基于雙稀疏模型的壓縮感知核磁共振圖像重構_《生物醫學工程學雜志》

作者：

樊曉宇 ^1,2 ,  練秋生 ¹

1. 燕山大學信息科學與工程學院電子與通信工程系（河北秦皇島 ?066004）;
2. 安徽科技學院電氣與電子工程學院電子工程系（安徽滁州 233100）;

關鍵詞：

核磁共振圖像壓縮感知綜合稀疏模型稀疏變換模型圖像重構

DOI：

10.7507/1001-5515.201607006

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摘要 全文 圖表 視頻 參考文獻 施引文獻 補充材料

醫學核磁共振圖像重構技術是核磁共振成像領域的關鍵技術之一。壓縮感知理論指出利用核磁共振圖像的稀疏性能夠從高度欠采樣的觀測值中精確重構圖像。如何利用圖像的稀疏性先驗以及更多的先驗知識來提高重構質量成為核磁共振成像的一個關鍵問題。本文根據綜合稀疏模型和稀疏變換模型的相互補充作用，利用核磁共振圖像在這兩種模型下的稀疏性先驗，將結合了綜合稀疏模型與稀疏變換模型的雙稀疏模型應用于壓縮感知核磁共振圖像的重構系統，提出了一種融合雙字典學習的自適應圖像重構模型。本文充分利用了圖像在自適應綜合字典學習和自適應變換字典學習下的兩種稀疏先驗知識，使用交替迭代最小化法對提出的模型進行分階段求解，求解過程中引入了綜合 K-奇異值分解（K-SVD）算法和變換 K-SVD 算法。通過實驗驗證，與目前較好的核磁共振圖像重構模型對比，本文提出模型的圖像重構效果更好、收斂速度更快，且具有更好的魯棒性。

引用本文： 樊曉宇, 練秋生. 基于雙稀疏模型的壓縮感知核磁共振圖像重構. 生物醫學工程學雜志, 2018, 35(5): 688-696. doi: 10.7507/1001-5515.201607006 復制

引言

醫學核磁共振（magnetic resonance，MR）圖像是采用核磁共振成像（magnetic resonance imaging，MRI）技術利用人體中氫原子核的能態變化，產生不同電磁波信號，經處理而得到人體組織的立體圖像^[1]。醫學 MR 圖像重構技術是指利用某種方法更新 MR 圖像傅里葉頻域空間（K-空間）數據，再將數據表示的頻域信號進行傅里葉逆變換，從而得到以空間位置表示的 MR 圖像^[1]。隨著醫學圖像處理技術的迅速發展，MR 圖像重構技術已經被廣泛應用于醫學臨床檢測，成為醫療診斷的重要手段。在實際醫療應用中，若要得到高質量 MR 圖像，傳統方法是按照香農-奈奎斯特采樣方式進行數據采樣。然而，傳統方法獲得 MR 圖像需要大量的采樣數據，導致對 MR 圖像的數據采樣設備和存儲設備提出了很高的要求。如何在采樣數據盡量少、采樣時間盡量短的前提下，實現 MR 圖像的精確重構是亟待解決的問題。MR 圖像的精確重構不僅用于輔助醫生診斷疾病，也是 MR 圖像分析和可視化的基礎。

2006 年，由 Donoho^[2]和 Candes 等^[3]提出的壓縮感知（compressed sensing，CS）理論指出，若信號可壓縮或在某個變換域稀疏，可用一個與變換基不相關的觀測矩陣將高維信號影射到低維空間，再通過求解一個優化問題就可從少量的投影中以高概率重構出原信號。CS 理論已經被廣泛應用于多種生物醫學成像系統和物理成像系統^[4-8]，如計算機斷層成像、超聲醫學成像和單像素相機成像等。目前，CS 已經應用到核磁共振快速成像中^[9-10]，基于 CS 的 MR 圖像重構（compressed sensing magnetic resonance imaging，CS-MRI）可通過少量的采樣數據重構出高質量的 MR 圖像，明顯縮短了對患者的磁共振掃描時間，加快了 MRI 處理過程，提高了工作效率。CS 對 MR 圖像的壓縮和采樣是同時進行的，在一定程度上突破了 MRI 掃描速度慢的瓶頸。于是，如何利用稀疏正則約束，從 K-空間高度欠采樣的數據中壓縮感知重構 MR 圖像引起了學者們的極大興趣。2007 年，Lustig 等^[11]首次將 CS 應用到 MRI 中，將欠采樣 MR 圖像重構問題表示為 l₀ 范數最小化問題，通過貪婪算法求解。然而，l₀ 范數最小化問題是一個 NP-hard 問題。因此，Lusting 將求解 l₀ 范數松弛為求解 l₁ 范數問題，采用共軛梯度法求解。為了提高圖像重構速度和精度，文獻[11]中提出將全變差應用于 CS-MRI 重構模型，采用兩個正則條件作為約束，加強了 MR 圖像的稀疏性以保證高質量的圖像重構。然而，以上算法的稀疏先驗是針對整幅圖像，且字典或變換是事先設計好的，對 MR 圖像的自適應能力較差，導致在圖像采樣率較低的情況下，圖像重構效果較差。為了增強算法的自適應性，隨著 CS 理論的發展和字典學習算法的提出，字典學習算法被應用于 CS-MRI 中，提出了多種基于自適應字典學習的 MR 圖像重構算法。2011 年，Ravishankar 等^[12]提出的基于綜合 K-奇異值分解（K-singular value decomposition，K-SVD）算法的自適應綜合字典學習 MRI（dictionary learning MRI，DLMRI）重構模型，是經典的 CS 與綜合字典學習相結合的 MR 圖像重構模型，實現了較好的圖像重構效果。然而，DLMRI 的綜合稀疏編碼階段消耗時間較長。2013 年，Ravishankar 等^[13]將 MR 圖像進行自適應稀疏變換，提出了自適應稀疏變換與 MR 圖像重構同時進行的圖像重構模型（transform learning MRI，TLMRI），實現了較好的圖像重構效果，同時改進了圖像重構耗時較長的問題。2015 年，在 TLMRI 重構模型的基礎上，Ravishankar 等^[14]將盲壓縮感知應用到 MR 圖像重構，實現了較好的 MR 圖像重構效果。

