為了探索腦白質和腦灰質在 β、δ 和 γ 色散過度區間內的介電特性在臨床醫學和微波成像技術上的應用，本文應用 Cole-Cole 公式計算腦白質和腦灰質的相對介電常數及增量，并以相對介電常數增量的突變為依據，判斷 3 種色散發生的頻域區間；而后利用 Cole-Cole 圓分析過渡區內哪種色散占核心地位，以及相應的極化機制，從中尋找有價值的數據和規律。結果表明：腦白質在 β 與 δ 色散之間、β 與 γ 色散之間、δ 與 γ 色散之間有 3 種色散過渡區間，而腦灰質僅在 β 與 δ 色散之間和 δ 與 γ 色散之間有 2 種過渡區間；腦白質的 β 與 δ 色散過渡區間頻率范圍寬于腦灰質的，且在這兩種物質中 β 與 δ 色散過渡區間內均以 β 色散占核心地位，其相應的極化機制為界面極化；腦白質的 δ 與 γ 色散過渡區間頻率范圍也寬于腦灰質過渡區間的頻率范圍，且在這兩種物質中 δ 與 γ 色散過渡區間內均以 δ 色散占核心地位，其相應的極化方式為轉向極化。通過以上研究，本文結果可為腦組織疾病的診斷和微波成像技術提供理論依據和數據參考。
引用本文： 田瑞, 逯邁. 人腦白質與腦灰質 β 色散、δ 色散和 γ 色散過渡區間機制分析. 生物醫學工程學雜志, 2017, 34(4): 606-613. doi: 10.7507/1001-5515.201606051 復制
引言
電磁場對人體健康的影響以及在這影響過程中人體的生化反應等問題是生物電磁效應研究的重點，也是目前生物電磁學研究的前沿與熱點。尤其是生物組織介電特性的研究因為涉及臨床醫學診斷、微波成像技術、電磁暴露防護等領域，所以受到了廣泛的關注。它有力地推動了電阻抗斷層成像[1-3]、腫瘤組織臨床輔助診斷[4-5]、高頻電磁場暴露對不同年齡段人群電磁劑量學的研究[6]、以及經顱磁刺激對腦部疾病治療等技術的發展[7]。
位于電磁場中的生物組織會發生極化現象，其極化過程和程度與生物組織的分子類型、性質、內部結構等密切相關。生物體受到時變電磁場作用時，其相對介電常數隨外電場頻率變化而變化，從而產生 4 種色散現象（α、β、δ、γ 色散）[8-9]。α 色散是由生物組織中離子遷移以及細胞充電引起的[10]；β 色散除了由細胞膜的界面極化引起之外，還可能與蛋白質和其他有機大分子極化相關[10]；δ 色散和 γ 色散均是在微波頻段產生的色散現象。文獻[8]和[11]就指出當生物組織處在微波頻段時，生物組織中水分子極化將起決定性作用。況且生物組織中水的存在形式有兩種。一種為結合水，是指在細胞內和其他物質結合在一起的水；另一種為自由水，是指生物體內或細胞內可以自由流動的水[12]。δ 色散被認為起因于束縛在蛋白質表面上結合水的轉動以及內部蛋白質的運動，它通常發生在 β 和 γ 色散之間[13]。由于 δ 色散出現在 β 色散的尾部（即 β 色散的高頻處），所以它往往不易在測量中被觀察到。γ 色散被認為是由生物組織中自由水分子產生極化引起的[14]。由于水分子是一種極性分子，并且根據極性分子的定義可知，極性分子在有外加電場作用后會產生轉向極化。由此可知 δ 和 γ 色散的極化機制均為轉向極化。
腦白質和腦灰質是腦組織的重要構成物質。神經元、神經膠質細胞和毛細血管是組成腦灰質的重要物質，而腦白質則是由大量的髓磷脂（脂質）組成。由于腦灰質含水量比腦白質含水量高（哺乳動物腦灰質的含水量約 82%～85%，腦白質的含水量約 68%～73%）[15]，研究表明，含水量的不同正是引起在同頻率下腦灰質和腦白質介電常數存在差異的原因之一。
國外學者早在 20 世紀 70 年代就關注到溫度和含水量對腦組織介電譜的影響[16]，近年來有研究者針對電神經突起對大腦介電譜的影響進行了深入的探討[17]。在國內，學者們對人腦組織阻抗頻率特性做了大量細致的研究工作[18]。本課題組也開展了人腦在低頻處發生 α 和 β 色散的機制研究[19]，而在高頻處人腦組織（特別是腦白質和腦灰質）發生的色散機制又是如何？至今未有研究者做出詳細討論。所以本課題組仍然以腦白質、腦灰質為研究對象，在文獻[19]的基礎上討論其在高頻處 β、δ 和 γ 色散之間過渡區的機制問題，并判斷 3 種色散的發生頻率區間、過渡區間內何種色散占核心地位以及過渡區間內主導色散所對應的極化方式。
