電阻抗成像逆問題具有嚴重的病態性，制約著電阻抗成像的臨床應用。正則化是提高電阻抗成像逆問題求解穩定性和圖像分辨率的重要數值手段。本文基于吉洪諾夫正則化和對角權重正則化（DWRM），提出了一種自診斷正則化方法。首先基于靈敏度分析電阻抗成像逆問題的病態性，其次運用奇異值理論對自診斷正則化方法進行分析，最后運用幾種不同正則化方法進行了電阻抗成像仿真實驗和水槽模擬實驗。實驗結果表明，本文提出的自診斷正則化方法較傳統的正則化方法提高了電阻抗成像的圖像質量和抗噪聲能力，其改進算法有效降低了電阻抗成像的逆問題病態性，有利于推動電阻抗成像的實際運用。
引用本文： 李星, 楊帆, 余曉, 田浩, 胡家元, 錢洲亥. 基于自診斷正則化的電阻抗成像逆問題研究. 生物醫學工程學雜志, 2018, 35(3): 460-467. doi: 10.7507/1001-5515.201708024 復制
引言
電阻抗成像（electrical impedance tomography，EIT）是一種無損、應用成本低、設備簡單的新興成像技術[1]，在生物體的結構功能成像、工業結構檢測與過程成像中具有誘人的前景。從 20 世紀 70 年代首次提出電阻抗成像技術到現在，電阻抗成像技術已引起了眾多學者的關注和廣泛研究[2-3]。
電阻抗成像技術實質上是一個閉域的低頻電流場重建問題。電阻抗場域中局部電阻率的變化僅僅使得電極電位發生微小的變化，體現為“軟場”效應[4]，加之電極采集的電位數據量相對于場域剖分后的網格數量是非常有限的，造成電阻抗成像逆問題的嚴重病態性。目前，大量文獻采用的是正則化數值方法來提高逆問題求解穩定性和抗噪聲能力，而尋找性能更加優良的正則化方法是進一步提高圖像分辨率、推動電阻抗成像技術進入臨床應用的重要基礎。
在電阻抗成像的逆問題研究中，較為經典的吉洪諾夫正則化（Tikhonov regularization）已得到廣泛應用[5-6]，同時，基于吉洪諾夫正則化也衍生出各種不同的正則化方法。Gonzalez 等[7]將全變差正則化運用于電阻抗成像逆問題求解中，提高了成像目標邊界和輪廓的清晰程度。Clay 等[8]通過奇異值分解并采用加權策略對不同深度靈敏度進行歸一化處理來對大腦電阻抗成像的逆問題進行研究，使得不同激勵模式的測量值對場域具有相似的敏感性，提高了成像的質量。Vauhkonen 等[9]分析比較了子空間正則化（subspace regularization method，SSRM）、對角權重正則化（diagonal weight regularization method，DWRM）和最小全變差正則化（minimum total variation method，MTVM）在成像場域先驗電阻率分布不準確的情況下的容差和抗噪聲能力。目前，大量針對電阻抗成像逆問題的研究使其存在的問題逐步得到有效的改善，圖像分辨率亦有很大的提高，然而要將電阻抗成像技術應用于臨床研究，其圖像分辨率和抗噪聲能力還需待進一步提高。
本文在現有的研究基礎上，結合傳統的吉洪諾夫正則化和對角權重正則化的各自優勢，提出一種新的電阻抗成像逆問題正則化方法。首先從電阻抗成像模型的靈敏度和欠定性方面對逆問題的病態性進行分析，同時基于奇異值理論對改進正則化方法和傳統正則化方法的數值穩定性進行理論對比分析[10]，最后通過實驗驗證，證明該正則化方法對圖像重建的分辨率和抗噪聲性能均有一定的提高。本文提出的自診斷正則化方法有效改善了電阻抗成像逆問題的病態性，對電阻抗成像技術的實際運用具有積極的推動作用。
1 電阻抗成像逆問題
1.1 數學模型
電阻抗成像逆問題是在已知測量參數——場域邊界電極的測量電位 V 的情況下，對模型參數 ρ 進行求解，即在模型參數空間中尋求一種電阻率分布 ρ 使場域邊界電極的測量電位 V 與相應的正問題計算的電位 U（ρ）之差最小，其數學模型描述如式（1）所示：
 |
如式（1）所示，是一個典型的非線性最小二乘問題。為得到極值解，令 E（ρ）對 ρ 中各元素的偏微分為 0，即：
 |
對非線性方程組式（2）采用牛頓-拉夫遜迭代法進行求解，得到迭代公式：
 |
其中，
為黑森矩陣，如式（4）所示：
 |
忽略如式（4）所示的高階項后得到：