本文主要圍繞自適應 MR 圖像重構模型展開研究。為了進一步改善 MR 圖像重構質量，加強重構模型的收斂性和魯棒性，本文利用基于變換 K-SVD（transform K-SVD，TK-SVD）算法的稀疏變換模型，將自適應綜合字典學習的綜合稀疏模型與基于 TK-SVD 算法的稀疏變換模型相融合應用于 MR 圖像重構。利用 MR 圖像在自適應綜合字典學習和自適應變換字典學習下的稀疏表示，提出一種基于自適應字典學習的雙稀疏 CS-MRI 重構模型（double sparse transform K-SVD CS-MRI model，DTKMRI）。為了體現 DTKMRI 模型的有效性與優越性，本文將 DLMRI 和 TLMRI 圖像重構模型作為對比模型，將其 MR 圖像重構實驗結果與 DTKMRI 模型進行比較。本文提出的 DTKMRI 模型是利用交替迭代最小化法^[12]有效地進行求解，求解過程中引入了 TK-SVD 算法。同時，為了減少計算量，本文將圖像分塊思想^[15-16]應用到 DTKMRI 模型。

1 基于雙稀疏模型的壓縮感知 MR 圖像重構

1.1 基于綜合稀疏模型的 MR 圖像重構

若已知

式中，為 MR 圖像向量；為觀測矩陣；為加性高斯白噪聲；為含噪聲的測量值。多數情況下，因此要從含噪聲測量值中重構出原圖像 x 是一個病態問題。通常，從病態問題的多解中找到最近似 x 的解需要利用稀疏表示這一先驗知識。稀疏表示是圖像處理領域廣泛應用的信號模型，而綜合稀疏模型是較為成熟的稀疏表示模型。綜合稀疏模型中，對于圖像 x，可近似為綜合字典中少量原子的線性組合，即

式中，為 x 在下的綜合稀疏系數，若僅有個非零值，稱的稀疏度為 K。

基于綜合稀疏模型的 MR 圖像重構^[12]可表示為

式中，表示從 x 中取第 j 個局部塊 R_jx 的操作算子；α_j 是圖像塊 R_jx 在 D 下的綜合稀疏系數，α 由 α_j 構成；為部分采樣傅里葉變換矩陣；y 是在矩陣下的 K-空間觀測值；λ 為正則化參數；和項為第 j 個圖像塊利用綜合字典進行稀疏表示，其中項表示綜合字典對 R_jx 的稀疏逼近程度。式（3）的求解過程中利用了綜合 K-SVD 算法^[12]，其中涉及到求解 l₀ 范數非凸優化問題。通常，l₀ 范數問題求解方法包括正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）和子空間追蹤等。

1.2 基于 TK-SVD 算法的稀疏變換模型

隨著解析稀疏模型的發展，出現了一些對圖像進行解析稀疏表示的解析字典學習算法^[17-21]，其中典型的是解析 K-SVD 算法。最近，稀疏變換模型受到一些學者的青睞，該模型與解析稀疏模型結構相似，然而稀疏變換模型是在稀疏變換域中求解代價函數^[22]。稀疏變換模型可表示為

式中，為稀疏變換字典；為 x 在 W 下的稀疏變換系數，若 β 中僅有個非零值，稱 β 的稀疏度為 s。

Eksioglu 等^[23]提出了將自適應變換字典學習與解析 K-SVD 算法結合的 TK-SVD 算法，該算法在噪聲較大時圖像處理效果較好，并能降低算法復雜度。TK-SVD 算法的優化問題為

式中，（m = 1，2，，P）是 W 的第 m 行；β_j 是第 j 個 R_jx 的稀疏變換系數，β 由 β_j 構成；表示 W 各行互相關，其中上標 T 表示矩陣轉置操作；δ 為常數；η 為正則化參數；范數約束和互相關約束避免了 W 的平凡解；項為第 j 個圖像塊的稀疏誤差。式（5）的求解過程包括兩個階段：第一階段為稀疏變換編碼，固定 W，求解 β，其優化問題為

