在放射治療中,混合筆束模型(HPBM)是一種計算電子束劑量分布的有效方法。而入射電子束的平均能量分布是影響HPBM精度的因素之一,特別是在電子束射程末端的地方。本文以蒙特卡洛(MC)程序對6~20 MeV范圍內電子束在水介質中平均能量分布模擬結果為基礎,提出了一種新的擬合公式,并將擬合公式和已有的經驗公式分別計算的平均能量代入到HPBM中,以美國高能電子束治療計劃聯合工作組(ECWG)實測電子束劑量分布的數據為參考,評估了該能量范圍內擬合公式的精度。結果顯示,由擬合公式計算平均能量得到的劑量分布精度有大約1%的提高。
引用本文： 張樹芝, 劉樂樂, 徐云, 吳章文, 侯氫, 許安建, 勾成俊. 均勻水介質中計算電子束平均能量的擬合公式. 生物醫學工程學雜志, 2014, 31(3): 516-519,542. doi: 10.7507/1001-5515.20140096 復制
引言
不同于光子束的深度劑量分布，在到達一定深度后，高能電子束引起的能量沉積將快速下降。這樣，在電子束放射治療中，腫瘤后方的正常組織只承受非常小的劑量照射[1]。因此，對于淺表部位的照射，電子束是一種比較理想的治療模式，但它在人體內劑量分布的精確計算仍然面臨著一定的困難。目前，很多放射治療計劃系統中電子束的劑量計算是以筆束模型為基礎的[2-12]，其基本原理是把寬電子束分成很多小的微束，總的劑量分布由所有微束劑量分布的疊加獲得。因此，筆束劑量計算的精確度直接影響電子束劑量分布計算的精度。
通過將雙群模型[13-14]應用到Fermi-Eyges理論中，Luo等[9]提出了混合筆束模型(hybrid-pencil beam model,HPBM)。HPBM可以快速準確地計算電子束在人體中的三維劑量分布，但是，在射野邊緣和電子射程末端處，其計算精度有待進一步的提高[15]。
在HPBM中，電子束的劑量分布由深度劑量分布和側向分布兩部分組成，并同時使用不同的模型進行計算。其中深度劑量分布由雙群模型計算，其精確度與蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)方法的計算結果相當[13-14]。而側向分布由Fermi-Eyges理論計算，計算公式為[9]
| ${{G}_{FE}}\left( x,y,z,\hat{u},E \right)=\frac{exp\frac{\left( -{{A}_{0}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-2{{A}_{1}}(x{{\theta }_{x}}+y{{\theta }_{y}})+{{A}_{2}}({{\theta }^{2}}y+{{\theta }^{2}}y) \right)}{A}}{{{\pi }^{2}}A},$ |
式(1)中參數A0、A1、A2和A的公式分別為
| ${{A}_{0}}\left( z \right)=\int\limits_{0}^{z}{T\left( t \right)}dt$ |
| ${{A}_{1}}\left( z \right)=\int\limits_{0}^{z}{T\left( t \right)}\left( z-t \right)dt,$ |
| ${{A}_{2}}\left( z \right)=\int\limits_{0}^{z}{T\left( t \right)}{{\left( z-t \right)}^{2}}dt,$ |
| $A\left( z \right)={{A}_{0}}\left( z \right){{A}_{2}}\left( z \right)-{{A}_{1}}^{2}\left( z \right),$ |
以及散射本領為
| $\begin{align} & T\left( {{E}_{t}} \right)=2\pi \Sigma i{{N}_{i}}\int\limits_{0}^{\pi }{si{{n}^{2}}\theta }{{\sigma }_{i}}({{E}_{i}},\theta )sin\theta d\theta \approx \\ & 4\pi \Sigma i{{N}_{i}}\int\limits_{0}^{\pi }{(1-cos\theta )}{{\sigma }_{i}}({{E}_{t}},\theta )sin\theta d\theta = \\ & 2{{\sigma }_{tr}}({{E}_{t}}), \\ \end{align}$ |
其中σtr(Et)是能量為Et的電子的輸運截面。Et是當入射電子束的初始能量為E0時，在入射深度t處的平均能量。
從式(1)~(6)可以看出，在給定深度處，電子的側向劑量分布與電子在該深度處的平均能量有關。對電子束在介質中不同深度平均能量的精確計算，有利于進一步提升HPBM的計算精度。
