本文在傳統自由變形算法的基礎上,提出了一種應用在人體骨骼快速三維重建的單位自由變形(FFD)算法。文中以股骨為例,依據單位自由變形算法實現利用兩張X線片對股骨進行快速三維模型重建的工作。利用專業C臂機上獲取兩張正交方向拍攝的X線片,并保留拍攝參數;借助X線片提供的輪廓信息對標準模型進行個性化三維重建。文中通過點配對算法建立了X線片外輪廓與三維標準模型外輪廓之間的對應關系,將傳統自由變形算法進行簡化設計,利用單位自由變形控制格對標準模型進行重建,最終使得X線片外輪廓與標準模型外輪廓一致,從而獲得個性化的股骨三維模型。選取35例尸體股骨樣本設計外形精度、魯棒性和重建速度實驗,最終得到全骨的二維點配對平均時間為20 s,平均重建時間為112 s;三維模型的外形平均誤差為0.52 mm,且精度和速度均保持穩定,具有良好的魯棒性。本研究將傳統自由變形算法簡化應用到重建模型算法中,使得重建時間減少,重建精度達到傳統方法要求,同時具備良好的可重復性,在臨床應用和相關科學研究中具有很好的應用前景。
引用本文： 曾祥森, 周海, 王成燾, 王冬梅, 陳功. 自由變形算法在快速骨重建中的應用. 生物醫學工程學雜志, 2014, 31(5): 1121-1126. doi: 10.7507/1001-5515.20140211 復制
引言
自由變形(free-form deformation,FFD)算法是Sederberg等[1]在1986年提出的一種針對實體幾何模型進行自由狀態變形的技術，算法可以用于任意實體模型，任意類型或階數的基本曲面，例如平面、二次曲面、參數曲面、隱式曲面。在隨后的研究中，針對不同的應用環境對FFD算法又進行了擴展和改進，如擴展FFD(extended FFD)[2]、非曲線有理B樣條FFD(NURBS FFD)[3]和三角網格的FFD[4]。
臨床診斷和術前規劃中，X線片檢查因費用低廉使用方便而被廣泛應用。然而，目前許多臨床技術中需要用到三維模型，如植入設計[5]、有限元分析[6]、導航技術[7]和計算機輔助手術規劃中的圖像增強[8]、虛擬訓練和教育技術[9]。鑒于這些需要，研究人員開始研究利用計算機斷層掃描(computed tomography,CT)或磁共振成像(magnetic resonance imaging,MRI)設備采集到的數據重建三維骨模型[10]。但是，利用CT數據重建三維模型對患者的輻射劑量比X線片檢查高百倍；CT和MRI數據量大，重建過程處理復雜耗費時間，無法實現快速重建；另外，CT和MRI價格昂貴，是普通X線片檢查的十倍。因此，利用二維X線片提供的局部信息來重建骨骼三維模型是一個很有意義的課題，也是全新的挑戰領域。本文介紹了一種基于FFD算法的，利用二維圖像和標準三維模型重建個性化三維股骨模型的快速方法。
1 材料與方法
1.1 X線片及其輪廓的獲取
在大多數臨床檢查中采用的X線片通常是以大致90°的正交方向分別獲取的，這樣的拍攝具有隨意性，不能保證正側位片的完全正交，在三維重建過程中會引入隨機誤差，直接影響三維重建的精度。為此，本文采用C臂機拍攝X線片，C臂機可以通過數控電機移動光源在任意角度進行X線片拍攝，這樣獲得的兩張X線片之間的角度誤差完全由C臂機的制造誤差決定，屬于可控誤差。拍攝得到的X線片均采用醫學圖像中常用的醫學數字成像和通信(Digital Imaging and Communications in Medicine,DICOM)格式進行存儲。
利用二維圖像重建三維模型首先要獲得清晰和準確的外輪廓。校準后的股骨X線片作為輸入項。采用Canny邊緣檢測算法[11]來提取圖像的外輪廓。利用Matlab軟件中Canny算子包編制X線片外輪廓的提取程序，X線片骨骼外輪廓提取出來后，對外輪廓進行離散化處理，令其以單像素點的形式保存，將這像素點坐標值定義成一個點集I={Ii,i=0,1,…,Q-1}，其中Q表示點的數量。