式（6）可用迭代硬閾值法求解。第二階段為更新 W，固定 β，求解 W 的最小化問題為

式中，忽略了約束條件 ^[23]。W 的求解可通過更新 W 的第 m（m = 1，2，，P）行 w^m 來實現^[23]，將求解式（7）近似等效為在 m = 1，2，，P 時依次求解下式：

式中，R_jx_m 是 R_jx 選擇部分行的子向量，且 R_jx 中行的選擇符合 β_j 中 0 的位置。式（8）的優化解由 R_jx_m 的奇異值分解獲得。由于 TK-SVD 算法中求解 β 的過程得以簡化，使 W 的更新速度更快，所以 TK-SVD 算法兼有稀疏變換學習與解析 K-SVD 算法的優勢^[23]。

1.3 基于雙稀疏模型的 MR 圖像重構

利用更多的稀疏先驗約束來提高圖像的重構質量是本文對 CS-MRI 重構模型研究的重點。綜合稀疏模型是 CS 領域典型的圖像稀疏表示模型，而稀疏變換模型是在稀疏變換域表示圖像的模型，對于圖像重構而言這兩種模型具有一定的相互補充作用。為進一步提高 MR 圖像重構質量，本文根據綜合稀疏模型和稀疏變換模型的相互補充作用，利用 MR 圖像在自適應綜合字典與自適應變換字典下的兩種稀疏先驗知識，將基于綜合稀疏模型與稀疏變換模型的雙稀疏模型應用于 CS-MRI 重構，提出一種新的融合自適應字典學習的雙稀疏 MR 圖像重構模型，即 DTKMRI 模型。在綜合字典 D 和變換字典 W 都進行自適應學習的情況下，本文對 DTKMRI 模型利用交替迭代最小化法進行求解，該求解過程中引入了綜合 K-SVD 算法進行綜合字典的自適應學習和 TK-SVD 算法進行變換字典的自適應學習。CS 系統中，對整幅 MR 圖像進行稀疏表示的計算復雜度很高^[20]，因此將圖像分成大小相同的重疊圖像塊，然后對圖像塊進行分塊稀疏表示，可降低對系統硬件的要求。

DTKMRI 模型的優化問題為

式中，x 為待重構的 MR 圖像，圖像分塊大小為；D 為自適應綜合字典，（q = 1，2，，L）為 D 的第 q 個原子，范數約束用于避免 D 存在平凡解；η₁、η₂、η₃、η₄、τ 為數據保真項與各正則項的權衡因子；為 K-空間的數據保真項，用以保證圖像在欠采樣下的重構精度；和項為第 j 個圖像塊利用變換字典進行稀疏表示，其中項為第 j 個圖像塊的稀疏誤差，它表示圖像塊在變換域的稀疏與圖像塊實際稀疏的偏離程度；互相關約束，用于避免自適應變換字典 W 存在平凡解。式（9）是利用自適應綜合字典 D 和自適應變換字典 W 下圖像的稀疏表示來保證圖像重構誤差最小，實現對 MR 圖像的精確重構。

本文利用交替迭代最小化法求解式（9），求解過程包括三個階段：首先，固定 MR 圖像 x，利用綜合 K-SVD 算法更新綜合稀疏系數 α 與自適應綜合字典 D；其次，固定 x，利用 TK-SVD 算法更新稀疏變換系數 β 與自適應變換字典 W；最后，固定 α、β、D 與 W，利用最小二乘法更新 x。其具體求解過程為：

第一階段固定圖像 x，對于第 k 次迭代，更新 α^k 與 D^k 的優化問題為

式（10）的求解分為兩步，即更新綜合稀疏系數 α^k 和更新自適應綜合字典 D^k。第一步更新 α^k 時，固定 D^k^–1，此時表達式為

式（11）為 l₀ 范數非凸優化問題，本文使用 OMP 算法進行求解。第二步是根據式（11）求得的 α^k，更新 D^k，其表達式為

本文利用綜合 K-SVD 算法求解式（12）。

第二階段為固定 x，更新 β^k 與 W^k，該優化問題表示為

式（13）與式（5）相同，可利用 TK-SVD 算法求解^[23]，其求解過程分為兩步：第一步為固定 W^k^?1，更新稀疏變換系數 β^k，其表達式為

式（14）與式（6）的形式相同，可采用迭代硬閾值法求解。第二步是根據式（14）求得的 β^k，更新自適應變換字典 W^k，其表達式為

式（15）可采用與式（7）相同的方法求解，即奇異值分解進行字典 W^k 更新。

第三階段為固定 α^k、D^k、β^k 與 W^k，更新 MR 圖像 x，該優化問題為

求解式（16）可獲得 MR 圖像 x 的更新。式（16）是關于 l₂ 范數的最小二乘問題，可得其解析解為

式中，F 與 F^-1 分別為傅里葉正變換和逆變換矩陣；是對角陣；為對角陣，其對角元素由 0 或 1 構成；為零填充的傅里葉域采樣值^[12]。DTKMRI 的具體求解步驟如表 1 所示。