對于平均能量Et的計算，文獻[16]中，在臨床常用電子束能量范圍內，以MC模擬結果為參考，給出了在均勻水介質中目前幾個較常用的經驗公式的計算精度分析。并得出已有的經驗公式對于計算電子束的平均能量存在較大的誤差，特別是在射程末端的結論。為了提高計算電子束在均勻水介質中平均能量的精度，從而進一步提高HPBM的計算精度，本文提出了一個更精確的計算水介質中入射電子束平均能量分布的擬合公式。
1 模擬設置
本文所使用的MC程序為MCNP4C版的模擬程序包，在模擬過程中，使用單能電子束垂直入射在介質表面，入射方向為z軸，垂直于z軸的截面大小為10 cm×10 cm，深度設置為入射電子束射程的1.5倍，入射點為坐標原點，深度方向的間隔為0.25 cm。為了得到電子束的平均能量，在輸入文件的設置中使用了*F4計數卡(即計算通過每個體積元的平均通量)。
為了達到一定的模擬統計精度，入射電子數目為 2×105個。這個數目的電子，使得除了在接近射程末端0.75~1.25 cm外,其他入射深度上的統計誤差均小于1.5%。在射程的末端之所以有相對較大的誤差，主要是因為MC模擬電子束的輸運過程中，電子在入射深度上與物質發生相互作用，到達射程末端時電子的數目已經大大減少，統計誤差就會隨著增大，輸運過程考慮了電子和光子的輸運，電子的截止能量為 0.001 MeV(不包括電子靜止質量)，光子的截止能量為0.001 MeV。在PC計算機平臺上(RAM:1G,CPU類型：雙核，英特爾，奔騰D，3.0G，系統類型：Windows 7)，最長的模擬時間為7.3 h。
2 擬合公式
本文所提出的新的擬合公式，是以MC程序對臨床常用的電子束在均勻水介質中平均能量分布模擬結果為基礎擬合的。首先對6、9、12、15和20 MeV入射電子束的平均能量進行模擬，以模擬結果為基礎擬合出公式，然后再用8、10和18 MeV入射電子束的模擬結果，對該擬合公式的計算精度進行評估。對于6、9、12、15和20 MeV電子束的MC程序模擬結果，以及根據模擬結果的擬合結果，兩者的比較如圖 1所示，其中實線是MC程序模擬的結果，虛線是擬合結果。
圖1
均勻水介質中，6、9、12、15和20 MeV電子束平均能量的分布
Figure1.
Mean energy distributions for 6,9,12,15 and 20 MeV electron beams in water phantom
根據擬合結果得到的擬合公式為
| $\begin{align} & {{E}_{t}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}p/1+{{10}^{(\left( {{B}_{1}}-z \right){{h}_{1}})}}+ \\ & {{A}_{2}}\left( 1-p \right)/1+{{10}^{(\left( {{B}_{2}}-z \right){{h}_{2}})}}, \\ \end{align}$ |
其中z為電子束在均勻水介質中的入射深度，單位是cm，參數A1、A2、B1、B2、h1、h2和p僅與入射能量有關，可寫為
| ${{A}_{1}}=0.12106-0.03067{{E}_{0}},$ |
| ${{A}_{2}}=-1.39785+1.31055{{E}_{0}},$ |
| ${{B}_{1}}=-0.3693+0.18898{{E}_{0}}-0.0026{{E}^{2}}_{0},$ |
| ${{B}_{2}}=-0.05825+0.36642{{E}_{0}},$ |
| ${{h}_{1}}=-0.0453-4.2487\left( /1+{{({{E}_{0}}/2.15923)}^{1.42205}} \right),$ |
| ${{h}_{2}}=0.11573-24.29723/\left( 1+{{({{E}_{0}}/0.19523)}^{0.79128}} \right),$ |
| $p=0.87206-1.02586/\left( 1+{{({{E}_{0}}/6.53599)}^{1.45854}} \right),~$ |
上式中E0為電子束的入射能量，單位為MeV。為了更進一步地評估擬合公式的精確度，我們將擬合公式和MC模擬的最大誤差(Emax)、相對誤差(RE)、發生最大誤差的深度(z)以及相對深度(Rz)列入表 1中。其中，Emax由MC模擬值減去擬合公式計算值得到；RE為最大誤差占相應入射能量的百分比，由最大誤差的絕對值比上入射能量得到；z為發生最大誤差的入射深度；Rz為發生最大誤差深度與相對電子束射程的比值。
從表 1中可以看出，對于6、 9、 12、 15和20 MeV入射的電子束，MC模擬值和擬合公式的計算值的最大差異為0.21 MeV，并且為12 MeV和15 MeV電子束共有，且發生在同一入射深度。
表1
6、9、12、15和20 MeV入射電子束的平均能量分布，MC模擬值和擬合公式計算值之間Emax、RE、z以及Rz的比較
Table1.