1.2 標準三維模型外輪廓的提取
本文中使用的股骨標準模型來自于“中國力學虛擬人”這一國家自然科學基金重點項目(30530230)[12]，采樣標本(男，35歲，身高170 cm，體重65 kg)浸入水中在－30 ℃條件下存儲一周，接下來用精密銑床按0.1~1 mm的進給量進行切削，并提取每個截面的圖像信息，在計算機中真實還原出來。
為了準確快速地從平滑標準模型中提取輪廓，我們采用模擬X線拍攝的方式對標準模型進行投影。利用拍攝X線片時記錄的投影信息對三維標準模型進行模擬投影，從而獲得標準三維模型的三維輪廓，該輪廓在三維坐標系中我們將它定義為有限數量的點集Ω={Ωk,k=0,1,…,P-1}，其中P表示點的個數。這個三維輪廓經模擬投影后可以獲得一個二維輪廓，我們以二維點集{Mj}表示，這樣，三維點集Ω與二維點集{Mj}中的三維點和二維點構成一一對應的關系。
1.3 二維輪廓點的配對
本文提出的個性化三維模型重建是通過X線輪廓指導三維模型的重建，最終使得重建后的三維模型投影輪廓與X線片輪廓達到一致。為了實現這一點，X線片外輪廓與標準模型投影外輪廓之間需要建立對應關系，這個過程稱之為點配對過程。
配對的點應當滿足三個要求：① 每組點集中的點與另一個點集中的點要唯一對應；② 對應點之間的連線不得有交叉；③ 特征點位置要保證一致。本文采用了一種直接配對的方法來將兩個二維輪廓進行點對應，稱之為同位置對應點配對方法(見圖 1)。首先，利用X線標記對拍攝的X線片進行校準計算[13]。利用矩分析計算兩組點的質心位置，將兩組點的位置放至重合，然后調整標準模型姿態與X線片中一致，最后將對應位置的點作為一個點對建立起點和點的配對關系。
圖1
標準模型外輪廓與X線片外輪廓之間對應點的配對
Figure1.
Point matching of contour from X-ray images and standard models
1.4 個性化三維模型的重建
進行三維重建時，我們用到了FFD算法對標準三維模型進行改造。FFD算法是一種自由變形算法，其原理是將要變化的模型放入一個可變的矩形空間中，而不是對模型進行直接修改。這個矩形空間稱之為控制格，它由若干個控制點來控制其形狀(見圖 2)。模型上所有的點將被賦予一個局部坐標。當控制點移動的時候控制格中模型上的點位置坐標將由控制點新坐標的加權和得出。加權和由如下公式給出：
| $\begin{align} & ~q\left( u,v,w \right)=\sum\limits_{i=0}^{n}{\sum\limits_{j=0}^{n}{\sum\limits_{k=0}^{n}{{{P}_{ijk}}{{B}_{i}}\left( u \right){{B}_{j}}\left( v \right){{B}_{k}}\left( w \right)\text{ }}}} \\ & 0\le u\le 1,0\le v\le 1,0\le w\le 1, \\ \end{align}$ |
式中u、v和w分別為控制格中的局部坐標，q(u,v,w)為變形后點的空間位置，Pijk為構成控制格的控制點，Bi(u)、Bj(v)和Bk(w)分別為n階伯恩斯坦多項式，即
| ${{B}_{i}}=\frac{n!}{i!\left( n-i \right)!}{{u}^{i}}{{\left( 1-u \right)}^{n-i}}~,$ |
任意點X在用局部坐標可表示為
| $X={{X}_{0}}+uU+vV+\text{ }wW,$ |
式中X0為控制格原點的全局坐標。
圖2
自由變形算法的定義
Figure2.