 |
式中，
k 為電極電位對有限元剖分單元電阻率的雅克比矩陣。
1.2 逆問題病態性分析
由于電阻抗成像場域的“軟場”效應，電阻抗成像中表面電極電位對場域表面的電阻率變化比較敏感，靈敏度較高，而對場域深處的電阻率變化靈敏度很低。電阻抗成像電極電位對場域的靈敏度與場域內部的電流密度分布有密切的關系，即電流密度越小，靈敏度越低。在穩態的電流場中，電流分布滿足最低能量原理[11]，電流會通過最小阻抗和最短路徑流動。如圖 1 所示，通過有限元軟件 ANSYS Maxwell 16.0（ANSYS Inc.，美國）模擬了電阻抗成像場域同一背景和目標電阻率下，目標處于不同深度時，相對驅動模式下電流密度的分布情況，可以看出目標位于場域深處時，其內部電流密度極低，導致電阻率的變化只會引起電極電壓的極小變化。
圖1
不同目標深度的電流密度分布
Figure1.
The current density distribution of different target depths
電阻抗成像中，電極電位對電阻率的靈敏度體現在逆問題數學模型的雅克比矩陣中。對一個具有 n 個電極、u 個有限元剖分單元的電阻抗成像場域，設電極電位對電阻率靈敏度較高的單元編號為
，對電阻率靈敏度很低趨近于零的單元編號為
，測量數據為
，則雅克比矩陣可以表示為：
 |
將雅克比矩陣用前 s 列和后 u–s 列的分塊矩陣表示為：
 |
其中，由于極低的靈敏度，
。結合式（6）和式（7），則有：
 |
由矩陣理論可知：
 |
在電阻抗成像有限元模型中，電極的個數 n 一般遠小于電阻率單元數 u，因此
T
為非滿秩對稱矩陣，不可直接求逆，體現出逆問題的欠定性。即使通過循環測量有可能使矩陣滿秩，但由于
2 中的元素趨近于零，
T
也具有巨大的條件數，造成求逆的不穩定，體現出嚴重病態性。
在電阻抗成像技術中，由于模型誤差和測量誤差，測量的數據空間包含噪聲數據 δ，因此測量的數據 U = R（ρ）+ δ。如圖 2 所示，直接通過病態逆算子 R–1 求解得到的電阻率分布與原模型空間相比具有較大的偏差，造成解的不穩定和失效。因此需要通過有效的正則化方法對逆算子進行修正，運用施加正則化的逆算子
對逆問題進行求解，在保證求解穩定的前提下，使求解得到的電阻率分布與理論真實解之間的差值滿足精度要求 ε。
圖2
逆問題的病態性
Figure2.
The ill-posedness of inverse problem
2 自診斷正則化
2.1 數學模型
在電阻抗成像逆問題的求解中，正則化通過增加一定的罰項來對范數較大或偏離初始值較大的解進行懲罰[12]，從而在達到求解穩定的同時又能保證一定的空間分辨率。傳統的施加吉洪諾夫正則化的電阻抗成像逆問題模型為：
 |
本文在傳統吉洪諾夫正則化基礎之上，結合改進的對角權重正則化（又稱為半步牛頓殘差正則化），得到改進的正則化，其逆問題模型為：
 |
其中，
是迭代中上一步的迭代結果，與初始值
不同，α、β 為正則化參數，通過求解誤差與解之間的 L 曲線法得到[13]，L、Λ 為正則化矩陣。改進的正則化中 L 為單位陣，Λ 的選取基于對角權重正則化，即滿足：
 |
在改進正則化的每一步迭代過程中，迭代“初始值”采用上一步的迭代結果，且正則化矩陣與每一次迭代的雅克比矩陣密切相關，進行不斷自我修正，因此稱為自診斷正則化，與傳統正則化相比，具有收斂速度快和準確度高的特點。
2.2 數值特性分析
為分析改進正則化的數值特性，在逆問題求解中的每一次迭代區間內定義線性正向算子
，對 A 進行奇異值分解有：
 |
其中 P 是由左奇異向量構成的矩陣，
是由右奇異向量構成的矩陣，D 是由奇異值
構成的對角陣，且
。
當先驗信息
時，式（11）簡化為：
 |
把 ρ 表示成
的列向量
的線性組合，即
，同時令
，則：
'/> |
求式（15）的最小值，則 a 滿足：
'/> |
因此得到基于奇異值分解的解為：
 |
正則化處理后，通過濾波因子對算子 A 的奇異值進行了修正。因此在不同正則化方法下，一個具有 250 個奇異值的病態正向算子 A 的奇異值分布如圖 3 所示。
圖3
算子 A 的奇異值分布
Figure3.