Comparison of Emax,RE,z and Rz of mean energy distributions between MC simulation and the fitted formula calculation for 6,9,12,15 and 20 MeV electron beams
3 擬合公式的驗證
由圖 1和表 1以及上述分析可以看出，對于6、9、12、15和20 MeV的電子束，MC模擬值和擬合公式的計算值之間的誤差較小。這是由于擬合公式是以6、9、12、15和20 MeV入射電子束的MC模擬結果為基礎擬合的。因此，為了進一步驗證擬合公式的精確度，我們在臨床使用范圍內隨意挑選出8、10和18 MeV的入射電子束，以MC模擬結果為參考，評估由擬合公式計算得到的平均能量分布的精確度，如圖 2所示。
圖2
8、10和18 MeV入射電子束平均能量的分布，MC模擬結果和擬合公式計算結果的比較
Figure2.
Comparison of mean energy distributions between the MC simulation and the fitted formula calculation for 8,10 and 18 MeV electron beams
對于8、10和18 MeV入射電子束平均能量分布，MC模擬值和擬合公式計算值之間的Emax、RE、z以及Rz我們也進行了相同的比較，如表 2所示。
為了進一步地評估擬合公式的精確度，對于8、10和18 MeV的入射電子束，表 2展示了與表 1相同的參數。從表 2中可以看出，擬合公式計算值和MC程序模擬值之間的最大誤差僅僅為0.24 MeV，最大相對誤差為2.25%；在一定程度上是隨著能量的增大而增大。然而，結合圖 1和圖 2，在我們研究的能量范圍內，在電子束整個射程中，擬合公式的計算結果和MC模擬結果都符合得很好，即使在電子束射程的末端。
表2
8、10和18 MeV入射電子束的平均能量分布，MC模擬值和擬合公式計算值之間的Emax、RE、z以及Rz的比較
Table2.
Comparison of Emax ，RE，z and Rz of mean energy distributions between MC simulation and the fitted formula calculation for 8,10 and 18 MeV electron beams
4 劑量分布結果的比較
將擬合公式和已有經驗公式計算電子束平均能量分布的結果分別代入到HPBM中，得到劑量分布。以電子束劑量分布的ECWG的實測數據[17]為參考，可以評估由擬合公式計算電子束平均能量得到的劑量分布的精度。我們計算了20 MeV電子束在照射野、100 cm SSD條件照射下，電子束在均勻水箱中不同深度的劑量分布。圖 3為在均勻水介質中，6 cm和7 cm深度處的離軸劑量分布，劑量分布曲線從上到下分別為6 cm和7 cm深度處。圖 3中，實線為ECWG的實測數據，圓點為采用已有經驗公式計算平均能量所得劑量分布結果(見文獻[16]中的公式(3))，三角形為采用本文的擬合公式計算平均能量所得的劑量分布結果。從圖 3中可以看出，本文提出的擬合公式計算的平均能量代入HPBM所得到的劑量分布，在射野邊緣處劑量精度有所提升。
圖3
20 MeV電子束在100 cm SSD、15 cm×15 cm射野的照射條件下在水中不同深度劑量分布
Figure3.