Definition of FFD
從式(1)中可以看出FFD算法其階數由n決定，點q(u,v,w)與8n個控制點位置相關，計算過程中需要進行n3×3次乘法運算和n3次加法運算，當n≥2時是一個高階函數，隨著階數n的提高，其解的復雜程度會以幾何級數增加，同時這樣的高階函數無法在變形計算中進行直觀的局部變形；因此，我們將控制格進行細化，用最少的控制點在模型的每個局部位置定義一個控制格，從而減少計算的復雜程度，同時對局部進行直觀可控的變形計算。在我們的研究中，采用了FFD算法的最簡單形式來定義控制格，即單位FFD算法，即n=1。這樣定義的控制格只有8個控制點(Pi,i=1,2,…,8)(見圖 2)，分別是矩形控制格的八個頂點。每個頂點Pi都有x、y、z三個方向上移動的自由度，因此，每個控制格中有8×3=24個參數。這時，每個控制格中點坐標的計算量只有8次加法運算和8次乘法運算，在獲得相同計算精度的情況下計算量大大減少。
通過正側位的點配對可以獲得點P1~P8的x、y、z坐標值，從側位圖(LAT，C2方向)的點配對中獲得z和y坐標，由于正位片與側位片的z值是一樣的，因此，只需要從正位片(AP，C1方向)中獲得x坐標值，令n=1，單位控制格計算公式為
| $\begin{align} & q\left( u,v,w \right)=\sum\limits_{i=0}^{n}{\sum\limits_{j=0}^{n}{\sum\limits_{k=0}^{n}{{{P}_{ijk}}{{B}_{i}}\left( u \right){{B}_{i}}\left( v \right){{B}_{k}}\left( w \right)\text{ }}}} \\ & \text{ }0\le u\le 1,0\le v\le 1,0\le w\le 1 \\ \end{align}$ |
在重建過程中，最理想的方法是利用輪廓上的點直接構成立方體結構，但實際情況中骨骼輪廓通常是非線性的曲線，這樣獲得的控制格是一個非規則的八面體，根據不同部位，產生了四種類型的非規則八面體控制格結構(見圖 3，圖中是八面體側面)。根據FFD的定義[1]，每個控制格應為立方體結構。為此，在控制格中引入虛擬點來輔助構成立方體結構，以圖 3(c)為例，P1~P4為正位平面上構成控制格的控制點，四個點構成一個非矩形四邊形，為了令控制格成規則立方體，引入虛擬點P1′和P3′，這樣P2、P1′、P3′和P4構成了立方體控制格在正位平面上的投影。P1~P4及其對應點在上節點配對過程中已經獲得，將P1和P3對應點的坐標分別代入式(4)，解二元一次方程組可得虛擬點的對應點位置P1′和P3′。如此對每一個單位控制格進行計算，最終三維模型的輪廓與X線片輪廓完全重合。
圖3
單位控制格在正位方向上的投影
(a)~(d)分別表示四種投影情況
Figure3. AP projection of unit control lattice(a)-(d) represent the four types of projection,respectively
2 實驗
三維骨模型重建技術中，利用CT數據進行三維重建被認為是精度最高的方法。因此，對所有樣本股骨進行了CT全骨拍攝，并用傳統方法重建了全骨三維模型，以CT數據建立的模型作為參照模型。試驗中選取了35具沒有明顯畸形的尸體股骨，平均年齡33歲，男性，年齡25~56歲。實驗由三個部分構成，分別是外形精度、算法魯棒性以及重建時間。重建計算工作利用個人計算機完成，硬件配置為：3.2 GHz 雙核CPU、3 GB內存卡；預裝Windows XP操作系統、C++語言和Matlab編程語言。
2.1 外形精度
為了量化外形誤差，將重建后的三維模型與利用CT數據重建的標準參照模型進行疊加比較。通過平移、旋轉操作及最小二乘匹配的方法進行最大程度的重合。在獲得兩個重合模型之后測量解剖標志點上重建模型與參照模型之間的距離，以此作為衡量形狀誤差的量化標準。測量參數中分別選擇了大轉子、股骨頸、小轉子、股骨嵴、髁間窩、內上髁、外側上髁、內側髁八個解剖標志點。圖 4中給出了實驗獲得的平均誤差、均方根誤差和最大誤差值。
圖4
重建模型與標準參照模型在標志點處的誤差值
Figure4.
Reconstruction error of land marks
2.2 魯棒性和重建時間
三維模型重建方法的魯棒性是能否在臨床得以應用的一個重要參數。為了檢驗本算法能否對臨床不同個體股骨穩定建立三維模型，我們設計了一組實驗，給出六組不同角度拍攝的X線片，重建模型后與參照模型進行外形精度測量，得出的結果如圖 5所示。
圖5
不同角度X線片重建模型在標志點處的誤差值
Figure5.