The singular value distribution of operator A
由于病態算子的較大奇異值是模型中比較肯定和可靠的部分，較小的高階奇異值是不可靠的部分，因此需要對較大的奇異值進行較小的抑制和對較小的奇異值進行較大的修正[14]。傳統吉洪諾夫正則化的正則化矩陣 L 為單位陣，其濾波因子
對所有奇異值的修正是在同一尺度下的，對較大的低階奇異值進行了過分的抑制而對較小的高階奇異值修正程度不夠，因此不能使正則化的效果達到最優。本文的自診斷正則化濾波因子
中的
項有效地對傳統的吉洪諾夫正則化進行了改進，變尺度的奇異值修正降低了矩陣的條件數，提高了電阻抗成像的穩定性和抗噪聲能力。
運用自診斷正則化，與式（3）結合得到電阻抗成像的逆問題迭代模型為：
 |
3 實驗分析
為驗證自診斷正則化方法的成像效果，本文分別進行了吉洪諾夫正則化、對角權重正則化和自診斷正則化的仿真成像實驗和水槽模擬實驗。
3.1 分辨率對比分析
實驗采用電阻抗成像全電極模型，有限元剖分為 926 個單元、494 個節點和 16 個電極，設置目標電阻率和背景電阻率對比度 5：1，設置單個目標和多目標進行成像，得到電阻率歸一化后仿真結果如圖 4 所示。
圖4
成像結果比較
Figure4.
Comparison of the imaging results
采用圖像質量評價（image quality assessment，IQA）全參考中的均方誤差[15]（mean square error，MSE）（以符號 MSE 表示）對成像結果的圖像質量進行對比分析，即：
'/> |
式中，u 為場域剖分后的單元數（像素數），ρi、
分別為第 i 個單元設置的電阻率和電阻抗成像得到的電阻率。MSE 的值越小表示電阻抗成像對場域的實際電阻率分布重建得越準確，成像的質量越高，對如圖 4 所示的成像結果分別進行 MSE 值計算，結果如表 1 所示。
表1
不同正則化方法的成像質量評價
Table1.
Imaging quality of different regularization methods
從單目標和多目標成像結果看出，與傳統正則化的成像的結果相比，自診斷正則化具有更低的 MSE 值，保持著較高的圖像質量。
為了進一步反映本文中自診斷正則化對低對比度場域的成像效果，在上述的雙目標成像中，降低目標和背景的電阻率對比度為 3∶1、2∶1 和 1.5∶1，運用自診斷正則化得到成像結果如圖 5 所示。從成像結果中可以看出，當成像目標與場域背景的電阻率對比度降低到 2∶1 時，本文的自診斷正則化方法的成像結果仍具有較高的分辨率，但是當對比度進一步降低到 1.5∶1 以下時，成像效果惡化較嚴重。
圖5
不同對比度下的成像結果對比
Figure5.
Imaging results under different contrast
3.2 抗噪對比分析
在實際的測量中，由于硬件系統和測量環境的干擾，測量數據中的噪聲是不可避免的，為了評價改進正則化算法的抗噪聲能力，在雙目標成像仿真實驗中對測量數據施加 0.5%U 的隨機誤差，即
 |
得到的成像結果如圖 6 所示，在測量數據中混入了少量噪聲后，正則化方法不能完全消除噪聲的影響，傳統的正則化方法在噪聲污染下，圖像變得模糊，成像目標的輪廓和區域均變大，成像結果惡化較嚴重，其抗噪聲能力明顯低于自診斷正則化。
圖6
施加噪聲的成像結果比較
Figure6.