由于不同生物組織在不同頻率下的色散特性存在著明顯差異。本文通過分析腦白質和腦灰質的色散特性和過度區間機制，為腦組織疾病診斷提供理論參考，也為在微波成像技術中通過選擇恰當的頻率來提高成像質量提供必要的基礎參數。
1 原理與方法
Cole-Cole 公式早期被應用于描述液體和電介質的色散分析[20]。1996 年 Gabriel 等[21]在寬頻帶范圍內，提出用 4 階 Cole-Cole 公式來描述人體 17 種組織的 α、β、δ、和 γ 共 4 種色散現象。4 階 Cole-Cole 公式中每一階公式表示一種色散現象，具體如下：
'/> |
其中，
為復介電常數，
（即
）為相對介電常數；
為損耗因子；j 為虛部；
為光頻處的相對介電常數值；
0=8.85×10–12 為真空中的介電常數值；Δ
n、fn 和 αn 分別為第 n 種色散所對應的相對介電常數增量、中心弛豫頻率和弛豫分布時間，σi 為離子電導率。
1.1 判斷色散發生區域的方法
本課題組通過對文獻[8-11, 14, 22]的研究分析，提出判斷生物組織色散發生頻率區域的方法為利用相對介電常數增量的突變作為判斷一種色散開始與結束的標志[19]。
1.2 色散過渡區域機制分析
利用 Cole-Cole 圓分析色散過渡區域機制問題是一種行之有效的方法[19]。本文利用此方法分析腦白質和腦灰質 β、δ 和 γ 這 3 種色散之間過渡區域內的介電特性。
由于腦白質、腦灰質離子電導率取值很小，以及 β、δ 和 γ 色散區域均發生在較高頻率處，所以在推導 Cole-Cole 圓方程時可忽略離子電導率，則 Cole-Cole 圓方程為[23]：
'/> |
其中：圓心為
 |
半徑為
 |
如式（3）、（4）所示，Δεn 和 αn 的取值會對圓心位置和半徑有影響。
2 計算結果
2.1 腦白質 β、δ 和 γ 色散發生的頻率范圍
利用文獻[21]中所給腦白質和腦灰質 4 階 Cole-Cole 模型參數，計算出不同頻率下這兩種組織的相對介電常數和相對介電常數增量。根據電介質的弛豫機制可知，在某一單一色散現象中，當弛豫頻率趨于中心弛豫頻率時，該單一色散所對應的
隨頻率的變化迅速改變，
會出現極大值，這一突變區域稱為“介質的反常彌撒區”。
本文利用生物組織存在“介質的反常彌散區”這一特點，通過改變 β 色散、δ 色散和 γ 色散所對應的中心弛豫頻率（f3、f2、f1）得到如圖 1 所示的結果，再從圖中數據大致推斷出這 3 種色散發生的頻率范圍。最后在這粗略的頻率范圍內通過如式（1）所示，計算相對介電常數及其增量，從而找到增量的突變處，準確判斷色散發生的范圍。
圖1
腦白質 f1、f2、f3 的改變值
Figure1.
Change value of f1, f2, f3 in brain white matter
如圖 1 所示，逐一改變 3 種色散中心弛豫頻率的大小，只會影響其對應的色散發生范圍的曲線，而對其余兩種色散發生范圍的曲線影響微小。所以從圖 1 可得 β、δ 和 γ 色散發生的大致頻率區間分別是：β 色散大約結束在 108.5～109.5 Hz 頻率之間（β 色散開始的頻率點已在文獻[19]中論述過）；δ 色散大約開始于 105～106 Hz 頻率之間，結束在 109.5～1010 Hz 頻率內；γ 大約開始于 109～1010 Hz 頻率之間。
在上述頻率范圍內，如式（1）所示計算腦白質和腦灰質相對介電常數，在計算過程中頻率的步長選取和相對介電常數小數點保留情況，與國際公認的意大利國家研究委員會提供的數據保持一致。由于數據眾多這里只選擇具有代表性的數據結果，如表 1–表 4 所示。
表1
腦白質 β 色散終止頻率確定
Table1.
Determine a terminal frequency of β dispersion in brain white matter
表2
腦白質 δ 色散起始頻率確定
Table2.
Determine a initial frequency of δ dispersion in brain white matter
表3
腦白質 δ 色散終止頻率的確定
Table3.
Determine a terminal frequency of δ dispersion in brain white matter
表4
腦白質 γ 色散起始頻率的確定
Table4.