表1 DTKMRI 求解步驟 Table1. DTKMRI solution procedure

表選項

下載CSV

輸入：采樣值 y，稀疏度 s、K，參數 η₁、η₂、η₃、η₄、τ，字典更新次數 J
（1）初始化：x⁰ = ，W⁰，D⁰
（2）　 While 終止條件不滿足，do
（3）　　 Fork = 1:J
（4）　　　根據式（11）更新 α^k；
（5）　　　根據式（14）更新 β^k；
（6）　　　根據式（12）更新 D^k；
（7）　　　根據式（15）更新 W^k；
（8）　　 End for
（9）　根據式（17）更新 MR 圖像 x；
（10） End while

2 MR 圖像重構及結果分析

為了驗證 DTKMRI 模型對 MR 圖像重構的有效性，采用 BMR2、Brain、t2axialbrain、foot-012、Pulmonaryangio 和 herniateddisclspine 六幅大小均為的 MR 圖像作為測試圖像進行重構實驗，如圖 1 所示（實驗圖像在網址 http://www3.americanradiology.com/pls/web1/wwimggal.vmg 上獲得）。實驗中，重構模型的算法迭代 30 次；MR 圖像分塊大小為 8 × 8；觀測噪聲為隨機復高斯白噪聲，噪聲標準偏差 σ 為 15、25 或 35；自適應綜合字典 D 和自適應變換字典 W 大小均為；s = 10，K = 10；圖像分塊的步長為一個像素，即 r = 1；算法每次迭代時，自適應字典均更新 2 次（J = 2），用于字典學習的圖像塊數量為 12 800。實驗中采用峰值信噪比（peak signal to noise ratio，記作 PSNR）和高頻誤差范數（high-frequency error norm，記作 HFEN）作為衡量模型性能的指標^[12]，其中 HFEN 是衡量重構圖像邊緣結構特性的指標，HFEN 值越小，圖像重構的邊緣結構特性越好。本文在相同噪聲水平、同一采樣模式的相同采樣率下對每幅圖像進行 10 次重構實驗，然后計算重構圖像 PSNR 和 HFEN 的均值和標準差（standard deviation，記作 Std）作為每個重構實驗的最終結果。經過大量實驗驗證，DTKMRI 模型在參數為 η₁ = 1、η₂ = 0.01、η₃ = 0.01、η₄ = 0.01、δ = 0.05 時，MR 圖像重構實驗可得到較好的實驗效果。實驗中，針對不同的采樣率對參數 τ 進行調節。

圖1 MR 測試圖像

a. BMR2；b. Brain（圖中白框標注部分為圖 3 放大區域）；c. t2axialbrain；d. foot-012；e. Pulmonaryangio；f. herniateddisclspine

Figure1. MR test images

a. BMR2; b. Brain (the part in the white rectangle is the magnified region of Fig.3); c. t2axialbrain; d. foot-012; e. Pulmonaryangio; f. herniateddisclspine

圖選項

下載全尺寸圖像

下載幻燈片

為了驗證 DTKMRI 模型在不同采樣率下的圖像重構效果，分別采用 2D 變密度隨機采樣（采樣率 R 分別為 5% 和 10%）和偽射線采樣（采樣線條數 l 分別為 55 和 80）兩種采樣模式對六幅 MR 測試圖像進行重構實驗。實驗中，噪聲標準偏差選擇σ = 35，將實驗結果 PSNR 與 HFEN 的均值分別與 Zero-filling、DLMRI^[12]和 TLMRI^[14]三種對比模型的實驗結果比較，如表 2 所示。為了對比的公平性，對比模型的參數進行了調節，使對比模型能達到最佳的 MR 圖像重構性能。文獻[12]提出的 DLMRI 是基于自適應綜合字典學習的壓縮感知 MR 圖像重構，文獻[14]提出的 TLMRI 是基于自適應變換字典學習的盲壓縮感知 MR 圖像重構，它們是近幾年壓縮感知 MR 圖像重構領域較好的模型。從表 2 的數據可知，DTKMRI 模型重構圖像 PSNR 和 HFEN 的均值在兩種采樣模式、不同采樣率下均優于對比模型，提高了 MR 圖像重構質量和改善了重構圖像的邊緣結構特性，圖像總體重構效果較好。以 t2axialbrain 圖像為例，表 2 中 2D 變密度隨機采樣在采樣率為 10% 的情況下，DTKMRI 圖像重構 PSNR 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 分別提高了 1.62 dB 和 2.65 dB，DTKMRI 圖像重構 HFEN 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 分別降低了 0.51 和 0.81；偽射線采樣在采樣線條數為 80 的情況下，DTKMRI 圖像重構 PSNR 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 分別提高了 1.27 dB 和 2.59 dB，DTKMRI 圖像重構 HFEN 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 分別降低了 0.45 和 0.62。

表2 不同采樣方式在不同采樣率下的圖像重構 PSNR（dB）與 HFEN 比較（σ = 35） Table2. Comparisons of image reconstruction PSNR (dB) and HFEN using different sampling modes in various sampling rates (σ = 35)