Error at land marks of models reconstructed from different angles
在軟件中加入計時命令，所有模型重建過程中都記錄了從計算開始到新模型生成所需的時間。從測量的結果來看，平均重建所需時間為112 s。
由圖 4可見，對于形狀精度誤差而言，產生平均誤差最大的位置為踝間窩(1.2 mm)，平均誤差最小的位置為股骨嵴(0.3 mm)。由于肌肉連接點處的骨骼受力情況不同，在這些位置通常會產生實際形狀的多樣性，髁間窩等骨肌相連位置的誤差較大，也從另一個方面驗證了生物差異性產生的原因。
由于骨密度的個體差異，股骨內部結構具有較大的個體差異，因此，我們重建的三維模型的內部結構信息僅作為參考，松質骨重建不在本文的討論范圍之中。盡管如此，從我們的測量結果可看到外形平均誤差為0.52 mm。該結果低于其它方法獲得的平均誤差值(0.7~2.6 mm)[14]。
從圖 5中結果可以看出利用不同角度X線片重建的股骨模型有著相似的重建精度。結合圖 4結果可以看到，每個解剖標志點的標準偏差范圍為0.2~0.7 mm，因此，本文提出的方法具有很好的可重復性和魯棒性。
對于臨床應用，計算時間是一個很關鍵的因素。Pomero等[15]提出的重建方法需要14 min來完成重建的計算；盡管有些快速重建的方法只需要1~2 min，但這僅僅是完成股骨遠端的重建，對全骨的三維重建還另外需要8 min[16]。Le Bras等[17]提出的方法需要10~20 min才能最終完成股骨遠端的模型重建。我們在所有的重建試驗中記錄下了重建時間，得到平均時間為112 s，這個重建速度完全滿足臨床應用或者科研工作中對模型重建速度的要求。
3 結論
本文通過前期對X線圖像和標準模型的處理將傳統FFD算法應用到股骨模型的快速三維重建中。正位片和側位片可以利用臨床設備獲取。從實驗結果來看，利用本文提出的方法進行三維股骨的重建，其精度能夠滿足臨床醫學及科研工作的需求，而重建花費的時間遠遠低于傳統CT或MRI三維重建方法。由于本文的快速重建方法只需要臨床診斷中常用的X線片，對患者和臨床醫生的輻射影響遠遠小于CT重建方法，而且X線片的費用只有CT或MRI的十分之一。利用簡化的單位FFD控制格算法大大提高了骨模型的重建速度，令個性化骨骼模型快速重建在術前規劃、術中模擬以及其他科研領域更具吸引力，具有更廣闊的應用前景。
引言
自由變形(free-form deformation,FFD)算法是Sederberg等[1]在1986年提出的一種針對實體幾何模型進行自由狀態變形的技術，算法可以用于任意實體模型，任意類型或階數的基本曲面，例如平面、二次曲面、參數曲面、隱式曲面。在隨后的研究中，針對不同的應用環境對FFD算法又進行了擴展和改進，如擴展FFD(extended FFD)[2]、非曲線有理B樣條FFD(NURBS FFD)[3]和三角網格的FFD[4]。