Determine a initial frequency of γ dispersion in brain white matter
如表 1–表 4 所示，可判斷出腦白質 β 色散終止頻率、δ 色散起止頻率和 γ 色散起始頻率：
（1）如表 1 所示，當頻率在 787 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常數隨著頻率增大而減小的速度在此頻率處加速，從而確定 β 色散在此處結束。
（2）如表 2 所示，當頻率在 0.800 MHz 處時，Δε 突然變小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加，減小的速度在此頻率處變緩，從而確定 δ 色散在此頻率處開始。
（3）如表 3 所示，當頻率在 2 492 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處加速，從而確定 δ 色散在此頻率處結束。
（4）如表 4 所示，當頻率在 100.090 MHz 處時，Δε 突然減小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處減緩，從而確定 γ 色散在此頻率處開始。
2.2 腦灰質 β、δ 和 γ 色散發生的頻率范圍
判斷腦灰質 3 種色散頻率發生區間的方法和腦白質一樣，如前述 2.1 小節相同。
通過改變 f3、f2 和 f1 的值，初判腦灰質 β、δ 和 γ 色散頻率范圍，如圖 2 所示，β 色散大約結束在 108.5～109.5 Hz 頻率之間；δ 色散大約開始于 105～106 Hz 頻率之間，結束在 109.5～1010 Hz 頻率之間；γ 大約開始于 108～109 Hz 頻率之間。
圖2
腦灰質 f1、f2、f3 的改變值
Figure2.
Change value of f1、f2、f3 in brain grey matter
在這 4 個頻率范圍內應用文獻[21]中的參數，如式（1）所示，求得腦灰質相對介電常數以及相對介電常數增量，如表 5–表 8 所示。
表5
腦灰質 β 色散終止位置確定
Table5.
Determine a terminal frequency of β dispersion in brain grey matter
表6
腦灰質 δ 色散起始位置確定
Table6.
Determine a initial frequency of δ dispersion in brain grey matter
表7
腦灰質 δ 色散終止位置確定
Table7.
Determine a terminal frequency of δ dispersion in brain grey matter
表8
腦灰質 γ 色散起始位置確定
Table8.
Determine a initial frequency of γ dispersion in brain gray matter
如表 5–表 8 所示，可判斷出腦灰質 β 色散終止頻率、δ 色散起止頻率和 γ 色散起始頻率：
（1）如表 5 所示，當頻率在 9.670 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常數隨著頻率的增大而減小的速度在此處加速，從而確定腦灰質 β 色散在此處結束。
（2）如表 6 所示，當頻率在 0.463 MHz 處時，Δε 突然變小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加，減小的速度在此頻率處變緩，從而確定腦灰質 δ 色散在此頻率處開始。
（3）如表 7 所示，當頻率在 1 183 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處加速，從而確定腦灰質 δ 色散在此頻率處結束。
（4）如表 8 所示，當頻率在 101.440 MHz 處時，Δε 突然減小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處變緩，從而確定腦灰質 γ 色散在此頻率處開始。
3 討論
如表 1–表 4 和表 5–表 8 所示，腦白質的 β 色散不僅與 δ 色散存在過渡區間，還與 γ 色散也存在過渡區間，同時 δ 色散和 γ 色散之間也存在過渡區。腦灰質 β 色散和 δ 色散之間存在過渡區間，δ 色散和 γ 色散之間也存在過渡區間。產生這種復雜過渡區的原因，是因為 δ 色散發生在很寬的頻率范圍內。對 δ 色散發生的頻率區間寬這一現象的驗證已在另一篇文章中進行討論[24]。
3.1 腦白質 β、δ、γ 色散過渡區間機制分析
如表 1-表 4 所示，本文得出腦白質 β、δ、γ 色散過渡區間如圖 3 所示。
圖3
腦白質 3 種色散頻率起止情況
Figure3.
Starting and ending of frequency of three kinds of dispersion in brain white matter
如圖 3 所示，腦白質 β 和 δ 色散之間過渡區頻率范圍是 0.8～787 MHz；腦白質 β 和 γ 色散過渡區頻率范圍是 100.09～787 MHz；腦白質 δ 和 γ 色散過渡區間是 100.09～2 492 MHz。在這 3 種過渡區間內，利用 Cole-Cole 圓分析過渡區間內介電特性，由此確定哪種色散在過渡區內占核心地位以及相應的極化方式。
3.1.1 腦白質 β 色散和 δ 色散過渡區分析 利用 Cole-Cole 圓分析腦白質 β 色散和 δ 色散過渡區內的機制。
圖4
腦白質 β 和 δ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure4.
The Cole-Cole graph of β and δ dispersion of white matter in transition zone
根據文獻[21]所給參數，如式（3）、（4）所示，β 色散所對應 Cole-Cole 圓半徑的值遠超過 δ 色散對應的 Cole-Cole 圓半徑。如圖 4 所示，分別是以 δ 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，和以 β 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，δ 色散所對應的圓弧在以 β 色散為核心的圖中已趨于一點。如圖 4 所示，由于腦白質 β 色散在該色散過渡區內占核心地位，繼而可知界面極化是 β 色散和 δ 色散過渡區間內的主要極化方式。
3.1.2 腦白質 β 色散和 γ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦白質中 β 和 γ 色散過渡區內的機制。
圖5
腦白質 β 和 γ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure5.