Comparison of single target imaging results with noise
在對比度 5∶1、雙目標的仿真實驗中進一步增大測量噪聲為 1.0%U、2.0%U、3.0%U，施加自診斷正則化得到成像結果如圖 7 所示，并分別計算每一次成像結果的 MSE 值，得到噪聲情況下的圖像質量惡化曲線如圖 8 所示。
圖7
不同噪聲水平下的雙目標成像
Figure7.
Imaging results of two targets under different degrees’ noise
圖8
MSE 隨著噪聲增大的惡化曲線
Figure8.
Deterioration curve of MSE with noise increase
如圖 7、圖 8 所示，當噪聲水平進一步增大后，圖像質量下降，MSE 值近似指數增大，當噪聲增加到 3%U 后，從成像結果幾乎難以分辨目標位置和大小，成像失敗，其對應的 MSE 值為 0.011 27，可以認為 3%U 是本組仿真成像中能承受的最大噪聲水平。
3.3 水槽模擬實驗
實驗室搭建了電阻抗成像的水槽模擬實驗平臺進行成像實驗，水槽周圍均勻分布 16 個電極，用飽和食鹽水（電阻率約 20 Ωm）作為成像場域背景電阻率，潮濕木棒（電阻率約 900 Ωm）作為成像目標。實驗中，采用相對驅動模式在相對電極施加 100 mA 電流，用高精度數字萬用表（Fluke8845A，美國）進行其他電極電位的采集，循環施加激勵和測量電位，將電位數據導入成像程序得到最終的成像結果。模擬實驗平臺水槽示意圖和實際實驗圖如圖 9、圖 10 所示。
圖9
水槽示意圖
Figure9.
Schematic diagram of the flume
圖10
水槽實驗及成像結果
Figure10.
Flume experiment and imaging result
從水槽實驗的結果中看出，自診斷正則化能夠實現場域的電阻率重建，潮濕木棒的輪廓大小和其與背景之間具有良好的分辨率，其 MSE = 0.014 89。實驗中的高精度測量裝置并不能完全消除硬件和環境造成的噪聲干擾，與零噪聲的仿真成像相比，水槽模擬成像結果對目標輪廓分辨還不夠理想，這也是正則化技術需要進一步研究的重點。
4 結論
本文對電阻抗成像逆問題的正則化方法進行了研究，基于吉洪諾夫正則化和對角權重正則化，對傳統的正則化方法進行改進，提出了自診斷正則化方法。與傳統的吉洪諾夫正則化相比，該自診斷正則化充分利用上一步迭代的信息對逆算子奇異值進行變尺度修正，降低雅克比矩陣的條件數，在保證求逆穩定的同時具有更高的圖像質量。成像實驗結果表明，該改進的正則化方法對電阻抗成像的圖像分辨率和抗噪聲能力均有所提高。
引言
電阻抗成像（electrical impedance tomography，EIT）是一種無損、應用成本低、設備簡單的新興成像技術[1]，在生物體的結構功能成像、工業結構檢測與過程成像中具有誘人的前景。從 20 世紀 70 年代首次提出電阻抗成像技術到現在，電阻抗成像技術已引起了眾多學者的關注和廣泛研究[2-3]。
電阻抗成像技術實質上是一個閉域的低頻電流場重建問題。電阻抗場域中局部電阻率的變化僅僅使得電極電位發生微小的變化，體現為“軟場”效應[4]，加之電極采集的電位數據量相對于場域剖分后的網格數量是非常有限的，造成電阻抗成像逆問題的嚴重病態性。目前，大量文獻采用的是正則化數值方法來提高逆問題求解穩定性和抗噪聲能力，而尋找性能更加優良的正則化方法是進一步提高圖像分辨率、推動電阻抗成像技術進入臨床應用的重要基礎。
