到模型參數：一種是不考慮預加載力對軟組織樣本力學響應影響的傳統方法，即忽略預加載階段，將預加載階段之后的壓縮過程作為軟組織樣本的力學響應，在這種方法中，將軟組織的偽應變作為其真實應變用于優化模型參數；另一種是消除預加載力方法，這種方法是將預加載階段簡化為線性加載階段，并將預加載力引起的預應變作為一個變量融入到本構方程中形成預加載力消除模型，在這種方法中，軟組織的應變更接近于真實應變，如圖 3 所示。
圖3
兩種不同的模型參數獲取方法
Figure3.
Two different acquisition methods of parameter of constitutive model
2.3 基于粒子群算法的優化
參數獲取方法中借助于粒子群優化算法得到相應的模型參數，粒子群算法的流程如圖 4 所示，具體步驟如下：
圖4
粒子群優化算法流程
Figure4.
The process of particle swarm optimization algorithm
步驟 1：在定義的參數空間中隨機生成多個可行解組成粒子群；
步驟 2：按照適應度的計算方法計算每個粒子在當前狀態下的適應度函數值。
步驟 3：將粒子群對應的適應度值與所有粒子最優適應度值比較，實現尋找個體極值和群體極值的過程，并更新粒子群。
步驟 4：基于新的粒子群，重復步驟 2 的過程進行新一輪的計算。直到完成設定的迭代次數或者不再出現最優解。
優化目標為本構模型和實驗結果得到的軟組織樣本的力學響應之間誤差平方和最小，如式（8）所示。為了評價兩種參數獲取方法的優劣，定義了如下參數作為評價指標：平均誤差百分比（MPE），即模型結果與實驗結果在應變過程中的誤差與實驗結果比值的平均值，如式（9）所示。式中 為數據點個數， 為軟組織本構模型計算得到的力學響應結果， 為實驗結果。
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3 預加載力實驗研究
3.1 樣本準備
本文選用從屠宰場得到的新鮮豬肝作為實驗對象。實驗前首先將豬肝儲存在低溫的環境（約 5℃）中，然后按照如圖 5 所示的樣本制備過程進行取樣，樣本均勻地取自于肝臟的多個部位。首先利用手術刀切割肝臟形成平整斷面，利用帶有鋒利邊緣的不銹鋼管（外徑 mm）垂直于斷面進行取樣，利用手術刀將樣本上下表面盡量切割整齊。取樣過程中避免樣本存在大的缺陷（比如包含有大血管、上下表面明顯不平整等）。通過游標卡尺測量多個不同位置的尺寸平均值作為軟組織樣本的初始尺寸。下一個樣本的制備在之前樣本實驗結束之后進行，樣本在實驗前都先在 37℃ 左右的生理鹽水中浸泡 10 min。
圖5
軟組織樣本的制備過程
Figure5.
The preparation process of soft tissue samples
3.2 實驗設備
本文采用的壓縮實驗設備如圖 6 所示，采用直線電機驅動移動平臺壓縮軟組織樣本，直線電機步長為 0.012 7 mm。實驗過程中軟組織樣本的壓縮位移可以通過直線電機的位移獲得，樣本的加載力則通過力傳感器獲得。力傳感器采用一維的拉壓力傳感器，量程為 8.9 N，測量精度為 0.01 N。力傳感器與固定平臺固定在一起，避免在實驗過程中由于直線電機的低速抖動引起傳感器數值的波動。力傳感器的數值通過數據采集卡（USB5935）獲取。
圖6
軟組織壓縮實驗設備
Figure6.
The test equipment for soft tissue compression
由于軟組織樣本自身的重量和固定平臺的重量會導致每次實驗前都需要對力傳感器進行標定和補償，標定的方法是通過采集軟組織樣本未被壓縮時力傳感器 200 s 的數值（采樣時間 0.5 s），將采集的數值進行平均，以此均值作為力傳感器的補償值。進行 5 種預加載力（0.02、0.04、0.06、0.08、0.10 N）壓縮實驗，壓縮實驗采樣周期為 0.05 s。壓縮過程中樣本軸線與初始軸線位置之間不能有明顯的偏移。
3.3 軟組織預處理
由于軟組織的特殊性，在進行壓縮實驗前需要進行預處理，預處理的目的是使軟組織的力學響應達到一個相對穩定的狀態。針對每一個樣本，執行五次循環的加載過程，每一次加載力達到 3 N。以其中一個樣本的預處理為例，其預處理過程如圖 7 所示，從圖中可以看出從第四次循環加載開始，加載到 3 N 的軟組織樣本的加載位移基本一致，說明軟組織開始達到一個相對穩定的狀態。
圖7
軟組織樣本預處理過程
Figure7.
The preprocessing process of soft tissue sample
4 結果及分析
4.1 不同預加載力實驗結果及影響分析
五種不同的預加載力應用到壓縮過程中，采集樣本加載位移的起始時刻是從采集的軟組織樣本的受力達到規定的預加載力的時刻。在不同預加載力條件下的力學響應如圖 8 所示，從圖中可以看出，隨著預加載力的增大，軟組織的“剛度”明顯增大。在采集的樣本壓縮位移較小的區域，可以看出軟組織樣本的力學響應也存在一定的線性特征。
圖8
在不同預加載力條件下的力學響應
Figure8.