Dose distribution at different depths for a 20 MeV electron beam in water with a 15 cm×15 cm field at 100 cm SSD
5 結論
本文提出了一個新的在臨床放射治療能量范圍內描述單能電子束在均勻水介質中平均能量分布的擬合公式。在6~20 MeV能量范圍內，首先，以6、9、12、15和20 MeV入射電子束的MC程序模擬結果為標準擬合公式，然后再任意選擇8、10和18 MeV入射電子束的MC模擬值為參考對該公式的精度進行評估。從圖 2和表 2可以看出，在電子束的整個射程中，新擬合公式計算電子束平均能量分布結果與MC程序模擬結果符合的較好，最大誤差僅為0.24 MeV，最大相對誤差為2.25%。
在對擬合公式精度評估的基礎上，將擬合公式和已有經驗公式分別計算電子束在均勻水介質中不同入射深度上平均能量分布的結果代入HPBM，計算20 MeV電子束在15 cm×15 cm照射野、100 cm SSD照射條件下，在均勻水箱中不同深度處的劑量分布。以ECWG的實測數據為標準，評估由擬合公式計算電子束平均能量得到的劑量分布的精度。由圖 3 可以看出，比較結果顯示，擬合公式計算的電子束在均勻水介質中平均能量的分布結果，對HPBM電子束劑量分布的精度有大約1%的提高，特別是在射野邊緣處，精度的提高更加明顯。
引言
不同于光子束的深度劑量分布，在到達一定深度后，高能電子束引起的能量沉積將快速下降。這樣，在電子束放射治療中，腫瘤后方的正常組織只承受非常小的劑量照射[1]。因此，對于淺表部位的照射，電子束是一種比較理想的治療模式，但它在人體內劑量分布的精確計算仍然面臨著一定的困難。目前，很多放射治療計劃系統中電子束的劑量計算是以筆束模型為基礎的[2-12]，其基本原理是把寬電子束分成很多小的微束，總的劑量分布由所有微束劑量分布的疊加獲得。因此，筆束劑量計算的精確度直接影響電子束劑量分布計算的精度。
通過將雙群模型[13-14]應用到Fermi-Eyges理論中，Luo等[9]提出了混合筆束模型(hybrid-pencil beam model,HPBM)。HPBM可以快速準確地計算電子束在人體中的三維劑量分布，但是，在射野邊緣和電子射程末端處，其計算精度有待進一步的提高[15]。
在HPBM中，電子束的劑量分布由深度劑量分布和側向分布兩部分組成，并同時使用不同的模型進行計算。其中深度劑量分布由雙群模型計算，其精確度與蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)方法的計算結果相當[13-14]。而側向分布由Fermi-Eyges理論計算，計算公式為[9]
| ${{G}_{FE}}\left( x,y,z,\hat{u},E \right)=\frac{exp\frac{\left( -{{A}_{0}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})-2{{A}_{1}}(x{{\theta }_{x}}+y{{\theta }_{y}})+{{A}_{2}}({{\theta }^{2}}y+{{\theta }^{2}}y) \right)}{A}}{{{\pi }^{2}}A},$ |
式(1)中參數A0、A1、A2和A的公式分別為
| ${{A}_{0}}\left( z \right)=\int\limits_{0}^{z}{T\left( t \right)}dt$ |
| ${{A}_{1}}\left( z \right)=\int\limits_{0}^{z}{T\left( t \right)}\left( z-t \right)dt,$ |
| ${{A}_{2}}\left( z \right)=\int\limits_{0}^{z}{T\left( t \right)}{{\left( z-t \right)}^{2}}dt,$ |
| $A\left( z \right)={{A}_{0}}\left( z \right){{A}_{2}}\left( z \right)-{{A}_{1}}^{2}\left( z \right),$ |
以及散射本領為
| $\begin{align} & T\left( {{E}_{t}} \right)=2\pi \Sigma i{{N}_{i}}\int\limits_{0}^{\pi }{si{{n}^{2}}\theta }{{\sigma }_{i}}({{E}_{i}},\theta )sin\theta d\theta \approx \\ & 4\pi \Sigma i{{N}_{i}}\int\limits_{0}^{\pi }{(1-cos\theta )}{{\sigma }_{i}}({{E}_{t}},\theta )sin\theta d\theta = \\ & 2{{\sigma }_{tr}}({{E}_{t}}), \\ \end{align}$ |
其中σtr(Et)是能量為Et的電子的輸運截面。Et是當入射電子束的初始能量為E0時，在入射深度t處的平均能量。