The Cole-Cole graph of β and γ dispersion of white matter in transition zone
由文獻[21]中的參數和公式（3）、（4）可知 β 色散所對應的 Cole-Cole 圓半徑的值比 γ 色散對應的 Cole-Cole 圓半徑的值大得多。如圖 5 所示，分別是以 γ 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 γ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，和以 β 色散為核心在同平面內畫 β 色散和 γ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，γ 色散對應的圓弧在以 β 色散為核心的圖中已趨于一點。如圖 5 所示，由于腦白質 β 色散依舊在 β 和 γ 色散過渡區內占核心地位，由此可知界面極化是該過渡區間內的主要極化方式。
3.1.3 腦白質 δ 色散和 γ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦白質中 δ 和 γ 色散過渡區內的機制。
圖6
腦白質 δ 和 γ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure6.
The Cole-Cole graph of δ and γ dispersion of white matter in transition zone
如圖 6 所示，δ 色散對應 Cole-Cole 圓半徑大于 γ 色散 Cole-Cole 圓半徑。由此可知在腦白質 δ 和 γ 色散過渡區內 δ 色散占核心地位，進而得到轉向極化為該過渡區間內的主要極化方式。
3.2 腦灰質 β、δ、γ 色散過渡區分析
如表 5–表 8 所示，本文得出腦灰質 β、δ、γ 色散的起止頻率區間和兩種色散過渡區的情況，如圖 7 所示。
圖7
腦灰質 3 種色散頻率起止情況
Figure7.
Starting and ending of frequency of three kinds of dispersion in brain grey matter
如圖 7 所示，腦灰質 β 和 δ 色散之間存在過渡區，其過度區頻率范圍為 0.463～9.67 MHz；腦灰質 δ 和 γ 色之間也存在過渡區，過渡區頻率范圍為 101.44～1 183 MHz。在這兩種過渡區間內，利用 Cole-Cole 圓分析過渡區間內腦灰質的介電特性，從而確定哪種色散占核心地位以及過渡區間內哪種極化方式為主要極化方式。
3.2.1 腦灰質 β 色散和 δ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦灰質中 β 色散和 δ 色散過渡區內的機制。
圖8
腦灰質 β 和 δ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure8.
The Cole-Cole graph of β and δ dispersion of grey matter in transition zone
根據文獻[21]中腦灰質的參數和公式（3）、（4）可知 β 色散對應的 Cole-Cole 圓半徑是 δ 色散對應 Cole-Cole 圓半徑的幾百倍。如圖 8 所示，分別是以 δ 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，和以 β 色散為核心在同平面內畫 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，δ 色散圓弧在以 β 色散為核心的圖中已趨于一點。如圖 8 所示，對于腦灰質 β 色散是 β 和 δ 色散過渡區內的主要色散方式，由此可得界面極化是該過渡區間內的主要極化方式。
3.2.2 腦灰質 δ 色散和 γ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦灰質中 δ 色散和 γ 色散過渡區內的機制。
圖9
腦灰質 δ 和 γ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure9.
The Cole-Cole graph of δ and γ dispersion of grey matter in transition zone
如圖 9 所示，δ 色散圓弧半徑遠大于 γ 色散圓弧半徑，則在腦灰質 δ 色散和 γ 色散過渡區內 δ 色散占核心地位，進而可知轉向極化是該過渡區間內的主要極化方式。
4 結論
本文研究了腦白質與腦灰質 β、δ 和 γ 色散的介電特性，通過對相對介電常數增量的判斷和以 Cole-Cole 圓的方法分析得到如下結論：
（1）腦白質 β 色散終止頻率為 787 MHz 高于腦灰質 β 色散的終止頻率（9.67 MHz）；腦白質 δ 色散起始于 0.8 MHz 處，截止于 2 492 MHz。腦灰質 δ 色散起始于 0.463 MHz，截止于 1 183MHz 頻率處；腦白質 δ 色散頻率發生區間較腦灰質 δ 色散頻率發生區間寬；腦白質 γ 色散發生頻率在 100.09 MHz 處，而腦灰質 γ 色散發生頻率在 101.44 MHz 處，略高于腦白質 γ 色散發生頻率。