在電阻抗成像的逆問題研究中，較為經典的吉洪諾夫正則化（Tikhonov regularization）已得到廣泛應用[5-6]，同時，基于吉洪諾夫正則化也衍生出各種不同的正則化方法。Gonzalez 等[7]將全變差正則化運用于電阻抗成像逆問題求解中，提高了成像目標邊界和輪廓的清晰程度。Clay 等[8]通過奇異值分解并采用加權策略對不同深度靈敏度進行歸一化處理來對大腦電阻抗成像的逆問題進行研究，使得不同激勵模式的測量值對場域具有相似的敏感性，提高了成像的質量。Vauhkonen 等[9]分析比較了子空間正則化（subspace regularization method，SSRM）、對角權重正則化（diagonal weight regularization method，DWRM）和最小全變差正則化（minimum total variation method，MTVM）在成像場域先驗電阻率分布不準確的情況下的容差和抗噪聲能力。目前，大量針對電阻抗成像逆問題的研究使其存在的問題逐步得到有效的改善，圖像分辨率亦有很大的提高，然而要將電阻抗成像技術應用于臨床研究，其圖像分辨率和抗噪聲能力還需待進一步提高。
本文在現有的研究基礎上，結合傳統的吉洪諾夫正則化和對角權重正則化的各自優勢，提出一種新的電阻抗成像逆問題正則化方法。首先從電阻抗成像模型的靈敏度和欠定性方面對逆問題的病態性進行分析，同時基于奇異值理論對改進正則化方法和傳統正則化方法的數值穩定性進行理論對比分析[10]，最后通過實驗驗證，證明該正則化方法對圖像重建的分辨率和抗噪聲性能均有一定的提高。本文提出的自診斷正則化方法有效改善了電阻抗成像逆問題的病態性，對電阻抗成像技術的實際運用具有積極的推動作用。
1 電阻抗成像逆問題
1.1 數學模型
電阻抗成像逆問題是在已知測量參數——場域邊界電極的測量電位 V 的情況下，對模型參數 ρ 進行求解，即在模型參數空間中尋求一種電阻率分布 ρ 使場域邊界電極的測量電位 V 與相應的正問題計算的電位 U（ρ）之差最小，其數學模型描述如式（1）所示：
|
如式（1）所示，是一個典型的非線性最小二乘問題。為得到極值解，令 E（ρ）對 ρ 中各元素的偏微分為 0，即：
|
對非線性方程組式（2）采用牛頓-拉夫遜迭代法進行求解，得到迭代公式：
|
其中，
為黑森矩陣，如式（4）所示：
|
忽略如式（4）所示的高階項后得到：
|
式中，
k 為電極電位對有限元剖分單元電阻率的雅克比矩陣。
1.2 逆問題病態性分析
由于電阻抗成像場域的“軟場”效應，電阻抗成像中表面電極電位對場域表面的電阻率變化比較敏感，靈敏度較高，而對場域深處的電阻率變化靈敏度很低。電阻抗成像電極電位對場域的靈敏度與場域內部的電流密度分布有密切的關系，即電流密度越小，靈敏度越低。在穩態的電流場中，電流分布滿足最低能量原理[11]，電流會通過最小阻抗和最短路徑流動。如圖 1 所示，通過有限元軟件 ANSYS Maxwell 16.0（ANSYS Inc.，美國）模擬了電阻抗成像場域同一背景和目標電阻率下，目標處于不同深度時，相對驅動模式下電流密度的分布情況，可以看出目標位于場域深處時，其內部電流密度極低，導致電阻率的變化只會引起電極電壓的極小變化。
圖1
不同目標深度的電流密度分布
Figure1.
The current density distribution of different target depths
電阻抗成像中，電極電位對電阻率的靈敏度體現在逆問題數學模型的雅克比矩陣中。對一個具有 n 個電極、u 個有限元剖分單元的電阻抗成像場域，設電極電位對電阻率靈敏度較高的單元編號為
，對電阻率靈敏度很低趨近于零的單元編號為
，測量數據為
，則雅克比矩陣可以表示為：
|
將雅克比矩陣用前 s 列和后 u–s 列的分塊矩陣表示為：
|
其中，由于極低的靈敏度，
。結合式（6）和式（7），則有：
|
由矩陣理論可知：
|
在電阻抗成像有限元模型中，電極的個數 n 一般遠小于電阻率單元數 u，因此
T 為非滿秩對稱矩陣，不可直接求逆，體現出逆問題的欠定性。即使通過循環測量有可能使矩陣滿秩，但由于
2 中的元素趨近于零，
T 也具有巨大的條件數，造成求逆的不穩定，體現出嚴重病態性。
在電阻抗成像技術中，由于模型誤差和測量誤差，測量的數據空間包含噪聲數據 δ，因此測量的數據 U = R（ρ）+ δ。如圖 2 所示，直接通過病態逆算子 R–1 求解得到的電阻率分布與原模型空間相比具有較大的偏差，造成解的不穩定和失效。因此需要通過有效的正則化方法對逆算子進行修正，運用施加正則化的逆算子
對逆問題進行求解，在保證求解穩定的前提下，使求解得到的電阻率分布與理論真實解之間的差值滿足精度要求 ε。
圖2
逆問題的病態性
Figure2.