表選項

下載CSV

圖像	模型	2D 變密度隨機采樣		偽射線采樣
		R = 5%	R = 10%	l = 55	l = 80
		PSNR ± Std/HFEN ± Std	PSNR± Std/HFEN ± Std	PSNR ± Std/HFEN ± Std	PSNR ± Std/HFEN ± Std
BMR2	Zero-filling	19.38 ± 0.17/4.75 ± 0.02	22.79 ± 0.08/3.90 ± 0.01	23.24 ± 0.23/5.16 ± 0.01	26.57 ± 0.18/4.37 ± 0.01
	DLMRI	33.57 ± 0.04/2.16 ± 0.02	34.29 ± 0.02/1.88 ± 0.01	31.98 ± 0.03/2.62 ± 0.02	32.29 ± 0.03/2.23 ± 0.01
	TLMRI	33.19 ± 0.03/2.19 ± 0.01	35.07 ± 0.04/1.65 ± 0.01	32.36 ± 0.03/2.75 ± 0.01	34.27 ± 0.05/2.11 ± 0.02
	DTKMRI	35.74 ± 0.02/1.55 ± 0.01	37.14 ± 0.03/1.21 ± 0.01	34.27 ± 0.03/2.10 ± 0.01	35.95 ± 0.04/1.69 ± 0.02
Brain	Zero-filling	16.55 ± 0.03/6.52 ± 0.01	18.70 ± 0.08/5.35 ± 0.02	20.18 ± 0.09/7.24 ± 0.01	21.94 ± 0.19/6.14 ± 0.01
	DLMRI	31.35 ± 0.05/2.78 ± 0.02	33.02 ± 0.03/2.28 ± 0.02	29.59 ± 0.02/3.71 ± 0.01	30.96 ± 0.03/3.01 ± 0.02
	TLMRI	31.17 ± 0.06/2.89 ± 0.02	33.63 ± 0.03/1.91 ± 0.01	29.08 ± 0.04/4.12 ± 0.02	32.01 ± 0.02/2.92 ± 0.01
	DTKMRI	33.12 ± 0.04/2.01 ± 0.01	35.80 ± 0.03/1.19 ± 0.02	31.11 ± 0.04/2.85 ± 0.02	33.57 ± 0.02/2.28 ± 0.02
t2axialbrain	Zero-filling	20.10 ± 0.13/5.24 ± 0.01	22.30 ± 0.08/4.36 ± 0.01	24.64 ± 0.01/5.79 ± 0.01	26.22 ± 0.04/5.09 ± 0.01
	DLMRI	32.45 ± 0.03/2.82 ± 0.02	33.41 ± 0.03/2.21 ± 0.02	30.36 ± 0.03/3.50 ± 0.02	31.28 ± 0.03/2.95 ± 0.02
	TLMRI	32.54 ± 0.04/2.63 ± 0.02	34.44 ± 0.02/1.91 ± 0.01	30.77 ± 0.03/3.64 ± 0.02	32.60 ± 0.04/2.78 ± 0.02
	DTKMRI	34.41 ± 0.03/1.92 ± 0.02	36.06 ± 0.02/1.40 ± 0.01	32.05 ± 0.02/3.16 ± 0.01	33.87 ± 0.03/2.33 ± 0.02
foot-012	Zero-filling	14.60 ± 0.03/7.31 ± 0.01	17.65 ± 0.03/5.95 ± 0.02	20.48 ± 0.13/8.08 ± 0.01	21.82 ± 0.21/7.04 ± 0.02
	DLMRI	29.68 ± 0.03/3.60 ± 0.02	30.83 ± 0.05/2.67 ± 0.02	26.91 ± 0.03/5.47 ± 0.03	28.31 ± 0.03/4.29 ± 0.03
	TLMRI	30.11 ± 0.03/3.33 ± 0.02	31.90 ± 0.03/2.29 ± 0.01	27.02 ± 0.03/5.55 ± 0.03	29.65 ± 0.02/3.93 ± 0.01
	DTKMRI	30.97 ± 0.03/2.60 ± 0.02	32.91 ± 0.02/1.92 ± 0.01	28.41 ± 0.03/4.22 ± 0.02	31.18 ± 0.02/2.76 ± 0.01
Pulmonaryangio	Zero-filling	19.84 ± 0.07/3.96 ± 0.01	23.83 ± 0.07/3.28 ± 0.01	25.97 ± 0.06/4.32 ± 0.01	27.63 ± 0.15/3.73 ± 0.01
	DLMRI	33.38 ± 0.04/2.46 ± 0.02	34.27 ± 0.03/2.18 ± 0.01	30.55 ± 0.03/3.14 ± 0.02	31.98 ± 0.03/2.60 ± 0.02
	TLMRI	34.14 ± 0.04/2.05 ± 0.02	35.38 ± 0.03/1.81 ± 0.01	30.74 ± 0.04/3.26 ± 0.02	33.23 ± 0.04/2.46 ± 0.01
	DTKMRI	35.27 ± 0.03/1.89 ± 0.03	36.83 ± 0.02/1.51 ± 0.02	32.07 ± 0.03/2.35 ± 0.02	34.65 ± 0.03/1.94 ± 0.02
herniateddisclspine	Zero-filling	17.02 ± 0.04/4.88 ± 0.01	20.00 ± 0.01/4.10 ± 0.01	23.13 ± 0.13/5.16 ± 0.01	25.48 ± 0.14/4.67 ± 0.01
	DLMRI	31.06 ± 0.04/2.76 ± 0.02	33.54 ± 0.06/2.31 ± 0.02	30.89 ± 0.04/3.33 ± 0.02	32.06 ± 0.04/2.77 ± 0.03
	TLMRI	30.57 ± 0.04/2.83 ± 0.02	34.11 ± 0.05/1.99 ± 0.01	28.79 ± 0.02/3.83 ± 0.02	32.89 ± 0.05/2.56 ± 0.02
	DTKMRI	31.70 ± 0.03/2.64 ± 0.01	35.76 ± 0.03/1.53 ± 0.02	31.28 ± 0.02/3.11 ± 0.03	33.79 ± 0.04/2.23 ± 0.02