（2）腦白質 β、δ 和 γ 色散之間存在 3 種色散過渡區，它們分別是 β 和 δ 色散過渡區間，β 色散和 γ 色散過渡區間，δ 色散和 γ 色散過渡區間；腦灰質 β、δ 和 γ 色散之間僅存在兩種色散過渡區，它們分別是 β 和 δ 色散過渡區，δ 色散和 γ 色散過渡區。
（3）腦白質 β 和 δ 色散過渡區間與 δ 和 γ 色散過渡區間頻率范圍均寬于腦灰質對應的這兩種過度區間，同時在腦灰質中 β 和 γ 色散之間沒有過渡區。
（4）在腦白質中 β 和 δ 色散過渡區間與 β 和 γ 色散過渡區間，占核心地位的色散方式均是 β 色散，其相應的極化方式為界面極化；腦白質的 δ 和 γ 色散過渡區間內占核心地位的色散方式是 δ 色散，其對應的極化方式為轉向極化。
（5）腦灰質的 β 和 δ 色散過渡區間內占核心地位的色散方式為 β 色散，其對應的極化方式為界面極化；腦灰質的 δ 和 γ 色散過渡區間內占核心地位的色散方式為 δ 色散，其對應的極化方式為轉向極化。
本研究豐富了腦白質和腦灰質在微波頻段的色散特性基礎研究，闡述了高頻段腦白質和腦灰質色散過度區間的機制，同時也為生物組織微波成像的頻率選擇提供了參數依據。
引言
電磁場對人體健康的影響以及在這影響過程中人體的生化反應等問題是生物電磁效應研究的重點，也是目前生物電磁學研究的前沿與熱點。尤其是生物組織介電特性的研究因為涉及臨床醫學診斷、微波成像技術、電磁暴露防護等領域，所以受到了廣泛的關注。它有力地推動了電阻抗斷層成像[1-3]、腫瘤組織臨床輔助診斷[4-5]、高頻電磁場暴露對不同年齡段人群電磁劑量學的研究[6]、以及經顱磁刺激對腦部疾病治療等技術的發展[7]。
位于電磁場中的生物組織會發生極化現象，其極化過程和程度與生物組織的分子類型、性質、內部結構等密切相關。生物體受到時變電磁場作用時，其相對介電常數隨外電場頻率變化而變化，從而產生 4 種色散現象（α、β、δ、γ 色散）[8-9]。α 色散是由生物組織中離子遷移以及細胞充電引起的[10]；β 色散除了由細胞膜的界面極化引起之外，還可能與蛋白質和其他有機大分子極化相關[10]；δ 色散和 γ 色散均是在微波頻段產生的色散現象。文獻[8]和[11]就指出當生物組織處在微波頻段時，生物組織中水分子極化將起決定性作用。況且生物組織中水的存在形式有兩種。一種為結合水，是指在細胞內和其他物質結合在一起的水；另一種為自由水，是指生物體內或細胞內可以自由流動的水[12]。δ 色散被認為起因于束縛在蛋白質表面上結合水的轉動以及內部蛋白質的運動，它通常發生在 β 和 γ 色散之間[13]。由于 δ 色散出現在 β 色散的尾部（即 β 色散的高頻處），所以它往往不易在測量中被觀察到。γ 色散被認為是由生物組織中自由水分子產生極化引起的[14]。由于水分子是一種極性分子，并且根據極性分子的定義可知，極性分子在有外加電場作用后會產生轉向極化。由此可知 δ 和 γ 色散的極化機制均為轉向極化。
腦白質和腦灰質是腦組織的重要構成物質。神經元、神經膠質細胞和毛細血管是組成腦灰質的重要物質，而腦白質則是由大量的髓磷脂（脂質）組成。由于腦灰質含水量比腦白質含水量高（哺乳動物腦灰質的含水量約 82%～85%，腦白質的含水量約 68%～73%）[15]，研究表明，含水量的不同正是引起在同頻率下腦灰質和腦白質介電常數存在差異的原因之一。
國外學者早在 20 世紀 70 年代就關注到溫度和含水量對腦組織介電譜的影響[16]，近年來有研究者針對電神經突起對大腦介電譜的影響進行了深入的探討[17]。在國內，學者們對人腦組織阻抗頻率特性做了大量細致的研究工作[18]。本課題組也開展了人腦在低頻處發生 α 和 β 色散的機制研究[19]，而在高頻處人腦組織（特別是腦白質和腦灰質）發生的色散機制又是如何？至今未有研究者做出詳細討論。所以本課題組仍然以腦白質、腦灰質為研究對象，在文獻[19]的基礎上討論其在高頻處 β、δ 和 γ 色散之間過渡區的機制問題，并判斷 3 種色散的發生頻率區間、過渡區間內何種色散占核心地位以及過渡區間內主導色散所對應的極化方式。
由于不同生物組織在不同頻率下的色散特性存在著明顯差異。本文通過分析腦白質和腦灰質的色散特性和過度區間機制，為腦組織疾病診斷提供理論參考，也為在微波成像技術中通過選擇恰當的頻率來提高成像質量提供必要的基礎參數。
1 原理與方法
Cole-Cole 公式早期被應用于描述液體和電介質的色散分析[20]。1996 年 Gabriel 等[21]在寬頻帶范圍內，提出用 4 階 Cole-Cole 公式來描述人體 17 種組織的 α、β、δ、和 γ 共 4 種色散現象。4 階 Cole-Cole 公式中每一階公式表示一種色散現象，具體如下：
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其中，
為復介電常數，
（即
）為相對介電常數；
為損耗因子；j 為虛部；
為光頻處的相對介電常數值；
0=8.85×10–12 為真空中的介電常數值；Δ
n、fn 和 αn 分別為第 n 種色散所對應的相對介電常數增量、中心弛豫頻率和弛豫分布時間，σi 為離子電導率。
1.1 判斷色散發生區域的方法