The mechanical response under five different preloading forces
為了分析不同的預加載力對軟組織本構模型參數的影響，以之前介紹的兩種模型為例進行分析。基于粒子群優化算法，直接利用不同預加載力情況下的力學響應擬合得到最優的模型參數，即采用傳統方法獲取模型參數，模型參數隨預加載力的變化如圖 9 所示。對于一階 Ogden 超彈性模型，其模型參數與預加載力之間存在一定的線性關系， 與預加載力之間呈正相關， 隨著預加載力的增大先增大，隨后逐漸減小。對于經驗模型，其參數 A 與預加載力之間存在一定的正相關性，而參數 B 則隨著預加載力的增加先減小，隨后逐漸增大。
圖9
模型參數隨預加載力的變化曲線
Figure9.
The change of model parameters under different preloading forces
4.2 預加載力消除方法分析
通過將預加載力引起的預應變考慮到本構模型中形成預加載力消除模型，對于一階 Ogden 模型，完整的預加載力消除模型如式（10）所示。在不考慮預加載力的情況下，得到的模型參數只能表示單一預加載力的情況。以預加載為 0.02 N 時的力學響應為例，利用兩種不同的參數獲取方法得到模型參數。其中不考慮預加載力方法得到的一階 Ogden 模型參數為 ，，對于消除預加載力方法，得到的模型參數為 0.127 kPa，，，參數的變化與之前分析的預加載力對本構模型參數的影響基本一致，兩種方法的對比結果如圖 10a 所示。從圖中可以看出，利用預加載力消除模型能夠同時較好地擬合相應預加載條件下的軟組織力學響應，尤其在壓縮過程的初始階段，預加載力消除方法得到的模型與實驗結果之間的誤差要明顯小于不考慮預加載力的方法。
圖10
消除預加載力方法與不考慮預加載力方法比較
a. 一階 Ogden 模型；b. 經驗模型
Figure10. The comparison between the preloading force elimination method and the method without considering preloading forcea. first-order Ogden model; b. empirical model
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為了驗證預加載力消除方法的模型適用性，采用經驗模型對實驗結果進行參數的優化，完整的消除預加載力模型如式（11）所示。模型參數的優化過程與一階 Ogden 模型類似，最終得到預加載力消除模型的參數為 ，，7.78 kPa，不考慮預加載力的模型參數為 A = 0.179 kPa，。參數的變化與之前分析的預加載力對本構模型參數的影響也基本一致，兩種方法的對比結果如圖 10b 所示。從圖中可以看出，利用消除預加載力方法能夠同時較好地擬合相應預加載條件下的軟組織力學響應，而且消除預加載力方法得到的模型與實驗結果之間的誤差要遠小于不考慮預加載力的方法，說明本文提出的消除預加載力方法也同樣適用于經驗模型。
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通過對預加載力為 0.02 N 時的兩種方法進行驗證可以得到：在同一種預加載力條件下，消除預加載力方法能夠得到比不考慮預加載力方法更優的模型參數。為了驗證兩種方法得到的模型參數對其余預加載力情況的適用性，將 0.02 N 預加載力情況下得到的模型參數用到其余四種預加載力實驗中，比較兩個模型參數在對應預加載力條件下與實驗結果的誤差。
對于一階 Ogden 模型，預加載力消除方法得到的模型參數用于其他預加載力實驗時的結果如圖 11a 所示，對比兩種方法的模型與實驗結果誤差可以看出，消除預加載力方法的誤差要明顯小于不考慮預加載力的方法，證明該方法能夠較好地消除預加載力的影響。對于經驗模型，預加載力消除方法得到的模型參數用于其他預加載力實驗時的結果如圖 11b 所示，對比兩種方法的模型與實驗結果誤差可以看出，消除預加載力方法的誤差也明顯小于不考慮預加載力的方法，證明該方法同樣能夠比較好地消除預加載力的影響。通過兩種模型參數獲取方法在多種預加載力情況下的對比可以得到：提出的消除預加載力方法可以有效地消除預加載力的影響。
圖11
五種預加載力條件下預加載力消除方法與傳統方法誤差對比
a. 一階 Ogden 模型；b. 經驗模型
Figure11. Comparison of error between preloading force elimination method and traditional method under five preloading forcea. first-order Ogden model; b. empirical model
5 結論
本文針對軟組織非受限壓縮實驗中的預加載力對其本構模型參數的影響問題，分析了預加載力對參數的影響，提出一種基于線性加載區域的消除預加載力方法。這種方法通過將預加載階段簡化為線性模型，將預加載力引起的預應變考慮到本構模型中形成預加載力消除模型。利用兩種不同類型的本構模型對所提出方法進行驗證，結果顯示消除預加載力方法能夠適用于多種不同的軟組織本構模型和預加載力情況，說明該方法能夠在一定程度上消除非受限壓縮實驗中預加載力的影響，獲得更加真實的軟組織特性參數。在下一步研究工作中，會將本文所提預加載消除方法應用到無側滑壓縮實驗中，以證明該方法在無側滑壓縮實驗下的適用性。
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