從式(1)~(6)可以看出，在給定深度處，電子的側向劑量分布與電子在該深度處的平均能量有關。對電子束在介質中不同深度平均能量的精確計算，有利于進一步提升HPBM的計算精度。
對于平均能量Et的計算，文獻[16]中，在臨床常用電子束能量范圍內，以MC模擬結果為參考，給出了在均勻水介質中目前幾個較常用的經驗公式的計算精度分析。并得出已有的經驗公式對于計算電子束的平均能量存在較大的誤差，特別是在射程末端的結論。為了提高計算電子束在均勻水介質中平均能量的精度，從而進一步提高HPBM的計算精度，本文提出了一個更精確的計算水介質中入射電子束平均能量分布的擬合公式。
1 模擬設置
本文所使用的MC程序為MCNP4C版的模擬程序包，在模擬過程中，使用單能電子束垂直入射在介質表面，入射方向為z軸，垂直于z軸的截面大小為10 cm×10 cm，深度設置為入射電子束射程的1.5倍，入射點為坐標原點，深度方向的間隔為0.25 cm。為了得到電子束的平均能量，在輸入文件的設置中使用了*F4計數卡(即計算通過每個體積元的平均通量)。
為了達到一定的模擬統計精度，入射電子數目為 2×105個。這個數目的電子，使得除了在接近射程末端0.75~1.25 cm外,其他入射深度上的統計誤差均小于1.5%。在射程的末端之所以有相對較大的誤差，主要是因為MC模擬電子束的輸運過程中，電子在入射深度上與物質發生相互作用，到達射程末端時電子的數目已經大大減少，統計誤差就會隨著增大，輸運過程考慮了電子和光子的輸運，電子的截止能量為 0.001 MeV(不包括電子靜止質量)，光子的截止能量為0.001 MeV。在PC計算機平臺上(RAM:1G,CPU類型：雙核，英特爾，奔騰D，3.0G，系統類型：Windows 7)，最長的模擬時間為7.3 h。
2 擬合公式
本文所提出的新的擬合公式，是以MC程序對臨床常用的電子束在均勻水介質中平均能量分布模擬結果為基礎擬合的。首先對6、9、12、15和20 MeV入射電子束的平均能量進行模擬，以模擬結果為基礎擬合出公式，然后再用8、10和18 MeV入射電子束的模擬結果，對該擬合公式的計算精度進行評估。對于6、9、12、15和20 MeV電子束的MC程序模擬結果，以及根據模擬結果的擬合結果，兩者的比較如圖 1所示，其中實線是MC程序模擬的結果，虛線是擬合結果。
圖1
均勻水介質中，6、9、12、15和20 MeV電子束平均能量的分布
Figure1.
Mean energy distributions for 6,9,12,15 and 20 MeV electron beams in water phantom
根據擬合結果得到的擬合公式為
| $\begin{align} & {{E}_{t}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}p/1+{{10}^{(\left( {{B}_{1}}-z \right){{h}_{1}})}}+ \\ & {{A}_{2}}\left( 1-p \right)/1+{{10}^{(\left( {{B}_{2}}-z \right){{h}_{2}})}}, \\ \end{align}$ |
其中z為電子束在均勻水介質中的入射深度，單位是cm，參數A1、A2、B1、B2、h1、h2和p僅與入射能量有關，可寫為
| ${{A}_{1}}=0.12106-0.03067{{E}_{0}},$ |
| ${{A}_{2}}=-1.39785+1.31055{{E}_{0}},$ |
| ${{B}_{1}}=-0.3693+0.18898{{E}_{0}}-0.0026{{E}^{2}}_{0},$ |
| ${{B}_{2}}=-0.05825+0.36642{{E}_{0}},$ |
| ${{h}_{1}}=-0.0453-4.2487\left( /1+{{({{E}_{0}}/2.15923)}^{1.42205}} \right),$ |
| ${{h}_{2}}=0.11573-24.29723/\left( 1+{{({{E}_{0}}/0.19523)}^{0.79128}} \right),$ |
| $p=0.87206-1.02586/\left( 1+{{({{E}_{0}}/6.53599)}^{1.45854}} \right),~$ |
上式中E0為電子束的入射能量，單位為MeV。為了更進一步地評估擬合公式的精確度，我們將擬合公式和MC模擬的最大誤差(Emax)、相對誤差(RE)、發生最大誤差的深度(z)以及相對深度(Rz)列入表 1中。其中，Emax由MC模擬值減去擬合公式計算值得到；RE為最大誤差占相應入射能量的百分比，由最大誤差的絕對值比上入射能量得到；z為發生最大誤差的入射深度；Rz為發生最大誤差深度與相對電子束射程的比值。
從表 1中可以看出，對于6、 9、 12、 15和20 MeV入射的電子束，MC模擬值和擬合公式的計算值的最大差異為0.21 MeV，并且為12 MeV和15 MeV電子束共有，且發生在同一入射深度。
表1
6、9、12、15和20 MeV入射電子束的平均能量分布，MC模擬值和擬合公式計算值之間Emax、RE、z以及Rz的比較
Table1.