為了驗證 DTKMRI 模型在不同噪聲標準偏差下圖像重構的抗噪性能，分別采用 2D 變密度隨機采樣和偽射線采樣對六幅 MR 測試圖像進行重構實驗。實驗中采樣率 R = 5%，偽射線條數 l = 55，噪聲標準偏差 σ 分別取 15 和 25，將 DTKMRI 模型的實驗結果分別與對比模型相比較，如表 3 所示。從表 3 的數據可知，DTKMRI 模型在不同噪聲標準偏差下圖像重構 PSNR 和 HFEN 的均值優于對比模型，實現了更好的圖像重構效果，具有較好的抗噪性和魯棒性。以 BMR2 圖像為例，表 3 中 2D 變密度隨機采樣在噪聲標準偏差為 25 的情況下，DTKMRI 模型的圖像重構 PSNR 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 模型分別提高了 1.56 dB 和 1.91 dB，DTKMRI 模型的圖像重構 HFEN 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 模型分別降低了 0.41 和 0.53；偽射線采樣在噪聲標準偏差為 25 的情況下，DTKMRI 模型的圖像重構 PSNR 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 模型分別提高了 1.62 dB 和 1.74 dB，DTKMRI 模型的圖像重構 HFEN 均值相比 TLMRI 和 DLMRI 模型分別降低了 0.48 和 0.57。

表3 不同采樣方式在不同噪聲標準偏差下的圖像重構 PSNR（dB）與 HFEN 比較 Table3. Comparisons of image reconstruction PSNR (dB) and HFEN using different modes in various noise standard deviations