臨床診斷和術前規劃中，X線片檢查因費用低廉使用方便而被廣泛應用。然而，目前許多臨床技術中需要用到三維模型，如植入設計[5]、有限元分析[6]、導航技術[7]和計算機輔助手術規劃中的圖像增強[8]、虛擬訓練和教育技術[9]。鑒于這些需要，研究人員開始研究利用計算機斷層掃描(computed tomography,CT)或磁共振成像(magnetic resonance imaging,MRI)設備采集到的數據重建三維骨模型[10]。但是，利用CT數據重建三維模型對患者的輻射劑量比X線片檢查高百倍；CT和MRI數據量大，重建過程處理復雜耗費時間，無法實現快速重建；另外，CT和MRI價格昂貴，是普通X線片檢查的十倍。因此，利用二維X線片提供的局部信息來重建骨骼三維模型是一個很有意義的課題，也是全新的挑戰領域。本文介紹了一種基于FFD算法的，利用二維圖像和標準三維模型重建個性化三維股骨模型的快速方法。
1 材料與方法
1.1 X線片及其輪廓的獲取
在大多數臨床檢查中采用的X線片通常是以大致90°的正交方向分別獲取的，這樣的拍攝具有隨意性，不能保證正側位片的完全正交，在三維重建過程中會引入隨機誤差，直接影響三維重建的精度。為此，本文采用C臂機拍攝X線片，C臂機可以通過數控電機移動光源在任意角度進行X線片拍攝，這樣獲得的兩張X線片之間的角度誤差完全由C臂機的制造誤差決定，屬于可控誤差。拍攝得到的X線片均采用醫學圖像中常用的醫學數字成像和通信(Digital Imaging and Communications in Medicine,DICOM)格式進行存儲。
利用二維圖像重建三維模型首先要獲得清晰和準確的外輪廓。校準后的股骨X線片作為輸入項。采用Canny邊緣檢測算法[11]來提取圖像的外輪廓。利用Matlab軟件中Canny算子包編制X線片外輪廓的提取程序，X線片骨骼外輪廓提取出來后，對外輪廓進行離散化處理，令其以單像素點的形式保存，將這像素點坐標值定義成一個點集I={Ii,i=0,1,…,Q-1}，其中Q表示點的數量。
1.2 標準三維模型外輪廓的提取
本文中使用的股骨標準模型來自于“中國力學虛擬人”這一國家自然科學基金重點項目(30530230)[12]，采樣標本(男，35歲，身高170 cm，體重65 kg)浸入水中在－30 ℃條件下存儲一周，接下來用精密銑床按0.1~1 mm的進給量進行切削，并提取每個截面的圖像信息，在計算機中真實還原出來。
為了準確快速地從平滑標準模型中提取輪廓，我們采用模擬X線拍攝的方式對標準模型進行投影。利用拍攝X線片時記錄的投影信息對三維標準模型進行模擬投影，從而獲得標準三維模型的三維輪廓，該輪廓在三維坐標系中我們將它定義為有限數量的點集Ω={Ωk,k=0,1,…,P-1}，其中P表示點的個數。這個三維輪廓經模擬投影后可以獲得一個二維輪廓，我們以二維點集{Mj}表示，這樣，三維點集Ω與二維點集{Mj}中的三維點和二維點構成一一對應的關系。
1.3 二維輪廓點的配對
本文提出的個性化三維模型重建是通過X線輪廓指導三維模型的重建，最終使得重建后的三維模型投影輪廓與X線片輪廓達到一致。為了實現這一點，X線片外輪廓與標準模型投影外輪廓之間需要建立對應關系，這個過程稱之為點配對過程。
配對的點應當滿足三個要求：① 每組點集中的點與另一個點集中的點要唯一對應；② 對應點之間的連線不得有交叉；③ 特征點位置要保證一致。本文采用了一種直接配對的方法來將兩個二維輪廓進行點對應，稱之為同位置對應點配對方法(見圖 1)。首先，利用X線標記對拍攝的X線片進行校準計算[13]。利用矩分析計算兩組點的質心位置，將兩組點的位置放至重合，然后調整標準模型姿態與X線片中一致，最后將對應位置的點作為一個點對建立起點和點的配對關系。
圖1
標準模型外輪廓與X線片外輪廓之間對應點的配對
Figure1.