本課題組通過對文獻[8-11, 14, 22]的研究分析，提出判斷生物組織色散發生頻率區域的方法為利用相對介電常數增量的突變作為判斷一種色散開始與結束的標志[19]。
1.2 色散過渡區域機制分析
利用 Cole-Cole 圓分析色散過渡區域機制問題是一種行之有效的方法[19]。本文利用此方法分析腦白質和腦灰質 β、δ 和 γ 這 3 種色散之間過渡區域內的介電特性。
由于腦白質、腦灰質離子電導率取值很小，以及 β、δ 和 γ 色散區域均發生在較高頻率處，所以在推導 Cole-Cole 圓方程時可忽略離子電導率，則 Cole-Cole 圓方程為[23]：
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其中：圓心為
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如式（3）、（4）所示，Δεn 和 αn 的取值會對圓心位置和半徑有影響。
2 計算結果
2.1 腦白質 β、δ 和 γ 色散發生的頻率范圍
利用文獻[21]中所給腦白質和腦灰質 4 階 Cole-Cole 模型參數，計算出不同頻率下這兩種組織的相對介電常數和相對介電常數增量。根據電介質的弛豫機制可知，在某一單一色散現象中，當弛豫頻率趨于中心弛豫頻率時，該單一色散所對應的
隨頻率的變化迅速改變，
會出現極大值，這一突變區域稱為“介質的反常彌撒區”。
本文利用生物組織存在“介質的反常彌散區”這一特點，通過改變 β 色散、δ 色散和 γ 色散所對應的中心弛豫頻率（f3、f2、f1）得到如圖 1 所示的結果，再從圖中數據大致推斷出這 3 種色散發生的頻率范圍。最后在這粗略的頻率范圍內通過如式（1）所示，計算相對介電常數及其增量，從而找到增量的突變處，準確判斷色散發生的范圍。
圖1
腦白質 f1、f2、f3 的改變值
Figure1.
Change value of f1, f2, f3 in brain white matter
如圖 1 所示，逐一改變 3 種色散中心弛豫頻率的大小，只會影響其對應的色散發生范圍的曲線，而對其余兩種色散發生范圍的曲線影響微小。所以從圖 1 可得 β、δ 和 γ 色散發生的大致頻率區間分別是：β 色散大約結束在 108.5～109.5 Hz 頻率之間（β 色散開始的頻率點已在文獻[19]中論述過）；δ 色散大約開始于 105～106 Hz 頻率之間，結束在 109.5～1010 Hz 頻率內；γ 大約開始于 109～1010 Hz 頻率之間。
在上述頻率范圍內，如式（1）所示計算腦白質和腦灰質相對介電常數，在計算過程中頻率的步長選取和相對介電常數小數點保留情況，與國際公認的意大利國家研究委員會提供的數據保持一致。由于數據眾多這里只選擇具有代表性的數據結果，如表 1–表 4 所示。
表1
腦白質 β 色散終止頻率確定
Table1.
Determine a terminal frequency of β dispersion in brain white matter
表2
腦白質 δ 色散起始頻率確定
Table2.
Determine a initial frequency of δ dispersion in brain white matter
表3
腦白質 δ 色散終止頻率的確定
Table3.
Determine a terminal frequency of δ dispersion in brain white matter
表4
腦白質 γ 色散起始頻率的確定
Table4.
Determine a initial frequency of γ dispersion in brain white matter
如表 1–表 4 所示，可判斷出腦白質 β 色散終止頻率、δ 色散起止頻率和 γ 色散起始頻率：
（1）如表 1 所示，當頻率在 787 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常數隨著頻率增大而減小的速度在此頻率處加速，從而確定 β 色散在此處結束。
（2）如表 2 所示，當頻率在 0.800 MHz 處時，Δε 突然變小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加，減小的速度在此頻率處變緩，從而確定 δ 色散在此頻率處開始。
（3）如表 3 所示，當頻率在 2 492 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處加速，從而確定 δ 色散在此頻率處結束。
（4）如表 4 所示，當頻率在 100.090 MHz 處時，Δε 突然減小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處減緩，從而確定 γ 色散在此頻率處開始。
2.2 腦灰質 β、δ 和 γ 色散發生的頻率范圍
判斷腦灰質 3 種色散頻率發生區間的方法和腦白質一樣，如前述 2.1 小節相同。
通過改變 f3、f2 和 f1 的值，初判腦灰質 β、δ 和 γ 色散頻率范圍，如圖 2 所示，β 色散大約結束在 108.5～109.5 Hz 頻率之間；δ 色散大約開始于 105～106 Hz 頻率之間，結束在 109.5～1010 Hz 頻率之間；γ 大約開始于 108～109 Hz 頻率之間。
圖2
腦灰質 f1、f2、f3 的改變值
Figure2.