表選項

下載CSV

圖像	模型	2D 變密度隨機采樣（R = 5%）		偽射線采樣（l = 55）
		σ = 15	σ = 25	σ = 15	σ = 25
		PSNR ± Std/HFEN ± Std	PSNR ± Std/HFEN ± Std	PSNR ± Std/HFEN ± Std	PSNR ± Std/HFEN ± Std
BMR2	Zero-filling	19.51 ± 0.05/4.46 ± 0.01	19.45 ± 0.09/4.58 ± 0.02	23.55 ± 0.11/5.02 ± 0.01	23.38 ± 0.13/5.11 ± 0.01
	DLMRI	35.64 ± 0.02/1.77 ± 0.01	34.66 ± 0.03/1.94 ± 0.03	34.22 ± 0.02/2.31 ± 0.02	33.17 ± 0.03/2.48 ± 0.03
	TLMRI	36.28 ± 0.04/1.48 ± 0.01	35.01 ± 0.05/1.82 ± 0.01	34.28 ± 0.03/2.26 ± 0.02	33.29 ± 0.02/2.39 ± 0.02
	DTKMRI	37.51 ± 0.03/1.24 ± 0.02	36.57 ± 0.04/1.41 ± 0.02	36.07 ± 0.03/1.57 ± 0.01	34.91 ± 0.03/1.91 ± 0.02
Brain	Zero-filling	16.89 ± 0.01/6.33 ± 0.01	16.67 ± 0.01/6.42 ± 0.01	20.47 ± 0.06/7.01 ± 0.01	20.35 ± 0.07/7.13 ± 0.01
	DLMRI	33.00 ± 0.03/2.43 ± 0.01	32.22 ± 0.05/2.60 ± 0.02	31.27 ± 0.04/3.31 ± 0.02	30.52 ± 0.03/3.47 ± 0.01
	TLMRI	32.68 ± 0.03/2.27 ± 0.01	31.91 ± 0.04/2.51 ± 0.01	30.39 ± 0.02/3.72 ± 0.02	29.98 ± 0.03/3.91 ± 0.02
	DTKMRI	35.23 ± 0.03/1.64 ± 0.01	34.13 ± 0.03/1.82 ± 0.02	33.24 ± 0.03/2.29 ± 0.02	32.10 ± 0.01/2.57 ± 0.02
t2axialbrain	Zero-filling	20.42 ± 0.08/4.90 ± 0.01	20.23 ± 0.08/5.08 ± 0.01	25.09 ± 0.01/5.68 ± 0.01	24.86 ± 0.01/5.74 ± 0.01
	DLMRI	34.22 ± 0.03/2.42 ± 0.01	33.39 ± 0.04/2.59 ± 0.01	32.09 ± 0.02/3.18 ± 0.02	31.31 ± 0.03/3.31 ± 0.01
	TLMRI	35.29 ± 0.03/1.90 ± 0.01	34.37 ± 0.06/2.31 ± 0.02	32.77 ± 0.02/2.94 ± 0.01	31.63 ± 0.03/3.31 ± 0.01
	DTKMRI	36.76 ± 0.02/1.53 ± 0.01	35.95 ± 0.04/1.71 ± 0.01	34.49 ± 0.02/2.51 ± 0.01	33.13 ± 0.02/2.79 ± 0.02
foot-012	Zero-filling	14.93 ± 0.02/7.05 ± 0.01	14.75 ± 0.02/7.20 ± 0.01	20.91 ± 0.09/8.01 ± 0.01	20.69 ± 0.12/8.05 ± 0.02
	DLMRI	31.09 ± 0.03/3.13 ± 0.02	30.34 ± 0.02/3.45 ± 0.02	28.16 ± 0.03/5.05 ± 0.03	27.53 ± 0.03/5.21 ± 0.03
	TLMRI	32.11 ± 0.02/2.54 ± 0.01	31.23 ± 0.02/2.87 ± 0.02	28.43 ± 0.02/4.63 ± 0.01	27.87 ± 0.03/5.08 ± 0.03
	DTKMRI	33.27 ± 0.02/1.87 ± 0.01	32.28 ± 0.03/2.24 ± 0.01	31.02 ± 0.02/3.18 ± 0.02	30.06 ± 0.02/3.65 ± 0.02
Pulmonaryangio	Zero-filling	20.06 ± 0.05/3.61 ± 0.01	19.94 ± 0.10/3.79 ± 0.02	26.49 ± 0.03/4.19 ± 0.01	26.24 ± 0.03/4.28 ± 0.02
	DLMRI	36.06 ± 0.03/1.82 ± 0.01	35.04 ± 0.05/2.01 ± 0.01	31.95 ± 0.03/2.89 ± 0.02	31.33 ± 0.03/3.12 ± 0.01
	TLMRI	36.89 ± 0.05/1.58 ± 0.02	35.56 ± 0.05/1.92 ± 0.02	31.69 ± 0.01/2.97 ± 0.01	31.29 ± 0.02/3.17 ± 0.03
	DTKMRI	38.27 ± 0.03/1.03 ± 0.02	36.69 ± 0.04/1.54 ± 0.02	33.55 ± 0.02/1.96 ± 0.02	32.91 ± 0.03/2.21 ± 0.02
herniateddisclspine	Zero-filling	17.38 ± 0.03/4.66 ± 0.01	17.15 ± 0.05/4.76 ± 0.01	23.62 ± 0.09/5.05 ± 0.01	23.34 ± 0.13/5.12 ± 0.01
	DLMRI	31.82 ± 0.02/2.37 ± 0.01	31.42 ± 0.02/2.53 ± 0.01	32.00 ± 0.03/3.07 ± 0.01	31.50 ± 0.03/3.19 ± 0.02
	TLMRI	31.28 ± 0.02/2.60 ± 0.01	30.99 ± 0.03/2.71 ± 0.02	29.87 ± 0.02/3.30 ± 0.02	29.35 ± 0.03/3.62 ± 0.02
	DTKMRI	32.97 ± 0.02/1.94 ± 0.01	32.56 ± 0.02/2.11 ± 0.01	33.31 ± 0.02/2.57 ± 0.02	32.56 ± 0.02/2.81 ± 0.01

為了驗證 DTKMRI 模型的收斂性與優越性，圖 2 給出了 Brain 圖像在 2D 變密度隨機采樣 R = 10%、σ = 35 時，重構實驗的 PSNR 和 HFEN 值隨著迭代次數的變化曲線。從圖 2 可知，DTKMRI 模型的收斂速度最快，大約經過 12 次迭代重構圖像的 PSNR 達到最大值，且隨著迭代次數的增加 PSNR 值基本保持不變，表示模型收斂；隨后依次是 TLMRI 和 DLMRI 模型重構圖像的 PSNR 值隨著迭代次數基本保持不變，表明這兩個模型亦達到收斂。可見，DTKMRI 模型相比 TLMRI 和 DLMRI 模型具有較快的收斂速度，且 PSNR 值較大。從圖 2 還可知，DTKMRI 模型相比 TLMRI 和 DLMRI 模型的 HFEN 值更小，這表明 DTKMRI 模型的圖像邊緣結構重構效果更好。由圖 2 可見，DTKMRI 模型具有較快的收斂速度，MR 圖像重構質量優于 TLMRI 和 DLMRI 模型。