Comparison of Emax,RE,z and Rz of mean energy distributions between MC simulation and the fitted formula calculation for 6,9,12,15 and 20 MeV electron beams
3 擬合公式的驗證
由圖 1和表 1以及上述分析可以看出，對于6、9、12、15和20 MeV的電子束，MC模擬值和擬合公式的計算值之間的誤差較小。這是由于擬合公式是以6、9、12、15和20 MeV入射電子束的MC模擬結果為基礎擬合的。因此，為了進一步驗證擬合公式的精確度，我們在臨床使用范圍內隨意挑選出8、10和18 MeV的入射電子束，以MC模擬結果為參考，評估由擬合公式計算得到的平均能量分布的精確度，如圖 2所示。
圖2
8、10和18 MeV入射電子束平均能量的分布，MC模擬結果和擬合公式計算結果的比較
Figure2.
Comparison of mean energy distributions between the MC simulation and the fitted formula calculation for 8,10 and 18 MeV electron beams
對于8、10和18 MeV入射電子束平均能量分布，MC模擬值和擬合公式計算值之間的Emax、RE、z以及Rz我們也進行了相同的比較，如表 2所示。
為了進一步地評估擬合公式的精確度，對于8、10和18 MeV的入射電子束，表 2展示了與表 1相同的參數。從表 2中可以看出，擬合公式計算值和MC程序模擬值之間的最大誤差僅僅為0.24 MeV，最大相對誤差為2.25%；在一定程度上是隨著能量的增大而增大。然而，結合圖 1和圖 2，在我們研究的能量范圍內，在電子束整個射程中，擬合公式的計算結果和MC模擬結果都符合得很好，即使在電子束射程的末端。
表2
8、10和18 MeV入射電子束的平均能量分布，MC模擬值和擬合公式計算值之間的Emax、RE、z以及Rz的比較
Table2.
Comparison of Emax ，RE，z and Rz of mean energy distributions between MC simulation and the fitted formula calculation for 8,10 and 18 MeV electron beams
4 劑量分布結果的比較
將擬合公式和已有經驗公式計算電子束平均能量分布的結果分別代入到HPBM中，得到劑量分布。以電子束劑量分布的ECWG的實測數據[17]為參考，可以評估由擬合公式計算電子束平均能量得到的劑量分布的精度。我們計算了20 MeV電子束在照射野、100 cm SSD條件照射下，電子束在均勻水箱中不同深度的劑量分布。圖 3為在均勻水介質中，6 cm和7 cm深度處的離軸劑量分布，劑量分布曲線從上到下分別為6 cm和7 cm深度處。圖 3中，實線為ECWG的實測數據，圓點為采用已有經驗公式計算平均能量所得劑量分布結果(見文獻[16]中的公式(3))，三角形為采用本文的擬合公式計算平均能量所得的劑量分布結果。從圖 3中可以看出，本文提出的擬合公式計算的平均能量代入HPBM所得到的劑量分布，在射野邊緣處劑量精度有所提升。
圖3
20 MeV電子束在100 cm SSD、15 cm×15 cm射野的照射條件下在水中不同深度劑量分布
Figure3.
Dose distribution at different depths for a 20 MeV electron beam in water with a 15 cm×15 cm field at 100 cm SSD
5 結論
本文提出了一個新的在臨床放射治療能量范圍內描述單能電子束在均勻水介質中平均能量分布的擬合公式。在6~20 MeV能量范圍內，首先，以6、9、12、15和20 MeV入射電子束的MC程序模擬結果為標準擬合公式，然后再任意選擇8、10和18 MeV入射電子束的MC模擬值為參考對該公式的精度進行評估。從圖 2和表 2可以看出，在電子束的整個射程中，新擬合公式計算電子束平均能量分布結果與MC程序模擬結果符合的較好，最大誤差僅為0.24 MeV，最大相對誤差為2.25%。
在對擬合公式精度評估的基礎上，將擬合公式和已有經驗公式分別計算電子束在均勻水介質中不同入射深度上平均能量分布的結果代入HPBM，計算20 MeV電子束在15 cm×15 cm照射野、100 cm SSD照射條件下，在均勻水箱中不同深度處的劑量分布。以ECWG的實測數據為標準，評估由擬合公式計算電子束平均能量得到的劑量分布的精度。由圖 3 可以看出，比較結果顯示，擬合公式計算的電子束在均勻水介質中平均能量的分布結果，對HPBM電子束劑量分布的精度有大約1%的提高，特別是在射野邊緣處，精度的提高更加明顯。