Change value of f1、f2、f3 in brain grey matter
在這 4 個頻率范圍內應用文獻[21]中的參數，如式（1）所示，求得腦灰質相對介電常數以及相對介電常數增量，如表 5–表 8 所示。
表5
腦灰質 β 色散終止位置確定
Table5.
Determine a terminal frequency of β dispersion in brain grey matter
表6
腦灰質 δ 色散起始位置確定
Table6.
Determine a initial frequency of δ dispersion in brain grey matter
表7
腦灰質 δ 色散終止位置確定
Table7.
Determine a terminal frequency of δ dispersion in brain grey matter
表8
腦灰質 γ 色散起始位置確定
Table8.
Determine a initial frequency of γ dispersion in brain gray matter
如表 5–表 8 所示，可判斷出腦灰質 β 色散終止頻率、δ 色散起止頻率和 γ 色散起始頻率：
（1）如表 5 所示，當頻率在 9.670 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常數隨著頻率的增大而減小的速度在此處加速，從而確定腦灰質 β 色散在此處結束。
（2）如表 6 所示，當頻率在 0.463 MHz 處時，Δε 突然變小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加，減小的速度在此頻率處變緩，從而確定腦灰質 δ 色散在此頻率處開始。
（3）如表 7 所示，當頻率在 1 183 MHz 處時，Δε 突然增大。這說明相對介電常隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處加速，從而確定腦灰質 δ 色散在此頻率處結束。
（4）如表 8 所示，當頻率在 101.440 MHz 處時，Δε 突然減小。這說明相對介電常數隨著頻率的增加而減小的速度在此頻率處變緩，從而確定腦灰質 γ 色散在此頻率處開始。
3 討論
如表 1–表 4 和表 5–表 8 所示，腦白質的 β 色散不僅與 δ 色散存在過渡區間，還與 γ 色散也存在過渡區間，同時 δ 色散和 γ 色散之間也存在過渡區。腦灰質 β 色散和 δ 色散之間存在過渡區間，δ 色散和 γ 色散之間也存在過渡區間。產生這種復雜過渡區的原因，是因為 δ 色散發生在很寬的頻率范圍內。對 δ 色散發生的頻率區間寬這一現象的驗證已在另一篇文章中進行討論[24]。
3.1 腦白質 β、δ、γ 色散過渡區間機制分析
如表 1-表 4 所示，本文得出腦白質 β、δ、γ 色散過渡區間如圖 3 所示。
圖3
腦白質 3 種色散頻率起止情況
Figure3.
Starting and ending of frequency of three kinds of dispersion in brain white matter
如圖 3 所示，腦白質 β 和 δ 色散之間過渡區頻率范圍是 0.8～787 MHz；腦白質 β 和 γ 色散過渡區頻率范圍是 100.09～787 MHz；腦白質 δ 和 γ 色散過渡區間是 100.09～2 492 MHz。在這 3 種過渡區間內，利用 Cole-Cole 圓分析過渡區間內介電特性，由此確定哪種色散在過渡區內占核心地位以及相應的極化方式。
3.1.1 腦白質 β 色散和 δ 色散過渡區分析 利用 Cole-Cole 圓分析腦白質 β 色散和 δ 色散過渡區內的機制。
圖4
腦白質 β 和 δ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure4.
The Cole-Cole graph of β and δ dispersion of white matter in transition zone
根據文獻[21]所給參數，如式（3）、（4）所示，β 色散所對應 Cole-Cole 圓半徑的值遠超過 δ 色散對應的 Cole-Cole 圓半徑。如圖 4 所示，分別是以 δ 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，和以 β 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，δ 色散所對應的圓弧在以 β 色散為核心的圖中已趨于一點。如圖 4 所示，由于腦白質 β 色散在該色散過渡區內占核心地位，繼而可知界面極化是 β 色散和 δ 色散過渡區間內的主要極化方式。
3.1.2 腦白質 β 色散和 γ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦白質中 β 和 γ 色散過渡區內的機制。
圖5
腦白質 β 和 γ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure5.
The Cole-Cole graph of β and γ dispersion of white matter in transition zone
由文獻[21]中的參數和公式（3）、（4）可知 β 色散所對應的 Cole-Cole 圓半徑的值比 γ 色散對應的 Cole-Cole 圓半徑的值大得多。如圖 5 所示，分別是以 γ 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 γ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，和以 β 色散為核心在同平面內畫 β 色散和 γ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，γ 色散對應的圓弧在以 β 色散為核心的圖中已趨于一點。如圖 5 所示，由于腦白質 β 色散依舊在 β 和 γ 色散過渡區內占核心地位，由此可知界面極化是該過渡區間內的主要極化方式。
3.1.3 腦白質 δ 色散和 γ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦白質中 δ 和 γ 色散過渡區內的機制。
圖6
腦白質 δ 和 γ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure6.