為了進一步體現本文提出模型的優越性，將從主觀視覺效果方面評價 MR 圖像的重構效果。圖 3 給出了 2D 變密度隨機采樣 R = 10%、σ = 35 時，各重構模型對 Brain 圖像局部（所取部分在圖 1b 中已標出）重構結果的比較圖；圖 4 給出了偽射線采樣 l = 80、σ = 35 時，各重構模型對 t2axialbrain 圖像的重構結果和重構誤差圖。由圖 4h、4i、4j 可見，相比 TLMRI 和 DLMRI 模型，DTKMRI 模型圖像重構質量在紅色矩形區域得到明顯改善。圖 3 和圖 4 給出的重構結果中，Zero-filling 的 MR 圖像重構質量最差，細節信息丟失最多，平滑和邊緣部分模糊；DLMRI 的 MR 圖像重構質量明顯優于 Zero-filling，但仍丟失了大量細節信息，圖像過于平滑，邊緣輪廓結構不清晰；TLMRI 的 MR 圖像重構質量優于 DLMRI，邊緣輪廓結構較之更為清晰，但仍丟失了部分細節信息；DTKMRI 的 MR 圖像重構結果中保留了更多的細節信息，邊緣輪廓結構較清晰，重構結果中噪聲不明顯。可見，DTKMRI 能夠更精確地重構 MR 圖像的細節信息和邊緣輪廓結構信息。

圖2 Brain 圖像的 PSNR 與 HFEN 隨迭代次數的變化曲線 Figure2. PSNR and HFEN changing curves of Brain image along with iterations

圖選項

下載全尺寸圖像

下載幻燈片

綜合上述實驗表明，DTKMRI 模型的 MR 圖像重構效果相比 DLMRI 和 TLMRI 模型有較好的改善。究其原因，DLMRI 模型是利用自適應綜合字典學習下的稀疏先驗知識，使圖像重構效果得以改善；TLMRI 模型是利用自適應變換字典學習下的稀疏先驗知識，使圖像重構效果得以進一步改善；與 DLMRI 和 TLMRI 模型相比，DTKMRI 模型將解析 K-SVD 算法結合自適應變換字典學習得到的 TK-SVD 算法應用于稀疏變換模型，然后根據稀疏變換模型和綜合稀疏模型的稀疏性先驗相互補充作用，結合自適應綜合字典學習和自適應變換字典學習，使 MR 圖像重構質量進一步提高，獲得更多的 MR 圖像細節特征信息和邊緣輪廓結構特征信息，模型的有效性更好、適用性更強。

圖3 2D 變密度隨機采樣下 Brain 圖像的局部（圖 1b 中白框標注區域為本圖的原圖）重構結果放大圖

a. K-空間的 2D 變密度隨機采樣；b. 原圖像；c. Zero-filling；d. DLMRI；e. TLMRI；f. DTKMRI

Figure3. Reconstruction results of the local Brain image (the original part is the region which is in the white rectangle of Fig.1b) by 2D variable density random sampling

a. 2D variable density random sampling in the K-space; b. original part; c. Zero-filling; d. DLMRI; e. TLMRI; f. DTKMRI

圖選項

下載全尺寸圖像

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圖4 偽射線采樣下 t2axialbrain 圖像的不同模型重構結果及重構誤差圖

a. K-空間的偽射線采樣；b. 原圖像；c & g. Zero-filling；d & h. DLMRI；e & i. TLMRI；f & j. DTKMRI。圖 h、i、j 的紅色矩形區域表示：相比 DLMRI 和 TLMRI，DTKMRI 的圖像重構質量得到明顯改善

Figure4. The t2axialbrain image reconstruction results and errors of different models under pseudo radial sampling

a. pseudo radial sampling in the K-space; b. original image; c & g. Zero-filling; d & h. DLMRI; e & i. TLMRI; f & j. DTKMRI. Compared to DLMRI and TLMRI, DTKMRI remarkably improves the reconstruction quality of the image in the red rectangle boxes of Fig.4 h, i, j

圖選項

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3 結論

本文將自適應綜合字典學習和自適應變換字典學習相結合，提出了基于雙稀疏模型的 MR 圖像重構 DTKMRI 模型。DTKMRI 模型將兩種稀疏模型同時應用于 CS-MRI 重構系統，其優勢是既利用了 MR 圖像的圖像域稀疏先驗知識又利用了圖像的稀疏變換域先驗知識。DTKMRI 模型的優化問題利用交替迭代最小化法進行了有效的求解，在求解過程中引入了 TK-SVD 稀疏變換學習算法。本文對 DTKMRI 模型進行了 MR 圖像重構實驗，將實驗結果與 Zero-filling、DLMRI 和 TLMRI 模型進行了比較。實驗結果表明，無論是客觀評價還是主觀視覺評價，DTKMRI 模型對 MR 圖像的細節信息和邊緣結構信息都實現了較好的重構，對圖像重構效果起到了很好的改善作用。本文提出的 MR 圖像重構模型的魯棒性優于 Zero-filling、DLMRI 和 TLMRI 圖像重構模型，且收斂速度較快。如何將其他稀疏先驗以及更多的稀疏先驗應用到 MR 圖像重構模型，進一步有效地提高圖像重構質量，實現更低采樣率下對 MR 圖像迅速和精確的重構，是今后的研究方向。

引言