The ill-posedness of inverse problem
2 自診斷正則化
2.1 數學模型
在電阻抗成像逆問題的求解中，正則化通過增加一定的罰項來對范數較大或偏離初始值較大的解進行懲罰[12]，從而在達到求解穩定的同時又能保證一定的空間分辨率。傳統的施加吉洪諾夫正則化的電阻抗成像逆問題模型為：
|
本文在傳統吉洪諾夫正則化基礎之上，結合改進的對角權重正則化（又稱為半步牛頓殘差正則化），得到改進的正則化，其逆問題模型為：
|
其中，
是迭代中上一步的迭代結果，與初始值
不同，α、β 為正則化參數，通過求解誤差與解之間的 L 曲線法得到[13]，L、Λ 為正則化矩陣。改進的正則化中 L 為單位陣，Λ 的選取基于對角權重正則化，即滿足：
|
在改進正則化的每一步迭代過程中，迭代“初始值”采用上一步的迭代結果，且正則化矩陣與每一次迭代的雅克比矩陣密切相關，進行不斷自我修正，因此稱為自診斷正則化，與傳統正則化相比，具有收斂速度快和準確度高的特點。
2.2 數值特性分析
為分析改進正則化的數值特性，在逆問題求解中的每一次迭代區間內定義線性正向算子
，對 A 進行奇異值分解有：
|
其中 P 是由左奇異向量構成的矩陣，
是由右奇異向量構成的矩陣，D 是由奇異值
構成的對角陣，且
。
當先驗信息
時，式（11）簡化為：
|
把 ρ 表示成
的列向量
的線性組合，即
，同時令
，則：
|
'/> |
求式（15）的最小值，則 a 滿足：
|
'/> |
因此得到基于奇異值分解的解為：
|
正則化處理后，通過濾波因子對算子 A 的奇異值進行了修正。因此在不同正則化方法下，一個具有 250 個奇異值的病態正向算子 A 的奇異值分布如圖 3 所示。
圖3
算子 A 的奇異值分布
Figure3.
The singular value distribution of operator A
由于病態算子的較大奇異值是模型中比較肯定和可靠的部分，較小的高階奇異值是不可靠的部分，因此需要對較大的奇異值進行較小的抑制和對較小的奇異值進行較大的修正[14]。傳統吉洪諾夫正則化的正則化矩陣 L 為單位陣，其濾波因子
對所有奇異值的修正是在同一尺度下的，對較大的低階奇異值進行了過分的抑制而對較小的高階奇異值修正程度不夠，因此不能使正則化的效果達到最優。本文的自診斷正則化濾波因子
中的
項有效地對傳統的吉洪諾夫正則化進行了改進，變尺度的奇異值修正降低了矩陣的條件數，提高了電阻抗成像的穩定性和抗噪聲能力。
運用自診斷正則化，與式（3）結合得到電阻抗成像的逆問題迭代模型為：
|
3 實驗分析
為驗證自診斷正則化方法的成像效果，本文分別進行了吉洪諾夫正則化、對角權重正則化和自診斷正則化的仿真成像實驗和水槽模擬實驗。
3.1 分辨率對比分析
實驗采用電阻抗成像全電極模型，有限元剖分為 926 個單元、494 個節點和 16 個電極，設置目標電阻率和背景電阻率對比度 5：1，設置單個目標和多目標進行成像，得到電阻率歸一化后仿真結果如圖 4 所示。
圖4
成像結果比較
Figure4.
Comparison of the imaging results
采用圖像質量評價（image quality assessment，IQA）全參考中的均方誤差[15]（mean square error，MSE）（以符號 MSE 表示）對成像結果的圖像質量進行對比分析，即：
|
'/> |
式中，u 為場域剖分后的單元數（像素數），ρi、
分別為第 i 個單元設置的電阻率和電阻抗成像得到的電阻率。MSE 的值越小表示電阻抗成像對場域的實際電阻率分布重建得越準確，成像的質量越高，對如圖 4 所示的成像結果分別進行 MSE 值計算，結果如表 1 所示。
表1
不同正則化方法的成像質量評價
Table1.