Point matching of contour from X-ray images and standard models
1.4 個性化三維模型的重建
進行三維重建時，我們用到了FFD算法對標準三維模型進行改造。FFD算法是一種自由變形算法，其原理是將要變化的模型放入一個可變的矩形空間中，而不是對模型進行直接修改。這個矩形空間稱之為控制格，它由若干個控制點來控制其形狀(見圖 2)。模型上所有的點將被賦予一個局部坐標。當控制點移動的時候控制格中模型上的點位置坐標將由控制點新坐標的加權和得出。加權和由如下公式給出：
| $\begin{align} & ~q\left( u,v,w \right)=\sum\limits_{i=0}^{n}{\sum\limits_{j=0}^{n}{\sum\limits_{k=0}^{n}{{{P}_{ijk}}{{B}_{i}}\left( u \right){{B}_{j}}\left( v \right){{B}_{k}}\left( w \right)\text{ }}}} \\ & 0\le u\le 1,0\le v\le 1,0\le w\le 1, \\ \end{align}$ |
式中u、v和w分別為控制格中的局部坐標，q(u,v,w)為變形后點的空間位置，Pijk為構成控制格的控制點，Bi(u)、Bj(v)和Bk(w)分別為n階伯恩斯坦多項式，即
| ${{B}_{i}}=\frac{n!}{i!\left( n-i \right)!}{{u}^{i}}{{\left( 1-u \right)}^{n-i}}~,$ |
任意點X在用局部坐標可表示為
| $X={{X}_{0}}+uU+vV+\text{ }wW,$ |
式中X0為控制格原點的全局坐標。
圖2
自由變形算法的定義
Figure2.
Definition of FFD
從式(1)中可以看出FFD算法其階數由n決定，點q(u,v,w)與8n個控制點位置相關，計算過程中需要進行n3×3次乘法運算和n3次加法運算，當n≥2時是一個高階函數，隨著階數n的提高，其解的復雜程度會以幾何級數增加，同時這樣的高階函數無法在變形計算中進行直觀的局部變形；因此，我們將控制格進行細化，用最少的控制點在模型的每個局部位置定義一個控制格，從而減少計算的復雜程度，同時對局部進行直觀可控的變形計算。在我們的研究中，采用了FFD算法的最簡單形式來定義控制格，即單位FFD算法，即n=1。這樣定義的控制格只有8個控制點(Pi,i=1,2,…,8)(見圖 2)，分別是矩形控制格的八個頂點。每個頂點Pi都有x、y、z三個方向上移動的自由度，因此，每個控制格中有8×3=24個參數。這時，每個控制格中點坐標的計算量只有8次加法運算和8次乘法運算，在獲得相同計算精度的情況下計算量大大減少。
通過正側位的點配對可以獲得點P1~P8的x、y、z坐標值，從側位圖(LAT，C2方向)的點配對中獲得z和y坐標，由于正位片與側位片的z值是一樣的，因此，只需要從正位片(AP，C1方向)中獲得x坐標值，令n=1，單位控制格計算公式為
| $\begin{align} & q\left( u,v,w \right)=\sum\limits_{i=0}^{n}{\sum\limits_{j=0}^{n}{\sum\limits_{k=0}^{n}{{{P}_{ijk}}{{B}_{i}}\left( u \right){{B}_{i}}\left( v \right){{B}_{k}}\left( w \right)\text{ }}}} \\ & \text{ }0\le u\le 1,0\le v\le 1,0\le w\le 1 \\ \end{align}$ |
在重建過程中，最理想的方法是利用輪廓上的點直接構成立方體結構，但實際情況中骨骼輪廓通常是非線性的曲線，這樣獲得的控制格是一個非規則的八面體，根據不同部位，產生了四種類型的非規則八面體控制格結構(見圖 3，圖中是八面體側面)。根據FFD的定義[1]，每個控制格應為立方體結構。為此，在控制格中引入虛擬點來輔助構成立方體結構，以圖 3(c)為例，P1~P4為正位平面上構成控制格的控制點，四個點構成一個非矩形四邊形，為了令控制格成規則立方體，引入虛擬點P1′和P3′，這樣P2、P1′、P3′和P4構成了立方體控制格在正位平面上的投影。P1~P4及其對應點在上節點配對過程中已經獲得，將P1和P3對應點的坐標分別代入式(4)，解二元一次方程組可得虛擬點的對應點位置P1′和P3′。如此對每一個單位控制格進行計算，最終三維模型的輪廓與X線片輪廓完全重合。
圖3
單位控制格在正位方向上的投影
(a)~(d)分別表示四種投影情況
Figure3. AP projection of unit control lattice(a)-(d) represent the four types of projection,respectively
2 實驗
三維骨模型重建技術中，利用CT數據進行三維重建被認為是精度最高的方法。因此，對所有樣本股骨進行了CT全骨拍攝，并用傳統方法重建了全骨三維模型，以CT數據建立的模型作為參照模型。試驗中選取了35具沒有明顯畸形的尸體股骨，平均年齡33歲，男性，年齡25~56歲。實驗由三個部分構成，分別是外形精度、算法魯棒性以及重建時間。重建計算工作利用個人計算機完成，硬件配置為：3.2 GHz 雙核CPU、3 GB內存卡；預裝Windows XP操作系統、C++語言和Matlab編程語言。
2.1 外形精度
為了量化外形誤差，將重建后的三維模型與利用CT數據重建的標準參照模型進行疊加比較。通過平移、旋轉操作及最小二乘匹配的方法進行最大程度的重合。在獲得兩個重合模型之后測量解剖標志點上重建模型與參照模型之間的距離，以此作為衡量形狀誤差的量化標準。測量參數中分別選擇了大轉子、股骨頸、小轉子、股骨嵴、髁間窩、內上髁、外側上髁、內側髁八個解剖標志點。圖 4中給出了實驗獲得的平均誤差、均方根誤差和最大誤差值。
圖4
重建模型與標準參照模型在標志點處的誤差值
Figure4.