The Cole-Cole graph of δ and γ dispersion of white matter in transition zone
如圖 6 所示，δ 色散對應 Cole-Cole 圓半徑大于 γ 色散 Cole-Cole 圓半徑。由此可知在腦白質 δ 和 γ 色散過渡區內 δ 色散占核心地位，進而得到轉向極化為該過渡區間內的主要極化方式。
3.2 腦灰質 β、δ、γ 色散過渡區分析
如表 5–表 8 所示，本文得出腦灰質 β、δ、γ 色散的起止頻率區間和兩種色散過渡區的情況，如圖 7 所示。
圖7
腦灰質 3 種色散頻率起止情況
Figure7.
Starting and ending of frequency of three kinds of dispersion in brain grey matter
如圖 7 所示，腦灰質 β 和 δ 色散之間存在過渡區，其過度區頻率范圍為 0.463～9.67 MHz；腦灰質 δ 和 γ 色之間也存在過渡區，過渡區頻率范圍為 101.44～1 183 MHz。在這兩種過渡區間內，利用 Cole-Cole 圓分析過渡區間內腦灰質的介電特性，從而確定哪種色散占核心地位以及過渡區間內哪種極化方式為主要極化方式。
3.2.1 腦灰質 β 色散和 δ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦灰質中 β 色散和 δ 色散過渡區內的機制。
圖8
腦灰質 β 和 δ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure8.
The Cole-Cole graph of β and δ dispersion of grey matter in transition zone
根據文獻[21]中腦灰質的參數和公式（3）、（4）可知 β 色散對應的 Cole-Cole 圓半徑是 δ 色散對應 Cole-Cole 圓半徑的幾百倍。如圖 8 所示，分別是以 δ 色散為核心在同平面內繪出 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，和以 β 色散為核心在同平面內畫 β 色散和 δ 色散兩個 Cole-Cole 圓弧，δ 色散圓弧在以 β 色散為核心的圖中已趨于一點。如圖 8 所示，對于腦灰質 β 色散是 β 和 δ 色散過渡區內的主要色散方式，由此可得界面極化是該過渡區間內的主要極化方式。
3.2.2 腦灰質 δ 色散和 γ 色散過渡區分析 應用 Cole-Cole 圓分析腦灰質中 δ 色散和 γ 色散過渡區內的機制。
圖9
腦灰質 δ 和 γ 色散過渡區 Cole-Cole 圖
Figure9.
The Cole-Cole graph of δ and γ dispersion of grey matter in transition zone
如圖 9 所示，δ 色散圓弧半徑遠大于 γ 色散圓弧半徑，則在腦灰質 δ 色散和 γ 色散過渡區內 δ 色散占核心地位，進而可知轉向極化是該過渡區間內的主要極化方式。
4 結論
本文研究了腦白質與腦灰質 β、δ 和 γ 色散的介電特性，通過對相對介電常數增量的判斷和以 Cole-Cole 圓的方法分析得到如下結論：
（1）腦白質 β 色散終止頻率為 787 MHz 高于腦灰質 β 色散的終止頻率（9.67 MHz）；腦白質 δ 色散起始于 0.8 MHz 處，截止于 2 492 MHz。腦灰質 δ 色散起始于 0.463 MHz，截止于 1 183MHz 頻率處；腦白質 δ 色散頻率發生區間較腦灰質 δ 色散頻率發生區間寬；腦白質 γ 色散發生頻率在 100.09 MHz 處，而腦灰質 γ 色散發生頻率在 101.44 MHz 處，略高于腦白質 γ 色散發生頻率。
（2）腦白質 β、δ 和 γ 色散之間存在 3 種色散過渡區，它們分別是 β 和 δ 色散過渡區間，β 色散和 γ 色散過渡區間，δ 色散和 γ 色散過渡區間；腦灰質 β、δ 和 γ 色散之間僅存在兩種色散過渡區，它們分別是 β 和 δ 色散過渡區，δ 色散和 γ 色散過渡區。
（3）腦白質 β 和 δ 色散過渡區間與 δ 和 γ 色散過渡區間頻率范圍均寬于腦灰質對應的這兩種過度區間，同時在腦灰質中 β 和 γ 色散之間沒有過渡區。
（4）在腦白質中 β 和 δ 色散過渡區間與 β 和 γ 色散過渡區間，占核心地位的色散方式均是 β 色散，其相應的極化方式為界面極化；腦白質的 δ 和 γ 色散過渡區間內占核心地位的色散方式是 δ 色散，其對應的極化方式為轉向極化。
（5）腦灰質的 β 和 δ 色散過渡區間內占核心地位的色散方式為 β 色散，其對應的極化方式為界面極化；腦灰質的 δ 和 γ 色散過渡區間內占核心地位的色散方式為 δ 色散，其對應的極化方式為轉向極化。
本研究豐富了腦白質和腦灰質在微波頻段的色散特性基礎研究，闡述了高頻段腦白質和腦灰質色散過度區間的機制，同時也為生物組織微波成像的頻率選擇提供了參數依據。