Imaging quality of different regularization methods
從單目標和多目標成像結果看出，與傳統正則化的成像的結果相比，自診斷正則化具有更低的 MSE 值，保持著較高的圖像質量。
為了進一步反映本文中自診斷正則化對低對比度場域的成像效果，在上述的雙目標成像中，降低目標和背景的電阻率對比度為 3∶1、2∶1 和 1.5∶1，運用自診斷正則化得到成像結果如圖 5 所示。從成像結果中可以看出，當成像目標與場域背景的電阻率對比度降低到 2∶1 時，本文的自診斷正則化方法的成像結果仍具有較高的分辨率，但是當對比度進一步降低到 1.5∶1 以下時，成像效果惡化較嚴重。
圖5
不同對比度下的成像結果對比
Figure5.
Imaging results under different contrast
3.2 抗噪對比分析
在實際的測量中，由于硬件系統和測量環境的干擾，測量數據中的噪聲是不可避免的，為了評價改進正則化算法的抗噪聲能力，在雙目標成像仿真實驗中對測量數據施加 0.5%U 的隨機誤差，即
|
得到的成像結果如圖 6 所示，在測量數據中混入了少量噪聲后，正則化方法不能完全消除噪聲的影響，傳統的正則化方法在噪聲污染下，圖像變得模糊，成像目標的輪廓和區域均變大，成像結果惡化較嚴重，其抗噪聲能力明顯低于自診斷正則化。
圖6
施加噪聲的成像結果比較
Figure6.
Comparison of single target imaging results with noise
在對比度 5∶1、雙目標的仿真實驗中進一步增大測量噪聲為 1.0%U、2.0%U、3.0%U，施加自診斷正則化得到成像結果如圖 7 所示，并分別計算每一次成像結果的 MSE 值，得到噪聲情況下的圖像質量惡化曲線如圖 8 所示。
圖7
不同噪聲水平下的雙目標成像
Figure7.
Imaging results of two targets under different degrees’ noise
圖8
MSE 隨著噪聲增大的惡化曲線
Figure8.
Deterioration curve of MSE with noise increase
如圖 7、圖 8 所示，當噪聲水平進一步增大后，圖像質量下降，MSE 值近似指數增大，當噪聲增加到 3%U 后，從成像結果幾乎難以分辨目標位置和大小，成像失敗，其對應的 MSE 值為 0.011 27，可以認為 3%U 是本組仿真成像中能承受的最大噪聲水平。
3.3 水槽模擬實驗
實驗室搭建了電阻抗成像的水槽模擬實驗平臺進行成像實驗，水槽周圍均勻分布 16 個電極，用飽和食鹽水（電阻率約 20 Ωm）作為成像場域背景電阻率，潮濕木棒（電阻率約 900 Ωm）作為成像目標。實驗中，采用相對驅動模式在相對電極施加 100 mA 電流，用高精度數字萬用表（Fluke8845A，美國）進行其他電極電位的采集，循環施加激勵和測量電位，將電位數據導入成像程序得到最終的成像結果。模擬實驗平臺水槽示意圖和實際實驗圖如圖 9、圖 10 所示。
圖9
水槽示意圖
Figure9.
Schematic diagram of the flume
圖10
水槽實驗及成像結果
Figure10.
Flume experiment and imaging result
從水槽實驗的結果中看出，自診斷正則化能夠實現場域的電阻率重建，潮濕木棒的輪廓大小和其與背景之間具有良好的分辨率，其 MSE = 0.014 89。實驗中的高精度測量裝置并不能完全消除硬件和環境造成的噪聲干擾，與零噪聲的仿真成像相比，水槽模擬成像結果對目標輪廓分辨還不夠理想，這也是正則化技術需要進一步研究的重點。
4 結論
本文對電阻抗成像逆問題的正則化方法進行了研究，基于吉洪諾夫正則化和對角權重正則化，對傳統的正則化方法進行改進，提出了自診斷正則化方法。與傳統的吉洪諾夫正則化相比，該自診斷正則化充分利用上一步迭代的信息對逆算子奇異值進行變尺度修正，降低雅克比矩陣的條件數，在保證求逆穩定的同時具有更高的圖像質量。成像實驗結果表明，該改進的正則化方法對電阻抗成像的圖像分辨率和抗噪聲能力均有所提高。