Reconstruction error of land marks
2.2 魯棒性和重建時間
三維模型重建方法的魯棒性是能否在臨床得以應用的一個重要參數。為了檢驗本算法能否對臨床不同個體股骨穩定建立三維模型，我們設計了一組實驗，給出六組不同角度拍攝的X線片，重建模型后與參照模型進行外形精度測量，得出的結果如圖 5所示。
圖5
不同角度X線片重建模型在標志點處的誤差值
Figure5.
Error at land marks of models reconstructed from different angles
在軟件中加入計時命令，所有模型重建過程中都記錄了從計算開始到新模型生成所需的時間。從測量的結果來看，平均重建所需時間為112 s。
由圖 4可見，對于形狀精度誤差而言，產生平均誤差最大的位置為踝間窩(1.2 mm)，平均誤差最小的位置為股骨嵴(0.3 mm)。由于肌肉連接點處的骨骼受力情況不同，在這些位置通常會產生實際形狀的多樣性，髁間窩等骨肌相連位置的誤差較大，也從另一個方面驗證了生物差異性產生的原因。
由于骨密度的個體差異，股骨內部結構具有較大的個體差異，因此，我們重建的三維模型的內部結構信息僅作為參考，松質骨重建不在本文的討論范圍之中。盡管如此，從我們的測量結果可看到外形平均誤差為0.52 mm。該結果低于其它方法獲得的平均誤差值(0.7~2.6 mm)[14]。
從圖 5中結果可以看出利用不同角度X線片重建的股骨模型有著相似的重建精度。結合圖 4結果可以看到，每個解剖標志點的標準偏差范圍為0.2~0.7 mm，因此，本文提出的方法具有很好的可重復性和魯棒性。
對于臨床應用，計算時間是一個很關鍵的因素。Pomero等[15]提出的重建方法需要14 min來完成重建的計算；盡管有些快速重建的方法只需要1~2 min，但這僅僅是完成股骨遠端的重建，對全骨的三維重建還另外需要8 min[16]。Le Bras等[17]提出的方法需要10~20 min才能最終完成股骨遠端的模型重建。我們在所有的重建試驗中記錄下了重建時間，得到平均時間為112 s，這個重建速度完全滿足臨床應用或者科研工作中對模型重建速度的要求。
3 結論
本文通過前期對X線圖像和標準模型的處理將傳統FFD算法應用到股骨模型的快速三維重建中。正位片和側位片可以利用臨床設備獲取。從實驗結果來看，利用本文提出的方法進行三維股骨的重建，其精度能夠滿足臨床醫學及科研工作的需求，而重建花費的時間遠遠低于傳統CT或MRI三維重建方法。由于本文的快速重建方法只需要臨床診斷中常用的X線片，對患者和臨床醫生的輻射影響遠遠小于CT重建方法，而且X線片的費用只有CT或MRI的十分之一。利用簡化的單位FFD控制格算法大大提高了骨模型的重建速度，令個性化骨骼模型快速重建在術前規劃、術中模擬以及其他科研領域更具吸引力，具有更廣闊的應用前景。
